大学物理课件：第十一章 静磁学

1、第十一章 静磁学,第3篇 电磁学,1.磁力和磁场,1819年, 奥斯特实验首次发现了电流与磁铁间有力的作用, 才逐渐揭开了磁现象与电现象的内在联系。,磁场和电场一样, 也是物质存在的一种形式。,一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。,1822年安培提出了物质磁性本质的假说：,本章主要讨论不随时间变化的磁场稳恒磁场,11.1 磁现象的电本质,运动电荷、传导电荷、永久磁体间的磁力相互作用,试验线圈(电流、尺寸都很小的载流线圈)的磁矩定义为：,将试验线圈悬在磁场中，规定：,式中N为线圈的匝数，S为线圈包围的面积， 为载流线圈平面正法向单位矢量，其方向与电流流向呈右螺旋关系。,2. 磁感应强度,试验线

2、圈处于平衡位置时，线圈正法线所指方向即为该点磁场( )的方向。,实验发现，当 时，线圈受到的磁力矩最大，且 ，但二者的比值与实验线圈本身无关。,定义:,在SI制中，磁感应强度的单位是特斯拉(T),有时也用高斯(G)作单位,一般情况下，磁感应强度 是场点位置的矢量函数。若场中各点的 都相同，称为匀强磁场。,3. 磁感应线(磁力线),磁感应线上每一点的切线方向与该点的磁感应强度 的方向一致。,通过某点垂直于磁场方向的单位面积上的磁感应线条数等于该点 的大小。,磁感应线有以下特点:,磁感应线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无穷远处)。所以磁场是涡旋场。 磁感应线与载流电路互相套合，二者的方向遵从右螺

3、旋法则。 (3)任两条磁感应线都不相交。,1.毕奥-萨伐尔定律,说明,(1)电流元 是载流导线上任取的一段线元。,(2) 是从电流元 指向P点的单位矢量。,(3)o称为真空的磁导率, 在SI制中,o=410-7Tm/A,11.2 毕奥-萨伐尔定律,(4)磁场的大小：,是 与 之间的夹角。,所对应的磁感应线是以 所在的直线为轴，以为rsin半径的圆。在同一圆周上的各点的dB相等，并随r 增大而减小。,(5)方向： ，由右手螺旋法则确定。,(6)按照磁场叠加原理, 任一有限长的线电流在P点产生的 ，应等于线电流上各个电流元在P点产生的 的矢量和：,矢量积分！,若各 方向相同，则,若各 方向不同，则

4、建立坐标系：,例11-1 求直线电流的磁场。,解 选坐标如图, 方向：垂直纸面向里(且所有电流元在P点产生的磁场方向相同);所以直线电流在P点产生的磁场为,电流元Idx在P点所产生的磁场为,2.毕奥-萨伐尔定律的应用,磁场方向: 垂直纸面向里。,统一积分变量：,说明： (1)上式中的 a 是直电流外一点P 到直电 流的垂直距离。 (2) 1和 2 分别是两端直电流端点和场点P的连线间的夹角。 1和 2必须取同一方位 的角。,讨论: (1)对无限长直导线,1=0, 2=, 则有,在垂直于直导线的平面上，磁感应线是一系列圆，圆上各点B相等。,(2)如果P点位于直导线上或其延长线上,证：若P点位于直

5、导线上或其延长线上，则=0或=，于是,则P点的磁感应强度必然为零。,例11-2 圆电流轴线上一点的磁场。,解 由对称性可知，P点的场强方向沿轴线向上。,即,(1)在圆电流的圆心o处, 因x=0, 故得,方向由右手螺旋法则确定。,推广：任意圆弧圆心处的磁场,讨论：,(2)若场点p远离圆心，且xR有，则,圆电流等效为由N和S极构成的磁偶极子。,磁偶极子的磁矩即载流线圈的磁矩：,式中N为线圈的匝数，S为线圈包围 的面积， 为载流线圈平面正法向单位矢量，其方向与电流流向呈右螺旋关系。,因此圆电流轴线上远离圆心处的磁场：,例11-3 一均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为, 绕通过盘心且垂直于盘面的轴以

6、的角速度转动，求盘心的磁场及圆盘的磁矩。,解 将圆盘分为若干个圆环积分。,带电圆环旋转时产生的电流强度为,环上的电量,盘心的磁场：,线圈的磁矩:,方向：垂直纸面向里。,圆盘的磁矩:,例11-4 求螺线管内部轴线上的磁场。,解：设螺线管的半径为R，单位长度线圈的匝数为n，线圈中通有电流I，每匝线圈均可看作为平面环形电流,由圆形电流轴线上的磁场强度计算公式,讨论: (1)当螺线管为无限长时，即管长lR。此时,(2)在两个端点处的磁感应强度,即无限长螺线管轴线上各点B相同，还可证明，轴线外其他各点的B也相同。即无限长螺线管内部为匀强磁场。,1. 磁通量,对闭合曲面来说, 规定取向外的方向为法线的正方

7、向。这样：,在SI制中, 磁通量的单位为韦伯(wb)。 1Wb=1Tm2,磁力线从封闭面内穿出时，磁通量为正； 磁力线从封闭面外穿入时，磁通量为负。,11.3 磁场的高斯定理,由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲面磁通量的代数和(净通量)必为零, 亦即,2.磁场的高斯定理,上式与静电学中的高斯定理类似, 称为磁场的高斯定理。但两者却有本质上的区别。 在静电场中, 由于自然界有单独存在的正、负电荷, 因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零, 这反映了静电场的有源性。而在磁场中, 磁力线是闭合的，表明像正、负电荷那样的磁单极是不存在的, 磁场是无源场。,解：将半球面和圆面组成一个闭合面，则由磁场

8、的高斯定理知，通过此闭合面的磁通量为零。,-B r2cos,这就是说，通过半球面和通过圆面的磁通量数值相等而符号相反。所以：,(1)I内是闭合路径l 所包围的电流的代数和。,包围穿过以闭合路径l为边界的任一曲面上的电流。,1.安培环路定理,磁感应强度 沿任何闭合路径的线积分称为 的环流。稳恒磁场的环流遵从安培环路定理：,在真空中，磁感应强度 的环流等于闭合路径l 所包围的电流强度的代数和的o倍。,说明：,11.4 安培环路定理,即：右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。,电流的正、负: 当闭合路径l 的方向与电流方向呈右手螺旋关系时，电流I 就取正号;

9、反之, 取负号。,(4)适用条件：稳恒电流(闭合电路)的磁场。,(2)安培环路定理表达式中左端的 应是空间所有电流(闭合路径l内外的电流)产生的磁感应强度的矢量和。,(3)安培环路定理揭示磁场是非保守场，是有旋场。,2.安培环路定理的应用, 求解具有某些对称性的磁场分布,求解步骤：,（1）分析磁场分布(电流分布)的对称性； （2）选择适当的闭合回路，使,（3）求出闭合回路所包围的电流的代数和。 （4）求出B并判断其方向。,例11-6 设无限长圆柱体半径为R, 电流I 沿轴线方向, 并且在横截面上是均匀分布的。求:(1)圆柱体内外的磁场；(2)通过斜线面积的磁通量。,解 (1)磁场分布具有轴对称

10、性，磁场方向为圆周切线方向，满足右手螺旋关系。,设电流密度为,Jr2,I,选半径r 的圆周为积分的闭合路径，由安培环路定理：,(2)通过斜线面积的磁通量:,磁场的方向均垂直于板面向里。,解 由对称性知,与螺绕环共轴的圆周上各点磁感应强度的大小相等,方向沿圆周为切线方向。,例11-7求载流螺绕环的磁场分布。设螺绕环环上均匀密绕N匝线圈, 线圈中通有电流I, 如图所示。,由安培环路定理：,在环管内:,B=,NI,对于管外任一点,过该点作一与螺线环同轴的圆周l1或l2为闭合路径，,由于这时I内=0，所以有 B=0 (在螺线环外) 可见，螺线环的磁场集中在环内，环外无磁场。,例11-8 求载流长直密绕

11、螺线管内外的场。设线圈中通有电流I, 沿管长方向单位长度上的匝数为n。,解：线圈密绕,根据对称性可知，管内磁场沿轴线方向。,作矩形安培环路如图,例11-9 一均匀带电的长直柱面，半径为R，单位面积上的电量为，以角速度 绕中心轴线转动，如图所示，求柱面内外的磁场。,解 旋转的柱面形成圆电流，它和一个长直螺线管等效。,由长直螺线管的磁场可知，柱面外的磁场为零；而柱面内的磁场为,=o单位长度上的电流强度,例3. 半径为a的无限长金属圆柱体内挖去一半径为b(ba)的无限长柱体，两柱体轴线平行，轴间距d(da-b)。空心导体沿轴向通有电流I 并沿截面均匀分布。 1) 求腔内此二柱体轴线联线上任一点的B；

12、 2) 证明腔内磁场是均匀磁场。,解：1)可假设不挖，在空腔处补上J 相同方向相反的小圆柱， 导体中的电流密度为,半径为a 的圆柱体在M点产生的磁感强度为B1，半径为b 电流方向相反的小圆柱体在M点产生的磁感强度为B2，其上通过的电流方向相反，电流密度相同。磁感强度用安培环路定理计算。,M点磁感强度为,方向垂直两轴线联线。从上式可见两轴联线上各点的磁感强度B大小和方向均相同。,答案与轴线上M点位置无关,2) 证明：设N 为腔内任一点，由安培环路定理分别求得,上式写成矢量式,从上式可见腔内各点的磁感强度B与N点在腔内的位置无关。大小为1/2(0Jd)，方向与OO垂直。即空腔内的场是均匀磁场。,N

13、点的磁感强度为,由毕萨定律，电流元 在P点产生的磁场为,设电流元 的横截面积为dS，导体内载流子数密度为n, 每个粒子带电量q，以速度 沿 的方向作运动，则I=qn dS,代入毕萨公式中，得,11.5 运动电荷的磁场,电流元内共有个ndSdl 载流子，所以一个运动电荷产生的磁场就是:,大小：,方向：,运动电荷的电场线和磁感应线,1.洛仑兹力,大小：,特点：不改变 大小，只改变 方向。 不对q 做功。,11.6 磁场对运动电荷及电流的作用,因为洛仑兹力 F=qBsin =0，所以带电粒子在磁场中作匀速直线运动。,带电粒子作匀速率圆周运动。,2.带电粒子在磁场中的运动,设带电粒子以初速度 进入匀强

14、磁场中，分三种情况讨论：,半径,周期,螺距,周期,半径,螺旋运动。,与 有一夹角,磁聚焦示意图,尽管在P点电子束中电子垂直于B的速度各不相同, 但周期相同，所以它们散开在磁场中沿各自的螺旋线绕行一周后, 都又会重聚于同一点P。这就是磁聚焦的基本原理。它已广泛地应用于电真空器件中, 特别是电子显微镜中。,应用：,应用于受控热核聚变(磁约束、磁镜效应),在非均匀磁场中, 带电粒子仍作螺旋运动, 但半径和螺距都将不断变化。,磁约束,3.霍耳效应,(1) 现象：,(2)原因：,载流子q = -e，漂移速度,方向向上，导体上下两表面出现电势差U，两个表面之间的电场EH = U / b。,导体中通电流I，

15、磁场 垂直于I，在既垂直于I，又垂直于 方向出现电势差U。,式中d是导体在磁场方向的厚度,最后得到：,载流子又会受到电场力的作用,达到稳恒状态时:, 量子霍耳效应, 测载流子密度, 测载流子电性 半导体类型, 测磁场 (霍耳元件), 磁流体发电,(3)应用：,解 电子进入磁场后，作圆运动。,找出圆心o，加辅助线oA、oB。,入射点和出射点间的距离:,AB=2Rsin,y轴与轨道曲线包围的面积:,o,例11-11 半导体的大小abc=0.30.50.8cm3 , 电流I=1mA(方向沿x轴), 磁场B=3000Gs(方向沿z轴)，如图所示；测得A、B两面的电势差UA-UB=5mv, 问: (1)

16、这是P型还是N型半导体？(2)载流子浓度n=?,解 (1) 由A面比B面电势高，判定这是N型半导体。,(2)由公式,代入I=10-3A, B=0.3T, d=0.310-2m, U=510-3V,得： n=1.251020个/m3。,3.安培定律,大小：dF=IdlBsin,方向：,对任意载流导线，可划分为许多电流元，则安培力,电流元 在磁场 中受的作用力即安培力为, 对于均匀磁场中的直载流导线, 安培力为, 对于均匀磁场中的任意形状载流导线, 安培力为,在匀强磁场中,弯曲导线受的安培力等于从起点到终点的直导线所受的安培力 。,结论：,例11-12 如图所示，无限长直电流I1和线段AB(AB=

17、L,通有电流I2)在同一平面内, 求AB受的磁力及对A点的磁力矩。,解 由于每个电流元受力方向相同,由公式 dF=IdlBsin 得,M=,B,例11-13 在匀强磁场 中，平行于磁感应线插入一无限大平面导体薄片，其上有电流在垂直于原磁场方向流动，此时导体片上下两侧的磁感应强度分别为 和 ，求(1)原匀强磁场的磁感应强度 ；(2)导体薄片中的电流线密度；(3)薄片受到的磁压。,解： (1)因B1B2，所以 的方向平行于导体平面指向左方。,并且导体中电流应垂直流出，产生均匀磁场 ，在上方 向左，在下方 向右的，则,(2)作一矩形闭和回路, 应用安培环路定理,(为导体中电流线密度),(3)导体受到

18、的磁压来自于原磁场 ，其上单位宽度长为dl的电流元 受到的力,大小：,大小：,再取单位长度，得导体上单位面积上受到的安培力，即磁压强,4.载流线圈在磁场中受到的的磁力矩,ab: F1=,bc：F2 =NIl2B, 方向垂直纸面向外;,da：F2=NIl2B, 方向垂直纸面向内。,可见，ab和cd边受合力为零, 也不产生力矩。,cd：F1=NIl1Bsin , 方向向下。,显然，bc和da边受的合力也为零。但这对力偶对中心轴要产生力矩。,Il1Bsin ,方向向上；,N,M =,F2,2.,但 pm=NIl1l2，所以磁场对线圈力矩的大小可表示为,写成矢量式:,上式对均匀磁场中的任意形状的平面线

19、圈也都适用。, 非均匀磁场中,结论：, 均匀磁场,转动的结果使线圈 的方向与磁场 的方向趋于一致，此时线圈处于稳定平衡状态。,解 可将圆盘分为无限多个圆环积分。,由M= pmBsin ，圆盘所受的磁力矩为, r2,B,M=,4.安培力的功,(1)对运动载流导线,安培力：,即安培力所做的功等于电流强度乘以导线所扫过的磁通量。,(2)对转动载流线圈,磁力矩：,大小：,线圈转动，使减小，当转动d时,式中dm表示线圈转过d ，穿过线圈磁通量的增量。,线圈从 1转到 2过程中，磁力矩做的功,若电流I不变，则,1.磁介质的种类,电场中，电介质极化后，在均匀电介质表面出现极化电荷，于是电介质中的电场为,与此

20、类似，磁场中，磁介质磁化后，在均匀磁介质表面出现磁化电流，于是磁介质中的磁场为,一. 磁介质和磁化强度,11.7 介质静磁学,根据r的取值，可将磁介质分为四类,为什么各类磁介质的相对磁导率r有如此的不同呢?这就要从它们在外磁场的作用下的磁化机理的不同说起。,式中, r叫磁介质的相对磁导率, 它随磁介质的种类和状态的不同而不同。对真空， r=1。,根据物质结构理论, 分子中的电子绕核运动, 同时又自旋。这些运动产生的磁效应，可用一个圆电流来等效。, 无外加磁场,(1)抗磁质：,(2)顺磁质：,这个等效的圆电流称为分子电流, 相应的磁矩 称为分子的固有磁矩。,2.抗磁质和顺磁质的磁化,分子中的电子

21、受到洛仑兹力的作用, 除了绕核运动和自旋外, 还要附加一个以外磁场方向为轴线的转动, 从而形成进动。, 在外磁场中,(1)抗磁质：,称为感应磁化。,(2)顺磁质：,称为取向磁化。,无论顺磁质还是抗磁质磁化后均在介质表面产生磁化电流，也称束缚电流。,单位体积内分子磁矩(包括附加磁矩)的矢量和,3.磁化强度,反映磁介质的磁化程度。若在某介质内各点的 相同，就称为均匀磁化。,4.磁化电流,为简单起见, 我们用长直螺线管中的圆柱体顺磁质来说明它们的关系。,设磁化电流线密度(即垂直电流方向单位长度上的磁化电流强度)为J,则此磁介质中的总磁矩为,按磁化强度的定义 ，有,=磁介质中所有分子磁矩的矢量和,即磁

22、化电流线密度J等于磁化强度M的大小 。,取如一矩形闭合路径l, 则磁化强度的环流为,闭合路径l所包围的磁化电流的代数和,是介质表面外法线方向上的单位矢量。,一般情况下, J=Msin, 是 与 间的夹角,可写成下面的矢量式:,二. 介质中磁场的性质,1.有磁介质的磁高斯定理,当空间存在磁介质时，空间各点的磁感应强度 应是传导电流产生的 与磁化电流产生的 的矢量和。即,磁化电流产生的磁场与传导电流产生的磁场一样，磁感应线都是闭合曲线。因此，在有磁介质存在的情况下，高斯定理成立：,2.有磁介质的安培环路定理,在磁介质中, 安培环路定理应写为,式中, Io内和 I内分别是闭合路径 l 所包围的传导电

23、流和磁化电流的代数和。,由于:,定义：磁场强度矢量,这就是磁介质中的安培环路定理。,实验表明, 在各向同性磁介质中：,其中m叫磁介质的磁化率。,可证明1+m=r相对磁导率, or= 磁导率, 则,得到：,由：,得：,例11-15 一根长直同轴线,两导体中间充满磁导率为的各向同性均匀非铁磁绝缘材料。传导电流I沿导线向上流去,由圆筒向下流回，设电流在截面上都是均匀分布的。求同轴线内外的磁场强度H和磁感应强度B的分布，以及贴导线的磁介质内表面上的磁化电流。,解 由安培环路定理:,及 B= H,H2 r,I,0,B=0,=0,紧贴导线的磁介质内表面处的磁化强度,磁化电流面密度,介质内表面处的总磁化电流,1.铁磁质铁、钴、镍和它们的合金,(1)