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1、第四节有理函数的定义：有理函数的积分两个多项式的商表示的函数称之.xn + axn-1+ L + ax + aP( x)a=n-101n+ b xm-1+ L + bx + bb xmQ( x)m-101m其中m 、n都是非负整数；a0 , a1 ,L, an 及b0 , b1 ,L, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .假定分子与分母之间没有公因式n m,n m,(1)(2)这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.+ x + 1 =x3 1x +x2+ 1.例+ 1x2难点将有理函数化为部分分式之和.真分式化为部分分式之和的待

2、定系数法 x + 3= x + 3= A+ B,例1- 5 x + 6x2Q( x - 2)( x - 3)x - 2x - 3x + 3 = A( x - 3) + B( x - 2), A = -5,B = 6 x + 3= - 5+ 6.- 5 x + 6x - 2x - 3x2 1= A +B( x - 1)2Cx - 1+,例2x ( x-1)2x1 = A( x - 1)2 + Bx + Cx( x - 1)代入特殊值来确定系数 A, B,C(1)取 x = 1, B = 1x = 0,x = 2,1 A = 1取 C = -1并将 A, B 值代入(1)取= 1 +1( x -

3、1)21x - 1-.x( x - 1)2x1 x( x - 1)2dx.求积分 1 + 1- 1 dx1x( x - 1)2 xdx =解x - 1dx( x - 1)2= 1dx + 1dx - 1( x - 1)2x - 1x1x - 1= ln x - ln( x - 1) + C . 1= A+ Bx + C ,例3(1 + 2 x)(1 + x2 )1 + 2 x1 + x21 = A(1 + x2 ) + (Bx + C )(1 + 2x),整理得 1 = ( A + 2B)x2 + (B + 2C )x + C + A, A + 2B = 0,B + 2C = 0, A = 4 , B = - 2 , C = 1 ,555 A + C = 1,421 1= 5+ - 5 x + 5.(1 + 2 x)(1 + x2 )1 + 2 x1 + x21 (1 + 2 x)(1 + x2 )dx.求积分4- 2 x + 1 1 51 + 2 x51 + x5dx2dx=dx +解(1 + 2 x)(1 + x)2= 2 ln(1 + 2 x) - 1 2 xdx + 1 1dx51 + x251

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