第4节 不等式的证明

1、2021新亮剑高考总复习选考模块第十二章第4节不等式的证明1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录4最新考纲考向分析1. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.2. 能用均值不等式求一些特定函数的最值1. 基本不等式的应用.2. 不等式的证明高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、基本不等式5定理 1如果 a,bR,那么 a2+b2 2ab,当且仅当 a=b时,等号成立定理 2如果 a,b0,那么+ ,当且仅当 a=b时,等号成立,即两个2正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的

2、几均定理 3如果 a,b,c0,那么+3 ,当且仅当 a=b=c时,等号成3立高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二1.比较法(1) 作差比较法aba-b0,aba-b0ab01,因此当 a0,b0 时,要证明 ab,只要证明作商比较法.6高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录2. 综合法从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,最终推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫作综合法,又叫由因导果法.3. 分析法从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等),从而得出要证的不等式成立,这种证明方法叫作分析法,这是一种执果索因

3、的证明方法.7高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录几个常用的基本不等式1.算术几均不等式 +若 a ,a ,a为正数则,当且仅当 a1=a2=an 时,12 12n12n等号成立.2.柯西不等式(1) 柯西不等式的代数形式:设 a,b,c,d 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2, 当且仅当 ad=bc 时,等号成立.(2) 柯西不等式的向量形式:设 , 为平面上的两个向量,则|,当且仅当 , 共线时,等号成立.8高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录(3)柯西不等式的三角不等式:设 x1,y1,x2,y2,x3,y3R,则 (1-2)2 + (1-2)2+ (2-3)2 + (

4、2-3)2 (1-3)2 + (1-3)2.(4)柯西不等式的一般形式:设 n 为大于 1 的自然数,ai,bi(i=1,2,n)为实数,则(2+2+2 )( 2+2+2)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当12121 =2 = (ai0)时等号成立.129高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”)(1)反证法可归结为下面的步骤:反设、归谬、存真. (2)放缩法的实质是等价转化,有一定的准则和程序.()(3)已知 x 为正实数,则 1+x+13.(4)若 a2,b2,则 a+bab.(5)设 x=a+2b,S

5、=a+b2+1 则 Sx.答案解析10目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识解析(1)正确;(2)错误,放缩法不是等价转化;(3)由定理 3 可知(3)正确;(4)错误,如 a=b=3 时,a+bab;(5)正确,作差比较可知(5)正确.11目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【基础自测】1.已知 a0,-1babab2C.abaab2B.ab2abaD.abab2a解析-1bb20b.又 aab2a.答案解析12目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识2.设 x,yR,且 2x+3y=13,则 x2+y2 的最小值为(C).A. 13 B.169C.13D.0解析(2x+3y)2(22+32)(x2+y

6、2),x2+y213.答案解析13目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识3.已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1,则1+1+1的最小值为 9.因为 a+b+c=1,所以1+1+1=+11解析1313 (a+b+c)3 3 =9,当且仅当 a=b=c=1时等号成立,故1+1+1的最小值是 9.3答案解析14目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【易错检测】4.已知不等式(x+y) 1+ 9 对任意的正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为B().A.2B.4C.6D.82=(1+ 1 1解析由柯西不等式可得(x+y) )2,当 + + y= x 时取等号,故只需(1+ )29,即 a4

7、 即可.答案解析15目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识1111115.已知 a 为正实数,则从大到小的顺序为 2 + .+1,2 +12 2 +1 + +1解析 + + 1 + =2 , + + 1 + 1+ + 1=2 + 1,2 + + 111.2 + +12 +1答案解析1617目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1比较法证明不等式考向 1:作差法证明不等式例 1分析较大小.已知 xy,求证:x3-x2y+xy2x2y-xy2+y3.因为不等式两边是同一种性质的整式,所以可以直接通过作差比解析x3-x2y+xy2-(x2y-xy2+y3)=x(x

8、2-xy+y2)-y(x2-xy+y2)23 2 .=(x-y)(x2-xy+y2)=(x-y) - +24解析22因为 xy,所以 x-y0,于是(x-y) - + 30,24所以 x3-x2y+xy2x2y-xy2+y3.18考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:作商法证明不等式+例 2分析解析已知 a0,b0,求证:aabb(ab)不等式两.2 - - - + 2 因 为 a b 0,(ab)0,所以2ab+ =.22 ( )2 -当 a=b 时,显然有=1;2 -当 ab0 时, 1, -0,所以由指数函数的单调性可知,2 1;解析2 -当 ba0 时,0 1, -1.2+综上可知,

9、对任意正实数 a,b,都有 aabb(ab).219考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：作商比较法证明不等式的一般步骤:(1)作商:将不等式左右两边的式子进行作商.(2)变形:化简商式到最简形式.(3)判断:判断商与 1 的大小关系,也就是判断商大于 1 或小于 1 或等于 1.(4)得出结论.20考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】设 a,b 是非负实数.求证:a2+b2 (a+b).解析因 为 (a2+b2)- (a+b)=(a2-a )+(b2-b )=a ( - )+b ( - )=( - )(a -b )1133= 2 -2 2 -2 .1133因为 a0,b0,所以不

10、论 ab0,还是 0ab,都有2 -2 与2 -2 同号,1133所 以 2 -2 2 -2 0, 所 以 a2+b2 (a+b).解析21考点探究素养达成高考真题目 录考点 2用综合法证明不等式例 3已知 a,b,cR+,且互不相等,又 abc=1.求 证 : + + 1+1+1.分析解答本题可从左到右证明,也可从右到左证明.由左端到右端,应注意左、右两端的差异,这种差异正是我们思考的方向.左端含有根号,11脱去根号可通过 = 1 + 实现;也可以由右到左证明,按上述思路逆向2证明即可.解析22考点探究素养达成高考真题目 录解析(法一)a,b,c 是互不相等的正数,且 abc=1,11111

11、1 1 1 1+ + + =+ 2+ 2bc+ 2c= + + .22223考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系,为此要着力分析已知与求证之间,不等式的左、右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择不等式, 这是证明的关键.24考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】已知 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:ab+bc+ac1.3解析由 a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,得 a2+b2+c2ab+bc+ca,当且仅当 a=b=c=1时,等号成立.3由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2

12、bc+2ca=1,所以 3(ab+bc+ca)1,即 ab+bc+ca1.解析325考点探究素养达成高考真题目 录考点 3分析法证明不等式例 4解析设 a,b,c0 且 ab+bc+ca=1,求证:a+b+c 3.因为 a,b,c0,所以要证 a+b+c 3,只需证(a+b+c)23.即证 a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3,而 ab+bc+ca=1,故需证 a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca).即证 a2+b2+c2ab+bc+ca.222222而 ab+bc+ca+=a2+b2+c2(当且仅当 a=b=c 时等号成立).2所以原不等式成立.22答案解析26

13、考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：一般地,从要证明的结论出发,一步一步地探索,保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等, 我们把这样的思维方法称为分析法.分析法的思维特点是“执果索因”,即从结论逐步挖掘已知.27考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】已知 a0,b0,且 a+b=1.1125.求证: + + 4解析欲证原式,即证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,即证 4(ab)2-33ab+80,即证ab1或 ab8.4又1=a+b2 ,ab1,当且仅当 a=b=1时,等号成立.42原不等式成立.解析28考点探究素养达成

14、高考真题目 录逻辑推理反证法在证明不等式中的应用在证明中含有“至少”“至多”“最多”等字眼时,或证明性命题、唯一性命题时,可使用反证法证明.在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾,也可以与已知矛盾,与显然的事实矛盾,也可以自相矛盾.29考点探究素养达成高考真题目 录例已知 f(x)=x2+px+q,求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1.2分析解析“至少有一个”的是“一个也没有”.(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|

15、都小于1,2则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|0,b0,且 a+b=1+1.证明:(1)a+b2;(2)a2+a2 与 b2+b0,b0,得 ab=1.(1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b2 =2,即 a+b2,当且仅当 a=b=1时等号成立.(2)假设 a2+a2 与 b2+b2 同时成立,则由 a2+a0,得 0a1;同理,0b1,从而 ab1,这与 ab=1 矛盾.故 a2+a2 与 b2+b0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.解析(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)232+3(+) (a+b)=2+3(+ ) ,44所以(a+b)38,因此 a+b2.解析33考点探究素养达成高考真题目 录3.(2016 年全国卷)已知函数 f(x)= x-1+ x+1 ,M 为不等式 f(x)2 的解集.22(1)求 M;(2)证明:当 a,bM 时,|a+b|1+ab|.-2, - 1 ,21,- 1 x