【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 4.5三角函数的图象配套课件 理 新人教A版

1、第五节 三角函数的图象,三年12考 高考指数: 1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象； 2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图； 3.理解A,的物理意义； 4.了解周期函数与最小正周期的意义.,1.三角函数图象的平移、伸缩变换及“五点法”作图是本节的重点，也是难点； 2.图象的平移变换和伸缩变换是高考的热点； 3.单独考查图象变换时多以选择题出现，本节内容常与三角恒等变换结合以解答题的形式出现.,1.三角函数的图象,【即时应用】(1)y=sinx的图象在0,2上的五个关键点的坐标依次为 _. (2)y=cosx的图象的两条相邻对称轴间的距离为_. 答案：,

2、2.A,的物理意义 (1)当函数y=Asin(x+)(A0，0,x0,+)表示一 个振动量时，则_叫做振幅，T=_叫做周期，f=_叫做频 率，_叫做相位，当x=_时的相位_叫做初相.,A,x+,0,(2)函数y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(A0且0)的最 小正周期为T=_； (3)函数y=Atan(x+)(A0且0)的最小正周期为_.,【即时应用】 (1)思考：函数y=Asin(x+)的对称中心及对称轴方程各是什么？ 提示：由x+=k(kZ)，得 , 由 函数y=Asin(x+)的对称中心为 ，对称轴 方程为 .,(2)函数y=cos22x的最小正周期是_. 【解析】y= , T=

3、 . 答案：,(3)函数y=tan(2x+ )的最小正周期是_. 【解析】因为“x”前的系数为2， 所以T= . 答案：,3.三角函数的图象变换 函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象可由函数y=sinx的图象变换得到，即平移变换(相位变换)与伸缩变换(周期变换)： (1)先平移再伸缩,y=sinx,向左（0)平移|个单位 向右(0)平移|个单位,y=sin(x+),y=sin(x+)（纵坐标不变）,纵坐标伸长(A1)到原来的A倍 纵坐标缩短(0A1)到原来的A倍,y=Asin(x+)（横坐标不变）；,横坐标伸长(01)为原来的,(2)先伸缩再平移,y=sinx,y=sinx（纵坐标不变）

4、,纵坐标伸长(A1)到原来的A倍 纵坐标缩短(0A1)到原来的A倍,y=Asin(x+)（横坐标不变）.,横坐标伸长(01)为原来的,向左(0)平移| |个单位 向右(0)平移| |个单位,y=sin(x+)(y=sin(x+ )）,【即时应用】 判断下列命题的真假.(请在括号中填写“真”或“假”) (1)把y=sinx的图象向右平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y= .( ) (2)把y=sinx的图象向左平移 个单位，就得到y=cosx的图象.( ),(3)把y=cosx的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标 不变),再把所得图象向

5、左平移 个单位，所得图象的解析式 为y= .( ),【解析】(1)y=sinx y=sin(x- ) 该命题为真. (2) 而y= , 该命题为真.,(3) 该命题为假. 答案：(1)真 (2)真 (3)假,函数y=Asin(x+)的图象变换 【方法点睛】 1.三角函数式的化简方法 若题目要求函数的周期，或探求其图象的变换，则预示着要把函数的解析式化成y=Asin(x+)的形式，常用的方法是利用二倍角公式变形，然后利用辅助角公式asin+bcos= 化简.,2.三角函数图象的平移变换应注意的问题 三角函数图象的左右平移变换是对“单个x”而言的，若x的系数不是1，需要先提取x的系数，使括号里x的

6、系数变为1，再根据左加右减的法则进行平移变换. 【提醒】先周期变换，再平移变换，与先平移变换再周期变换，平移的单位长度往往不同.,【例1】(1)将 的图象向右平移 个单位，再将所得 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为_.,(2)(2012柳州模拟)已知函数f(x)=cos4x+ sinxcosx-sin4x+ sin2x+1. 求函数f(x)的最小正周期. 函数y=f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到?,【解题指南】(1)按图象变换的顺序求解即可. (2)因式分解，降次，把函数f(x)化成y=Asin(x+)的形式，根据公式求

7、最小正周期，根据三角函数图象的变换法则探求图象的变换.,【规范解答】(1)y= 答案：,(2)f(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)+ 函数f(x)的最小正周期T= ； 先把y=sin2x的图象向左平移 个单位得到y= 的图象，再把y= 的图象向上平移 个单位，即得函数 的图象.,【互动探究】本例(1)中，若将两次变换顺序交换一下，则结果如何？ 【解析】y= y= y= 所得图象的解析式为y= .,【反思感悟】由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象，“先伸缩，后平移”时应平移 个单位.,【变式备选】已知函数 . (1)当函数y取得最大值时，求自变

8、量x的集合； (2)该函数的图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？,【解析】(1) 所以y取最大值时，只需 ， 即 . 所以当函数y取最大值时， 自变量x的集合为 ；,(2)将函数y=sinx的图象按照以下步骤进行变换： 把函数y=sinx的图象向左平移 个单位长度， 得到函数y= 的图象； 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数y= 的图象；,把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变)，得到函数y= 的图象； 把得到的图象向上平移 个单位长度，得到函数 的图象，即函数 的图象.,函数y=Asin(x+)的图象的作法 【方法点睛】

9、 五点作图法的一般步骤 (1)将函数化简成y=Asin(x+)的形式; (2)列表,令z=x+分别为 ,求出相应的x值x1,x2,x3,x4,x5及相应的y值0,A,0,-A,0列成表格;,(3)描点,在坐标系中作出五个点(x1,0),(x2,A),(x3,0),(x4, -A),(x5,0),即函数y=Asin(x+)的图象的一个周期上的五个点; (4)连线,用平滑曲线顺次连结起五个点,再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.,【例2】已知函数f(x)= sin(-x)sin( -x)+2cos2x(0)的最小正周期为. (1)求的值及函数f(x)的对称轴方程. (2)用五点法作出它在

10、长度为一个周期的闭区间上的图象. 【解题指南】把函数解析式化为y=Asin(x+)的形式，根据相关公式求的值及函数f(x)的对称轴方程，用五点法作图.,【规范解答】f(x)= = . (1)T= , f(x)= , 由 ， 函数f(x)的对称轴方程为x= .,(2)列表,0,2,x,1,3,1,-1,1,描点连线成图.,O,3,2,1,-1,【反思感悟】画函数y=Asin(x+)+t在任一周期上的图象，是用五点作图；画其在某一给定闭区间(一个周期)上的图象，需列表、可能要描出六个点.画图时要认真审题，注意区别所画图象所对应的区间.,【变式训练】试画出函数f(x)= 的图象,根据图象探求f(x)

11、的最小正周期，并给出证明.,【解析】列表,0,2,x,0,1,0,1,0,描点连线成图 根据图象猜想T=2.,证明如下： f(x)的最小正周期为2.,由三角函数的图象求解析式 【方法点睛】 由图象求函数y=Asin(x+)(A0,0)解析式的方法 求函数y=Asin(x+)的解析式，就是确定参数A,的值，通常是根据其图象上的已知条件，转化为数量关系来求解.其中 (1)A可由图象的最高点(或最低点)来确定；,(2)一般通过周期公式 来求，而周期通常根据函数图象的最高点、最低点、零点的坐标、对称轴方程、对称中心的坐标等来求解； (3)可以用点的坐标代入解析式列方程求解，一般是在A和求出后再求，解方

12、程时注意所用点的位置和所在的单调区间.,【例3】(2012成都模拟)函数y=Asin(x+)(其中A0,0,0)的图象如图所示. (1)求此函数的解析式; (2)将(1)中求得的函数的图象经过 怎样的变换才能得到函数y=sinx的 图象.,【解题指南】由最高点或最低点的纵坐标确定A的值，由 周期为4确定的值，代入点 的坐标及的取值范围确定的值；先看怎么由y=sinx的图象经过平移、伸缩变换得到y=Asin(x+)的图象，再反过来，由y=Asin(x+)的图象变换得到y=sinx的图象.,【规范解答】(1)由图象可得A= , , 由图象过点(2, )得 , 即 , , . 函数的解析式为y= .

13、,(2)y= 把y= 的图象向右平移两个单位，所得图象的解析式为y= ; 把y= 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，所得图象的解析式为y= ; 把y= 图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，所得图象的解析式为y=sinx.,【反思感悟】把y=sinx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍所得图象的解析式为y=sinx，反过来，把y=sinx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍所得图象的解析式为y=sinx，这种变化的依据是函数周期的变化.,【变式训练】已知函数y=Asin(x+)(A0，0，| )的图象过点 ，图象上与点P最近的一个顶点是 ，试求函数的解析

14、式.,【解析】由题意得: , T=, T= =(0), =2, y=5sin(2x+). 又图象过点 , 即 , 函数的解析式为y= .,【变式备选】已知函数y=Asin(x+)+B的一部分图象如图所示，如果A0，0，| ，试求函数的解析式.,【解析】由最大值和最小值可得 解得A=B=2，函数的最小正周期为T= ，又T= ,所以=2，再把点 代入解析式，得4= ，即 , , 函数的解析式为y= .,【易错误区】三角函数图象平移中的误区 【典例】(2012南宁模拟)为得到函数y= 的图象，只需将函数y=sin2x的图象( ) (A)向右平移 个单位长度 (B)向左平移 个单位长度 (C)向右平移

15、 个单位长度 (D)向左平移 个单位长度,【解题指南】 平移前后的函数名不一样，因此需要将 y= 化为正弦函数后再观察如何平移. 【规范解答】选D.y= 需把函数y=sin2x的图象向左平移 个单位长度.,【阅卷人点拨】通过试题中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示与备考建议：,1.(2011大纲版全国卷)设函数f(x)=cosx(0)，将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原 图象重合，则的最小值等于( ) (A) (B)3 (C)6 (D)9 【解析】选C.由题得 ,解得=6k(kN*),令 k=1，即得min=6.,2.(2012来宾模拟)函数y=sinx|cotx|(0 x)的图象的大致形状是( ) 【解析】选B.y= B正确.,3.(2011江苏高考)函数f(x)=Asin(x+),(A,为常数,A0，0)的部分图象如图