工程数学习题七、九、十、十一解答

1、习题七解答1. 设的分布律为， X-1012概率求（1），（2），（3），（4）。解 由随机变量X的分布律，得X-1012-X+1210-1X21014P所以 另外，也可根据数学期望的性质可得：2.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知，求的值。解3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求的数学期望。解 所以 故 4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在2000，4000（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？解 设随机变量Y表示

2、平均收益（单位：万元），进货量为吨Y= 则要使得平均收益最大，所以得 （吨）5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望和方差。解 X的可能取值为0，1，2，3，有所以X的分布律为X0123Pr0.5040.3980.0920.0066. 设X的密度函数为，求（1）；（2）。解 （1） （2）注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。 7. 某商店经销商品的利润率的密度函数为，求,。解 （1） （

3、2）故8. 设随机变量X的密度函数为 0 求、。解9. 设随机变量的联合分布律为XY0100.30.210.40.1求、。解 关于X与Y的边缘分布律分别为：X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.310. 设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为 求。解 ，所以，所以，X,Y相互独立，所以。11. 设服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线所围成的区域，求（1）；（2）；（3）的值。y0 x解 先画出A区域的图-1 xAy-1-1-y 2 0 其他 0 其他 0 其他12. 设随机变量的联合密度函数为 0 其他求。y10 1 x解 先画出区域的图G 0 其他 0 其他 13. 设

4、随机变量X,Y相互独立，且，求。解14. 设，求（1）；（2）。解：（1） （2） 15. 设随机变量相互独立，求。 解 16. 验证：当为二维连续型随机变量时，按公式及按公式算得的值相等。这里，、依次表示的分布密度。 证明 17. 设的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计的值。 解 18. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计的值。解 所以 21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限

5、定理求保险公司亏本的概率。解 设死亡人数为，保险公司亏本当且仅当，即。于是，由棣莫弗拉普拉斯定理，公司亏本的概率为习题九解答 1. 设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。 解 2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解（1） 0 其他（2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。（3）样本均值样本方差样本标准差。 3. 查表求，。解 ，。 4. 设，求常数，使。 解

6、由t分布关于纵轴对称，所以即为。由附表5.6可查得，所以。 5. 设是来自正态总体的样本，试证：（1）；（2）。证明：（1）独立同分布于，由分布的定义，即。（2）易见，即，由分布的定义，即。 6. 设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。（1）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；（2）试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。 解（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度为2。（2）由于，则。又，与相互独立，则即 即，自由度为3。 7. 设是取自总体的一个样本，在下列三种情况下，分别求：（1）；（2）；（3），其中。 解 （1） （2）（3），其

7、中 8. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。 解（1）引入新变量： 1，第个样本居民年收入超过1万 0，第个样本居民年收入没超过1万其中易见：又因，故可以近似看成有放回抽样，相互独立。样本中年收入超过1万的比例即为，由于较大，可以使用渐近分布求解，即，所求概率即为（2）同（1）解法引入新变量： 1，第个样本居民受过高等教育 0，第个样本居民未受过高等教育其中答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的

8、概率为0.0918；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。习题十解答1. 设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。解 （1），故的矩估计量有。另，X的分布律为，故似然函数为对数似然函数为：令 解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。（2），令，故的矩估计量。另，X的密度函数为 故似然函数为 对数似然函数为解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。2. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，求的矩估计与最大似然估计，

9、如得到一组样本观测值X01234频数17201021求的矩估计值与最大似然估计值。解 ，故的矩估计量。由样本观测值可算得另，X的分布律为故似然函数为对数似然函数为解得的最大似然估计量，故的最大似然估计值。3. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。解 ，令，故的矩估计量。4. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为 其中未知，求的矩估计。解 ，令，故的矩估计量为。5. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为 其中未知，求的矩估计和最大似然估计。解 ，令，故的矩估计量为，另，似然函数 对数似然函数为解得的最大似然估计量为。6. 设是取自总体X的一个样本，总

10、体X服从参数为的几何分布，即，其中未知，求的最大似然估计。解 似然函数 对数似然函数解得的最大似然估计量为。7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。解 根据习题1的结果，的矩估计和最大似然估计量都为，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为，即为。由样本观测值可算得。8. 设总体X的密度函数为，其中未知，设是取自这个总体的一个样本，试求的最大似然估计。解 似然函数 ，对数似然函数为得的最大似然估计量为。9. 在第3题中的矩估计是否是的无偏

11、估计？解 故的矩估计量是的无偏估计。10. 试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。证明：故的最大似然估计是的无偏估计。11. 设为总体的样本，证明都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。证明 所以都是总体均值的无偏估计。又 可见，所以二个估计量中更有效。12. 设是取自总体的一个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。证明 易见又 ，由第九章公式（9），故 。由切比雪夫不等式，当，对任给，即是的相合估计。习题十一解答1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15

12、.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。解 由于已知，所以选用的置信区间。当，查表得，当，查表得。代入数据得的双侧0.9置信区间观测值为，即为。的双侧0.99置信区间观测值为，即为。2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和方差的双侧0.9置信区间。解 由于和都未知，故的双侧置信区间为，的双侧置信区间为，代入数据得，的0.95双侧置信区间观测值为，即为。的0.9双侧置信区间观测值为，即为。3. 随机地取某种子

13、弹9发作试验，测得子弹速度的，设子弹速度服从正态分布，求这种子弹速度的标准差和方差的双侧0.95置信区间。解 由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，的0.95双侧置信区间观测值为，即为。故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布，且标准差。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。解 由于已知，故的单侧置信下限为，的单侧置信上限为，代入数据得，故的0.95单侧置信下限观测值为，的0.95单侧置信上限观测值为。5. 某单位职工每天的

14、医疗费服从正态分布，现抽查了25天，得元，元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间。解 由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。6. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量，已知其总体标准差；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量，已知其总体标准差，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差的双侧0.99置信区间。解 由于已知，故的的双侧置信区间为代入数据得，故的0.99双侧置信区间观测值为，即为。7. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y，随机的抽取甲、乙两种显像管各10只，得数据和（单位：），且由此算得，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差的双侧0.95置信区间。解 由于未知，故的双侧置信区间为其中，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为 ,即为。8. 在3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不