微专题5 求数列通项的方法与技巧

1、微专题5求数列通项的方法与技巧2021新亮剑高考总复习第六章微专题 5 求数列通项的方法与技巧求数列的通项公式是数列的核心内容之一,有了通项公式便可求出数列的任意一 项以及前 n 项和,因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.下面我们一起探究求数列通项公式的方法.1. 已知前 n 项和 Sn,利用 an=Sn-Sn-1(n2)求通项已知前 n 项和求通项公式,解题时要特别注意三点:第一,要分类讨论,分 n=1 和n2 两种情形;第二,要掌握 an=Sn-Sn-1(n2)这一重要关系,否则无法解决此类问题;第三,要注意检验 n=1 是否满足当 n2 时,an的通项公式.2例 1已知数列

2、an的前 n 项和 Sn=n2+2n+3,求 an.解析当 n=1 时,a1=S1=6,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1.a =63,a =6, = 1, 1n2 + 1, 2.解析 探究若数列an是正项数列,且 1 + 2+ =n2+3n(nN*),则4an=4(n+1)2 .解析因为数列an是正项数列,且 1 + 2+ =n2+3n(nN*),所以当 n2 时, 1 + 2+ -1=(n-1)2+3(n-1)(nN*),两式相减得 =2n+2,所以 an=4(n+1)2(n2).又 1 =4,a1=16,所以 a1 适合上式,所以 an=4(n+1)2.答案解析微点评：已知 S

3、n 求 an 的三个步骤:(1)先利用 a1=S1 求出 a1.(2)用 n-1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系,利用 an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当 n2 时 an 的表达式.(3)对 a1 进行检验,看是否符合当 n2 时 an 的表达式,若符合,则可以把数列的通项公式合写;若不符合,则应该分 n=1 与 n2 两段来写. 【微点练】1. 已知 Sn 为数列an的前 n 项和,且 log2(Sn+1)=n+1,求 an.解析由 log2(Sn+1)=n+1,得 Sn+1=2n+1.当 n=1 时,a1=S1=3;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n. 因为 a1=32,

4、 ,.所以数列an的通项公式为 an= 3, = 1,2 2解析-2(2-1), = 3-2 或 = 3-1,*, 2.若数列an满足 a1cos 2+a2cos 4+ancos 2=n2,则 an= 2-1, = 3,*.333解析由 a cos 2=1,解得 a =-2.由 a cos 2+a cos 4+a cos 2=n2,1311323n3得当 n2 时,acos 2+a cos 4+acos2(-1)=(n-1)2,1323n-13两式相减得 ancos 2=2n-1(n2).3所以当 n=3k-2 或 n=3k-1,kN*时,an=-2(2n-1);答案解析当 n=3k,kN*时

5、,an=2n-1.综上所述,an= -2(2-1), = 3-2 或 = 3-1,*, 2-1, = 3,*.2. 构造法求通项例 2已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,an+1+2n=2Sn+2,求 an.解析an+1+2n=2Sn+2,当 n2 时,an+2(n-1)=2Sn-1+2,两式相减得an+1-an+2=2an,即 3an=an+1+2,an+1-1=3(an-1)(n2),又 a2=2S1+2-21=4,满足2 -1=3,数列an-1是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,an-1=3n-1,即1 -1an=3n-1+1.解析微点评：对形如 an=kan-1+m(

6、k1)形式的递推关系,常构造成na + -1=k -1+-1 的形式,转化为等比数列间接求通项. 【微点练】1. 已知数列an满足 a1=1,an+1=2an+3,求 an.解析设递推公式 an+1=2an+3 可以转化为 an+1-t=2(an-t),则 an+1=2an-t,解得 t=-3.故 an+1+3=2(an+3),令 bn=an+3,则 b1=a1+3=4,且 +1 = +1 +3=2, +3所以bn是以 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn=42n-1=2n+1,所以 an=2n+1-3.9解析2. 已知数列an满足 a1=1,3an+1+an-7=0,求数列an的通项公

7、式.解析由 3an+1+an-7=0 得 an+1=-1an+7,设 an+1+k=-1(an+k),比较333系数得-k-=7,解得 k=-7. - 7 是以 a1-7=1-7=-3为首项,-1为公比10解析33444443的等比数列,an-7=-3 - 1 -1, 即 a =7-3 - 1-1 .n4434 433. 累加法求通项对形如 an+1=an+f(n)的递推关系,可用累加法求通项.例 3在数列an中,已知 a1=-2,an=an-1+2n-1(n2,且 nN*),求数列an的通项公式.解析a1=-2,a2-a1=3,a3-a2=5,an-an-1=2n-1,当 n2 时,an=(

8、a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)+a1=-2+(3+5+2n-1)=-3+(1+3+5+2n-1)=n2-3.a1=-2 满足上式,an=n2-3.解析微点评：合理利用数列的递推公式,选用累加法求解是解答的关键. 11【微点练】已知数列an满足 a1=1,若1- 1 =4n(nN*),则数列an的通项 an=314 -. +1解析因为 1- 1 =4n, +1所以当 n2 时, 1 = 1-1 +1-1+ 1- 1 + 1 -1 -1 -2211=4n-1+4n-2+4+1=1-4 =4 -1.1-43因为 a1也满足上式,所以数列an的通项为 an= 3.4 -1答案解析4.

9、 累乘法求通项对形如 an+1=f(n)an 的递推关系,可用累乘法求通项.例 4已知数列an的前 n 项和为 Sn,首项 a1=1,且满足 3Sn=(n+2)an,则( + 1)an=2.解析当 n2 时,3Sn-1=(n+1)an-1,所以 3an=(n+2)an-(n+1)an-1,所以 -1=+1,-1所以当 n2 时,a= -1 -22 a=+1 -131 =(+1),n -1 -2 -311-1-2-312因为 a1 也满足 an=(+1),所以 an=(+1)(nN*).22答案解析微点评：已知 a1 且 an+1=f(n)an,可用累乘法求 an. 【微点练】1.已知数列an满足 a1=2,an+1=an,求 an.14解析3+1解析由题意知 +1 = ,+1当 n2 时,2 3 4 =123-1, =1,123 -12341a1=2,an= 2 (n2).33经检验,a1 满足上式,an= 2 (nN*).32.已知数列an满足 a2=6, +1 -=n(nN*),求数列an的通项公式.解析a2=6