求函数极值的几种方法

1、.求解函数极值的几种方法1.1 函数极值的定义法说明：函数极值的定义， 适用于任何函数极值的求解， 但是在用起来时却比较的烦琐 .1.2 导数方法定理（充分条件）设函数f ( x) 在 x0 处可导且 f ( x0 )0 ，如果 x 取 x0 的左侧的值时， f (x) 0 ， x 取 x0 的右侧的值时， f ( x)0 ，那么 f (x) 在 x0 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件 .例 1求函数 f ( x)x2 ( x1)3 的单调区间和极值解f (x)x2 (x 1)3(x) ，f ( x) 2 x( x1)33x2 ( x1)2x(x 1)2 (5 x 2) .令

2、f ( x) 0，得到驻点为 x10 ， x22 ， x31 . 列表讨论如下：5表一： f ( x)x2 ( x1)3 单调性列表x( ,0)0(0, 2)2( 2 ,1)1(1, )555f (x)+0-0+0+极大值极小值非f (x)f (0) 02108/ 3125极f ( )5值说明：导数方法适用于函数 f ( x) 在某处是可导的，但是如果函数f ( x) 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了. 用导数方法求极值的条件是：函数 f (x) 在某点 x0 可导 .1.3Lagrange 乘法数方法对于问题：Minzf (x, y)s.t( x, y)0.如果 (x* ,

3、 y* ) 是该问题的极小值点，则存在一个数，使得f x ( x* , y* )g x ( x* , y* )0f y ( x* , y* )g y ( x* , y* )0利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数例 2在曲线 y1( x 0)上求与原点距离最近的点 .x3解我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函数 w x2y21( y 3 )x然后，令此函数对x 的导数和对 y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得302x4x2 y0y1x3x8 3解得1y827这是唯一可能取得最值的点因此 x83, y81为原问题的最小值点 .27说明： Lagrange

4、乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 : 如果 ( x* , y* ) 是该问题的极小值点则存在一个数，使得f x ( x* , y* )g x ( x* , y* )0f y ( x* , y* )g y ( x* , y* )0这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容.1.4 多元函数的极值问题由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数 f ( p)的极值可按下述步骤进行： 求出驻点， 即满足 grad f ( p0 )0 的点 p0 ；在 p0.点的 Hessene矩阵 H ，判定 H 正定或负定，若 H 正定则 f ( p) 在 p0 点取得极小值；若 H 负定则 f ( p) 在 p0点取得极大值 .例 3求三元函数 f ( x, y, z)x22 y23z22x 4 y6z 的极值fx2x20解先求驻点，由f y4 y40得 x1, y1, z 1fz6z60所以驻点为 p0 ( 1, 1, 1) .再求 Hessene矩阵，因为fxx2, f xz0, f xy0, f yy4, yz0, f yx0, fzx0, f zy0, f zz6200所以H040006由此可知， H 是正定的，所以 f (x, y, z) 在 p0 ( 1,1, 1) 点取得极小值：f ( 1, 1, 1