概率论与数理统计课件：ch1-4 条件概率及全概率公式

1、1.1 随机事件及其运算 1.2 随机事件的概率 1.3 古典概型 1.4 条件概率 1.5 随机事件的独立性,教学内容,Chapter 1 Random Events and Probability,第一章 随机事件及其概率,Content,1.理解条件概率,掌握乘法公式 2.会用全概公式、贝叶斯公式,教学要求, 1.4 条件概率及全概率公式,主要内容,Contents,Requests,一、条件概率与乘法公式 二、全概公式与贝叶斯公式,Chapter 1 Random Events and Probability,第一章 随机事件及其概率,Conditional Probability a

2、nd Complete Probability Formula,问题1、一个家庭有两个孩子，问都是女孩的 概率是多少？ 答：1/4 问题2、一个家庭有两个孩子，已知其中有一个 是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ 答：？ 问题3、一个家庭有两个孩子，已知大的孩子 是女孩，问小的孩子也是女孩的概率是多少？ 答：1/2,问题2的答案是1/3,测测你的概率感觉,一、条件概率与乘法公式,Conditional Probability and Multiplication Formula,掷骰子,引例,条件A,结果B,B=掷出2点， 求,掷一颗均匀骰子，A=掷出偶数点 ，,解,即,在掷出偶数点前提下,

3、掷出的恰是2点的概率?,2、条件概率的定义,设A、B是两个事件，且P(A)0,则称,为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率。,条件,结果,The Definition of Conditional Probability,A,B,常用算法,1)直接法(古典概型法),2)公式法（定义法）,在缩小后的样本空间A中计算B发生的概率.,在原样本空间中，先计算 再用公式,掷骰子,引例,条件,结果,B=掷出2点， 求,掷一颗均匀骰子， A=掷出偶数点 ，,解,直接法,公式法,(P(B) 0),为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。,条件,结果,A,B,类似，定义,Conditional Probab

4、ility,条件概率具有概率的公理性质,也是概率：,注,(对立),(减法),(加法),常用,例如：,思考,设A,B为随机事件,且,( ),则必有,C,(06-1,4,-4),一袋中装有 10 个球,先后两次从袋中各取一球 (不放回).,其中 3 个黑球,7 个白,(1),已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍,是黑球的概率;,解,(1),下,即第一次取到的是黑球的条件,第二次取球就在剩下的 2 个黑球、7 个白球,9 个球中任取一个,根据古典概率计算,球,共,的概率为 2/9，,即有,取到黑球,(P.19),直接分析,解,(2),即第二次取到的是黑球的,条件下,求第一次取到黑球的概率.,发生

5、在第二次取球之前,但第一次取球,故问题的结构不像 (1) 那,么直观.,由,(2),已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也,是黑球的概率.,并不显然， 两种可能： 第一次取到 黑或白球， 要算和事件,(P.19),( 常用拆分),( 互斥事件),( 乘法公式),全概率公式,P.21,解释 P.19(2),袋中有 5 个球,从袋中不放回地连取两个,其中 3 个红球 2 个白球,现,已知第一次取得红球,求第二次取得白球的概率.,解法 1,表示“第,二次取得白球”,依题意要求,即第一次取得红,球的取法为,其中,第二次取得白球的取法,有,种,所以,时,缩减样本空间,袋中有 5 个球,从袋中不放回地连

6、取两个,其中 3 个红球 2 个白球,现,已知第一次取得红球,求第二次取得白球的概率.,解法 1,时,也可以直接计算,因为第一次取走了一个红球，,袋中只剩下 4 个球,其中有两个白球,任取一个,再从中,取得白球的概率为 2/4,所以,解法 2,表示“第,二次取得白球”,求,在 5 个球中不放回连取两球的取法,其中,第一次取得红球的取法,第一次取得,红球第二次取得白球的取法,所以,由定义得,公式法,推广,3.乘法公式,Multiplication Formula,条概公式,前1,1,前2,3,2,一袋中装有 10 个球,球,其中 3 个黑球、7 个白,求两次,取到的均为黑球的概率.,解,则,由题

7、设知,于是根据乘法公式,有,先后两次从中随意各取一球 (不放回),表示事件“两次取到的均为黑球”.,两步完成一个事件的结构,乘法公式(原理),解,于是根据乘法公式,有,注:,对本例,我们曾用古典概型方法计算过,这里,表示事件“两次取到的均为黑球”.,则使用乘法公式来计算.,在本例中,问题本身提供,了,这恰恰与乘法公式的,形式相应,合理地利用问题本身的结构来使用乘法,公式,两步完成一个试验的结构,往往是使问题得到简化的关键.,则,一批产品共100件,其中有10件是次品， 其余为正品,现依次进行不放回抽取3次，求第三次才取得正品的概率。,法1:设 =第i次取得正品, i=1,2, 3,练习,则第三

8、次才取到正品=,法2:古典概型,解,简单,二、全概率公式与贝叶斯公式,Complete Probability Formula and Bayesian Formula,1.全概率公式,定理1设随机试验E的样本空间为 事件 构成样本空间 的划分 (或一个完备事件组)，且,Complete Probability Formula,则对任一事件B，有,执因求果,原因,结果,注意内在逻辑,证,而为 的一个划分，,或称 为 的一个划分,则称 为完备事件组.,若 两两互斥，且,完备事件组(划分),了解,S,B,人们为了解一只股票,变化,往往会去分析,如利率的变化.,比,现假设经分析估计近期利率下调,的概

9、率为60%,利率不变的概率为 40%.,根据经验,价格上涨的概率为 80%,该支股票,而在利率不变的情况下,在利率下调的情况下,其价格上涨的概率为 40%.,求该支股票将上涨的概率.,未来一定时期内价格的,影响股票价格的基本因素,（即不可能上调）,解,不变”,依题设知,于是,一商店出售的 是某公司三个分厂生产的同型号空调器， 而这三个分厂的空调比例为3:1:2， 它们的不合格品率依次为0.01,0.12,0.05 某顾客从这批空调器中任意选购一台.,例6,(1)顾客购到不合格空调器的概率.,(2) 若已知顾客购到不合格的空调器, 试问这台空调器是哪一个分厂生产的可能性大？,例7,试求：,由题意

10、知 是样本空间的一个划分,且,(1)设B=顾客购到不合格空调器,=顾客购到第i个分厂生产的空调器,i=1,2,3,解,执因求果,同理，,所以顾客购到的不合格空调器是第2分厂 生产的可能性较大,(2)由(1)知 ，且有,解,执果索因,贝叶斯公式,利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不,同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生,的概率.,下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反,的问题,即一事件已经发生,要考察该事件发生的,各种原因、情况或途径的可能性.,例如,有三个放,有不同数量和,颜色的球的箱,子,现从任一箱子中任意摸出一球, 发现是红球,该球取自哪个箱子的可能性最大?,样本空间的一个

11、完备事件组，且,设事件 构成随机试验E的,则对任一事件B，有,2.贝叶斯公式,Bayesian Formula,定理2,执果索因,原因,结果,贝叶斯公式又称逆概公式(后验公式),(条),(乘),(全),贝叶斯公式,注:,公式中,是在没有进一步信息(不知道事件,B是否发生)的情况下诸事件发生的概率.,在获得新,的信息(知道B发生)后,人们对诸事件发生的概率,就有了新的估计.,贝叶斯公式从数量上刻,画了这种变化.,特别地,若取n=2,并记,则,于是公式成为,例10,根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验,具有如下的效果:,性”,则有,现在对自然人群,进行普查,即,试求,解,由题设,有,由贝叶斯公式,解,由题设,有,由贝叶斯公式,得,注:,本题表明,虽然,这两个概率都比较高,但,即平均,1000个具有阳性反应的人中,大约只有87人确患癌,症.,例9,根据对以往数据分析，结果表明：当机器调整良好时，产品的合格率为90%，而当机