2019长春高三一模数学理科试卷及答案_W

1、 长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一）数学试题卷（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(-1+ 3i)(3 - i) =B.-10D.-10iA.1010iC.2.已知集合 M = 0,1，则满足条件 M U N = M 的集合 N 的个数为 1B.23D.4A.C.3.函数 f (x) = sin(x + p ) + sin x 的最大值为，3322 34A.B.C.D.4.下列函数中是偶函数，且在区间(0, +) 上是减函数的是C.y = 1 - xA.y =| x | +1B.y = x-2y =

2、2|x|D.x5.已知平面向量a 、b ，满足| a |=| b |= 1，若(2a - b) b = 0 ，则向量a 、b 的夹角为A.30B.4560120C.D.6.已知等差数列an 中， Sn 为其前 n 项的和， S4 = 5 ， S9 = 20 ，则 a7 =-3B.-53D.5A.C.7.在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，直线 A1C1与平面 ABC1D1 所成角的正弦值为 322212A.1B.C.D.8.要将甲、乙、丙、丁 4 名同学分到 A 、 B 、C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人， 则甲被分到 A 班的分法种数为， 6B.1224D.36A.C.9.

3、某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散 点图，并求得其回归方程为 $y = 1.16x - 30.75 ，以下结论中不正确的为 1901851801751701651601551501451 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15身 高臂 展 A. 15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B. 15 名志愿者身高和臂展成正相关关系， C. 可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米， D. 身高相差 10 厘米的两人臂展

4、都相差 11.6 厘米， 10.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三 分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该 问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 S = 2.5 (单位:升)，则输入的 k 值为， A.4.5B.6C.7.5D.10开始输入 kn = 1, S = k否n 0, b 0) 的两个顶点分别为 A 、 B ，点 P 为双曲线上除 A 、a2b2B 外任意一点，且点 P 与点 A 、 B 连线的斜率分别为 k1 、k2 ，若 k1k2 = 3 ，则双曲线的渐近线方程为， A.y = xB.y =

5、2xC.y = 3xD.y = 2x12.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的函数，且满足 f (x) + f (x) 0 ，其中 f (x) 为 f (x) 的导数，设 a = f (0) ， b = 2 f (ln 2) ， c = ef (1) ，则 a 、b 、c 的大小关系是A.c b aB. a b cC.c a bD.b c a二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13. log2 4 + log4 2 = . x2y214. 若椭圆C 的方程为+ = 1，则其离心率为 .3415.各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn ，已知 S6 = 30 ，S9 =

6、70 ,则 S3 = . 16. 已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为 3 的球面上，则该三棱锥的表 面积为 . 三、解答题：共 70 份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 2223 选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17.(本小题满分 12 分)在DABC 中，内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知b = a cos C +c . 2(1) 求角 A ； (2) 若 AB AC = 3 ,求 a 的最小值. 18. (本小题满分 12 分)在四棱锥 P - ABCD 中,平

7、面 PAD 平面 ABCD ， PA = PD = 2 ,四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， A = 60 , E 是 AD 的中点. (1) 求证: BE 平面 PAD ； (2) 求平面 PAB 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值. 1PDCEAB19. (本小题满分 12 分)平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为 y2 = 2 px( p 0) . (1) 过抛物线C 的焦点 F 且与 x 轴垂直的直线交曲线C 于 A 、 B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 H .求证: | QH |2 =| AB | | OH | ； (2)过

8、点 D(2, 2) 的直线与抛物线C 交于 M 、N 两点且OM ON ，OD MN .求抛 物线C 的方程. 20. (本小题满分 12 分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气 温位于区间20, 25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定 六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10

9、,15)15, 20)20, 25)25, 30)30, 35)35, 4 0)天数 216362574 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1） 求六月份这种酸奶一天的需求量 X (单位:瓶)的分布列； （2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时？ Y 的数学期望达到最大值？ 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x) = ex - 1 bx 2 + ax (a, b R) . 2（1） 当 a -1 且b = 1时，试判断函数 f (x) 的单调性； 1（2） 若 a 1- e 且b =

10、 1，求证：函数 f (x) 在1, +) 上的最小值小于 ；2（3） 若 f (x) 在 R 单调函数，求 ab 的最小值. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程选讲 x = 1+ t cosa（ t 为参数，0a 0 ， b 0 ， a + b = 2 . (1)求证： a2 + b22 ； 212(2)求证：+ 1+.ab2 长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60

11、 分）1. C【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】C(-1+ 3i)(3 - i) = 10i .故选 C.2. D【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】DM U N = M 有 N M .故选 D.3. A【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A由题意可知函数最大值为 3 . 故选 A.4. B【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】B由函数是偶函数，排除 C，在(0, +) 上是减函数，排除 A，D.故选 B.5. C【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C由题意知 2a b - b2 = 0, cos = 1 .故选 C.26. C【命题意

12、图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】CS9 - S4 = 5a7 .故选 C7. D【命题意图】本题考查线面成角.p【试题解析】D由题意知成角为 .故选 D.68. B 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到 A，有 6 种；第二类， 甲单独在 A，有 6 种，共 12 种.故选 B.9. D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D由统计学常识可知，D 选项正确.故选 D.10. D【命题意图】本题主要考查传统文化.【试题解析】D 由题可知 k = 10 .故选 D.11. C【命题意图】本题考查双曲线的相

13、关知识.y2x2y2【试题解析】C由题意可知3 =y = 3x .故选 C.,-= 1，从而渐近线方程为x2 - a2a23a212. A【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令 g(x) = ex f (x), g (x) = ex ( f (x) + f (x) 0 ，所以 g(x) 在定义域内单调递增，从而 g(0) g(ln 2) g(1) ，得 f (0) 2 f (ln 2) ef (1) ，即 a b c . 故选 A.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）513.【命题意图】本题考查对数运算.25【试题解析】由题意可知值为

14、.2【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.1214.1 .【试题解析】 a = 2,b =3, c = 1,e =210 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.15.【试题解析】由题意可得(S6 - S3 ) =2 S (S - S ) ，得 S = 10 . 3963 16.8 3 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其 S = 4 1 (2 2)2 3 = 8 3 . 22三、解答题17.(本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法.11【试题解析】解：（1）由b = a cos C +c 可得sin B = sin Acos C + sin C ，所

15、以 22cos A = 1 , A = p .23（2）由（1）及 AB AC = 3 得bc = 6 ，所以 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = b2 + c2 - 6 2bc - 6 = 6 ，当且仅当b=c 时取等号，所以 a 的最小值为 6 .18.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接 BD ，由 PA = PD = 2 ， E 是 AD 的中点，得 PE AD ， 由平面 PAD 平面 ABCD ，可得 PE 平面 ABCD ， PE B

16、E ，又由于四边形ABCD 是边长为 2 的菱形， A = 60o ，所以 BE AD ，从而 BE 平面 PAD .（2）以 E 为原点， EA, EB, EP 为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系， P(0, 0, 3) ， A(1,0, 0), B(0, 3, 0), C(-2,3, 0)， 有 PA = (1, 0, - 3), PB = (0, 3, - 3)，uur rPA n = 0PC = (-2, 3, - 3)， 令平面 PAB 的法向量为 n ， 由 uuur r， 可得一个 PB n = 0n = ( 3,1,1) ，同理可得平面 PBC 的一个法向量为 m =

17、(0,1,1) ，所以平面 PAB 与平 10| m n |面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 ur=r.| m | n |519.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设Q(x0 , y0 ), H (x0 , 0),| QH |=| y0 |,| OH |= x0 ,| AB |= 2 p ，从而| QH |2 = y2 = 2 px =| AB | OH |.00（2）由条件可知， MN : y = -x + 4 ，联立直线 MN 和抛物线C ， y = -x + 4， 有 y2 + 2 py - 8 p = 0 ， 设 M (x , y

18、 ), N (x , y ) ， 由 OM ON 有有 y 2= 2 px1122x1 x2 + y1 y2 = 0 ，有(4 - y1 )(4 - y2 ) + y1 y2 = 0 ，由韦达定理可求得 p = 2 ，所以抛物线C : y2 = 4x .20.(本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查离散型随量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）由题意知， X 所有可能取值为 200,300,500，由表格数据知 P ( X = 200) = 2 + 16 = 0.2 ， P ( X = 300) = 36 = 0.4 ， P ( X = 500) = 25 + 7 + 4 = 0.4 .

19、90因此 X 的分布列为9090（ 2 ） 由题意知， 这种酸奶一天的需求量至多为500 ， 至少为200 ， 因此只需考虑X200300500P0.20.40.4 200 n 500 .当300 n 500 时， 若最高气温不低于25，则Y = 6n - 4n = 2n ； 若最高气温位于区间20, 25)，则Y = 6 300 + 2(n - 300) - 4n = 1200 - 2n ； 若最高气温低于20，则Y = 6 200 + 2(n - 200) - 4n = 800 - 2n ； 因此 EY = 2n 0.4 + (1200 - 2n) 0.4 + (800 - 2n) 0.2

20、 = 640 - 0.4n .当 200 n 0 时 g( x) 0 ， f ( x) 在(0, +) 上单调递增， 当 x 0 时 g( x) -1 ，所以1 + a 0 ，即 f ( x ) 0 ，所以函数 f ( x ) 在 R 上单调递増.（4 分） （2）由（1）知 f ( x) 在1,+) 上单调递増，因为 a 1- e ，所以 f (1) = e -1 + a 1 ，则 h( x) = x(1- ex ) 0 恒成立，2所以函数 h(x) 在(1,+)上单调递减，所以 h(x) e (1-1)+ 1 12 = 1 ，22 1 ，2所以 et (1- t ) + 1 t 2 1 ，即当 x 1,+) 时 f (x)22min1 .故函数 f (x)在1,+) 上的最小值小于 （8 分）2（3） f (x) = ex - 1 bx 2 + ax ，f ( x) = ex - bx + a