第1部分 专题3 第1讲

1、第一部分专题强化突破专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质弦的中心有零点与最值定相:. 切 只 有中心点没有意义与零点y=atin吨i” 凇知 II! 遠yin x+b心 B 丑缰专题三三角函数及解三角形omm思路！ 方法！衡中学案三角之和一百八三边必成三角形弦余弦两定理 大边大角是夺价三角可臀有条件至少一边加两角两角一边是正弦二 介正余弦三边只可用余弦两边对们要检月（I) S =扣丘扭扣h 占s4 咖 in 叶压in叶 C妇 im. B乒 片 化吐 妇七沁为三介形内切圆的半径）？三角函数及解一角形会数学两角和的余弦值化为单角好求佴余弦积减正弦积抉角变形众公式恒等变换育技巧关注角名

2、形与幕常值代换少不化简求但角先行，注京结构函数名公式顺用和逆用，交形运用加巧用1加余弦想余弦 1减余弦想正弦升一次角减半，升寡阵次它为范二轮复习e二角形中的三角函数问三角形中变化大， 正 弦余弦都不怕判定形状耍注意，边角形式耍统一常见题求解策略4位， 起 拼. , j； 嗣第一讲三角函数的图象与性质专题三三角函数及解三角形高考考点考点解读三角函数的概念、诱导公式及基本关系1. 利用公式进行化简求值2. 三角函数的定义及应用三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性1. 根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性2. 根据单调性、奇偶性、周期性求参数三角函数的图象及应用1. 考查三角

3、函数的图象变换2. 根据图象求解析式或参数数学二轮复习返回导航专题三三角函数及解三角形备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1) 加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值(2) 掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等数学轮二(3)掌握三角函数图象变换，已知图象求参数，“五点法”作图复习预测2020年命题热点：(1) 三角函数在指定区间上的值域、最值问题(2) 已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间 (3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式.返回导航1 知 识 整 合 、 易 错 警 示2 感 悟 真 题 、 掌

4、 握 规 律3 典 题 例 析 、 命 题 探 明4 课 时 题 组 、 复 习 练 案专题三三角函数及解三角形数二知识整合、易错警示学轮复习返回导航专题三三角函数及解三角形知识整合1同角三角函数之间的关系(1) 平方关系：sin2cos21sin(2) 商数关系轮二2复诱导公式习tancos数学(1) 公式：S2k；S；S2(2) 巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，当锐角看返回导航专题三三角函数及解三角形3. 三角函数的图象与性质函数ysinxycosxytanx图象定义域RRx|x k，kZ2值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期22数学二轮复习返回导航专题三三角函数及解三角

5、形函数ysinxycosxytanx单调性在 2_k_ 2k2，2(kZ)上递增， 2k3 在 2， 2 2k (kZ)上递减在2k，2k (kZ)上递增， 在2k，2k (kZ)上递减(kk)在 2，2(kZ) 上递增数学二轮复习返回导航专题三三角函数及解三角形函数ysinxycosxytanx最值当x2k，kZ时，y2取得最大值1，当x 2k，kZ2时，y取得最小值1当x2k，kZ时，y取得最大值1，当x2k，kZ时，y取得最小值1无最值对称性对称中心： (k，0)(_kZ) 对称轴：x k(kZ)2 对称中心：( k，0)(kZ) 2_对称轴：xk(kZ)对称中心：(k0)(kZ)2 ，

6、 数学二轮复习返回导航专题三三角函数及解三角形数4. 函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图22轮二设zx，令z0， ，3 复习可得，2，求出x的值与相应的y的值，描点连线学返回导航专题三三角函数及解三角形(2)图象变换y向左(0)或向右(0)sin(x)sinxy平移|个单位长度1数轮二横坐标变为原来的倍ysin(x)学复纵坐标不变习纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变yAsin(x)(A0，0)返回导航专题三三角函数及解三角形1ysinx横坐标变为原来的倍ysinx纵坐标不变向左(0)或向右(0)数平移 轮二|个单位长度复习纵坐标变为原来的A倍ysin(x)学 横坐标不变yAsin(x

7、)(A0，0)返回导航专题三三角函数及解三角形5. 三角函数的奇偶性(1) 函数y Asin(x ) 是奇函数 k(kZ)， 是偶函数 k 2(kZ)；数学二复轮(2)函数yAcos(x)是奇函数习 k(kZ)；k2 k(kZ)，是偶函数(3)函数yAtan(x)是奇函数 2(kZ)返回导航专题三三角函数及解三角形6. 三角函数的对称性(1) 函数yAsin(x)的图象的对称轴由x 得，对称中心的横坐标由x k(kZ)解得； k2(kZ)解数二(2) 函数yAcos(x)的图象的对称轴由x k(kZ)解得，对学轮习复 称中心的横坐标由xk2(kZ)解得；(3) 函数yAtan(x)的图象的对称

8、中心由xk(kZ)解得 2返回导航专题三三角函数及解三角形易错警示1. 同角关系应用错误利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误2. 诱导公式的应用错误数学二复轮利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错习3. 忽视定义域求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域返回导航专题三三角函数及解三角形4. 重要图象变换顺序在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向数二5忽视A，的符号学轮复习在求y

9、Asin(x)的单调区间时，要特别注意A和的符号，若0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的6易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误返回导航专题三三角函数及解三角形数二感悟真题、掌握规律学轮复习返回导航专题三三角函数及解三角形1(文)(2019全国卷，8)若x1 4，x2 3 是函数f(x)sinx(0)两个相4邻的极值点，则( A )A2B32 数2轮二C1D1学复习解析由题意及函数ysin x的图象与性质可知，13 22T 4 4，T， ，2.故选A返回导航专题三三角函数及解三角形(理)(2019全国卷，9) 下列函数中，以2为周期且在区间4，2单调递增的是Af(x)|cos 2x|B

10、f(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|解析作出函数f(x)|cos 2x|的图象，如图二( A )数学复轮 习由图象可知f(x)|cos2x|的周期为 ，在区间， 上单调递增242 同理可得f(x)|sin 2x|的周期为，在区间， 上单调递减，f(x)cos|x|的周242期为2.f(x)sin|x|不是周期函数，排除B，C，D故选A返回导航专题三三角函数及解三角形2(2019全国卷，11)关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：2f(x)是偶函数；f(x)在区间，单调递增；f(x)在，有4个零点；f(x)的最大值为2数学二复轮其中所有正确结论的

11、编号是( C )习ABCD返回导航专题三三角函数及解三角形解析中，f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sinx|f(x)，f(x)是偶函数，正确2中，当x，时，f(x)sin xsin x2sin x，函数单调递减，错误数二中，当x0时，f(x)0，学轮习复当x(0，时，f(x)2sin x，令f(x)0，得x又f(x)是偶函数，函数f(x)在，上有3个零点，错误返回导航专题三三角函数及解三角形中，sin|x|sin x|，f(x)2|sin x|2， 当x22k(kZ)或x22k(kZ)时，数学二复轮f(x)能取得最大值2，故正确习综上，正确故选C返回导航专题三三角函数及解三角形

12、3(2019全国卷，12)设函数f(x)sinx5(0)，已知f(x)在0,2有且仅有5个零点，下述四个结论：f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点；f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点；数 二f(x)在0，10单调递增；学轮复习1229 的取值范围是5 ，10其中所有正确结论的编号是( D )ABCD返回导航专题三三角函数及解三角形 解析已知f(x)sinx5(0)在0,2有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在a，b)上，此时f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值数学点，但f (x)在(0,2)可能有2或3个极小值点，所以正确，不正确；当x0,2二复轮 习时，x 5 5，25

13、 ，由f(x)在0,2有且仅有5个零点可得52 5 1229 6，得的取值范围是5 ，10，所以正确；当x0，10时， 5 x5 104 9 51002，所以f(x)在0，10单调递增，所以正确故选D返回导航专题三三角函数及解三角形4(2018全国卷，8)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则(B) Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3数Df(x)的最小正周期为2，最大值为4学二轮复35习解析f(x)2cos2x(1cos2x)23cos2x12cos2x2，所以最小正周期为，最大值为4返回导航专题三三角函数及解三

14、角形5(2018全国卷，11)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴2重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos23，则ab( B )A1 55B 5C25数5D1学二轮2复2225 cos 1习解析由cos22cos 1 3 可得cos 6 sin2cos2 tan21 ，化简可得tan 5.当tan 5a 5b 5，即a 5，b25，此时55 时，可得15 ，2 555 5 ；当|ab| 5 5tan 5 时，仍有此结果，故|ab| 5 5 返回导航专题三三角函数及解三角形6(2018浙江卷，5)函数y2|x|sin2x的图象可能是(D)数学二轮复习解析因为f(x)2|x

15、|sin(2x)2|x|sin2xf(x)，所以该函数为奇函2数，排除A，B，当x(0， )时，sin2x0,2|x|sin2x0，所以图象在x轴的上方，当x ，)时，sin2x0,2|x|sin2x0，所以图象在x轴的下方，排除C，故选D(2返回导航专题三三角函数及解三角形7(2019浙江卷，18)设函数f(x)sin x，xR(1) 已知0,2)，函数f(x)是偶函数，求的值； 2 (2) 求函数yfx fx2的值域 12 4解析(1)解：因为f(x)sin(x)是偶函数，数学轮二所以对任意实数x都有sin(x)sin(x)，习复即sin xcos cos xsin sin xcos co

16、s xsin ，故2sin xcos 0，所以cos 0又0,2)，因此3 2或 2返回导航专题三三角函数及解三角形 2 (2)解：yfx fx2sin2xsin2x 12 4 1241cos2x61cos2x221 32数3学二1 cos 2x sin 2x轮222习复 3 1 2 cos2x3因此，所求函数的值域是 31 3221，返回导航专题三三角函数及解三角形数二典题例析、命题探明学轮复习返回导航专题三三角函数及解三角形三角函数的概念、诱导公式及基本关系典 题 例 析例 1(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角，数的终边分别与单位圆交于点(12， 5 )和(3，4)，

17、则sin()( D )学二轮复习3613135548A65B65 C 333D1365返回导航专题三三角函数及解三角形解析因为角，的终边分别与单位圆交于点( 12 ， 5 )和( 3 ， 4 )，所以sin 5 1243131355数二13，cos13，sin5，cos5，所以sin()sincoscossin学轮复习 53(12433135)13565返回导航专题三三角函数及解三角形2(2) 若tan1，则sin4cos4的值为( B )A135B5C13数5D52，二解析tan1学复轮习sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos2sin2cos2221tan21

18、sin3cos tan2 5返回导航专题三三角函数及解三角形(3) 设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sinx.当0x时，f(x)0，则f(2 36)( A )数1 3学轮22二AB复习C0D12返回导航专题三三角函数及解三角形析由已知，得f 2)f 1)1(6(6sin61 1111 7 (6)sin6sin65 5 111 7解 3f 7 7数f(二轮复6 )sin6 sin6sin6学习 5 f( 6 )sin6sin(6)sin6011112(2)22返回导航专题三三角函数及解三角形1. 利用公式进行化简求值的策略(1) 利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去

19、负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定数二(2)利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异学轮习复为同、化高为低、化繁为简等2. 使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号返回导航专题三三角函数及解三角形跟踪训练1若(2 1112 3 4， 2)，则1cos ( 2 2)( B )Asin Bcos 22二Ccos 2数22Dsin cos学轮复习解析(45，43)，(25，23 ，4228 4 )则1cos2(3)1sin2 cos222|cos2|2返回导航专题三三角函数及解三角形2已知sin2cos0，则2sincoscos2的值是 1解

20、析由sin2cos0，得tan22sincoscos2所以2sincoscos2数sin22二复轮2tan141cos 学习tan21411返回导航专题三三角函数及解三角形311y轴对称若sin3，则sin 3解析由角与角的终边关于y轴对称，可得(2k1)，kZ，数3，轮复学二sin1习sinsin(2k1)sin13返回导航专题三三角函数及解三角形2(理)(2019惠州市第二次调研)已知tan 1，且(，3 22)，则cos( ) 5 52解析方法一：cos( )sin，由(， 3 2)知为第三象限角，联立，数sin1学二tan ， 5复轮得cos2得5sin21，故sin 5 习sin2c

21、os21，2方法二：cos( )sin，由(， 3 2 )知为第三象限角，由tan1 2 ，可5 知点(2，1)为终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin 5返回导航专题三三角函数及解三角形三角函数的图象及应用典 题 例 析例 2(1)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0,0)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( B )数1 学轮复二Af(x)2sin(2x4)习Bf(x)132sin(2x 4 )Cf(x)132sin(4x 4 )Df(x)2sin(2x 4)返回导航专题三三角函数及解三角形2解析由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点( ，2)，最低点(3

22、2 ，2)，数所以函数的最大值为2，即A23学轮2二由图象可得，x ，x复习2 为相邻的两条对称轴，所以函数的周期T23 2 (2)4，2 1故 4，解得2返回导航专题三三角函数及解三角形所以f(x)1)把点(2sin(2x 1 2，2)代入可得2sin2(2)2，4即sin( )1，数学4二所以习轮复2k2(kZ)，解得2k3 4 (kZ)4 又0，所以3 所以f(x)13 )，故选B2sin(2x 4返回导航专题三三角函数及解三角形(2) 已知函数f(x)Asin(x)(A0，0,0)的图象与x轴的一个交点( ，0) 3 12到其相邻的一条对称轴的距离为4，若f(12)2，则函数f(x)在

23、0，2上的最小值为( C )数1学二轮复AB 3习2C 3D122返回导航专题三三角函数及解三角形解析由题意得，函数f(x)的最小正周期T4 2 ，解得24因为点( ，0)在函数f(x)的图象上，所以Asin2( )0，12二 12数学复习轮解得k6，kZ，由0，可得6因为 3 3f(12)2，所以Asin(2126)2，返回导航专题三三角函数及解三角形6解得A 3，所以f(x) 3sin(2x)2当x0， 6二 时，2x 61 7 ， 6 ，数学复习轮sin(2x6)2，1，2 f(x)的最小值为 3返回导航专题三三角函数及解三角形由“图”定“式”找“对应”的方法由三角函数的图象求解析式yA

24、sin(x)B(A0，0)中参数的值， 关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图数二(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为学轮习复MmMmm，则MAB，mAB，解得B2，A2(2) T定：由周期求解公式T2 ，可得2 T(3) 点坐标定：一般运用代入法求解值，注意在确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”返回导航专题三三角函数及解三角形跟踪训练1. 将函数y 3cosxsinx(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( A )数A 学轮二

25、6B12 复习5 C3D 6返回导航专题三三角函数及解三角形解析设f(x) 3cosxsinx2( 31 2 cosx2sinx)2sin(3x)，向左平移m个单位长度得3g(x)2sin(xm )数学二轮习复g(x)的图象关于y轴对称，g(x)为偶函数， 3m2k(kZ)，m 6k(kZ)，又m0，m的最小值为6返回导航专题三三角函数及解三角形22. 已知A，B，C，D是函数ysin(x)(0,0 )一个周期内的图象6上的四个点，如图所示，A( ，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为- 该图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为12，则 ( A )数学二轮 习复

26、A2，3B2，6C1 1 2，3D2，6返回导航专题三三角函数及解三角形解析T 由题意可知46124，T，2 二轮复数 2学623习又sin2( )0,0 ， .故选A返回导航专题三三角函数及解三角形2 3函数f(x)sin(x)(| )的部分图象如图，且2f(0)1，则图中m的值为( B)A.1 B43数3轮复学二C2D4或2习解析f(0)sin1| 2，又2，所以6，所以sin(m1m 7 4m6)2，由图象可知，6 63返回导航专题三三角函数及解三角形三角函数的性质及应用典 题 例 析6例 3(1)(文)(2019高三湘东五校联考)将函数f(x)sin(x )的图象上各数二点的横坐标伸长

27、到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能学轮复习是( D )12123Ax Bx 3Cx Dx2 返回导航专题三三角函数及解三角形6解析依题意知，将函数f(x)sin(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来11 的2倍，纵坐标不变，得函数g(x)sin(2x6)的图象令2x62k，kZ，数学二3轮习复得x2k故选D2 ，kZ，当k0时，所得函数图象的一条对称轴的方程为x2 ，3返回导航专题三三角函数及解三角形(理)(2019郑州第一次质量测试)若将函数f(x)3sin(2x)(0)图象上 的每一个点都向左平移3 个单位长度，得到g(x)的图象，若函数g(x)是奇函数，则函数g(x)

28、的单调递增区间为( A )数学轮二3 习复Ak4，k 4 (kZ)Bk4，k4(kZ)Ck2 5，k (kZ)Dk，k(kZ)361212返回导航专题三三角函数及解三角形3解析由题意知g(x)3sin2(x )3sin(2x2 )，因为g(x)是奇函33数，所以2 k(kZ)，即 2 k(kZ)，又0，所以 3 ，所数32 二以g(x)3sin(2x)3sin2x，由 轮4复2k2x3 22k(kZ)，解得k 学习33 xk 4 (kZ)，所以函数g(x)的单调递增区间为k4，k 4 (kZ)故选A返回导航专题三三角函数及解三角形(2)(文)(2018全国卷，10)若f(x)cosxsinx在

29、0，a上是减函数，则a的最大值是( C )A 4B2 C3 数4D二轮习复 学3 解析f(x)cosxsinx 2cos(x4)在4， 4 上单调递减，4所以0，a 33 ， 4 ，故0a 4 返回导航专题三三角函数及解三角形(理)(2018全国卷，10)若f(x)cosxsinx在a，a上是减函数，则a的最大值是( A )A 4B2C3 数4D二轮习复 学3 解析f(x)cosxsinx 2cos(x4)在4， 4 上单调递减，所以a，a 3 ，故aa3 ，解得0a4， 44且 44返回导航专题三三角函数及解三角形2(3)若函数f(x)3 sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于( ，0)中心对 ，称，则函数f(x)在 上的最小值是( B )46数二A1B 3学轮1习复 3C2D 2返回导航专题三三角函数及解三角形解析f(x)2sin(2x )，又图象关于( ，0)中心对称，所以26 k，kZ所以k67 ，又0，所以25 ，2 6 6数二所以f(x)2sin2x，学轮复习因为x ，4，6所以2x ，f(x) 3，2，2，3所以f(x)的最小值是 3返回导航专题三三角函数及解三角形求解函数yAsin(x)的性质问题的三种意识1. 转化意识：利用三角恒等变换将所