信号与系统（第2章）线性非时变系统的时域描述

1、1,第二章 线性非时变系统的时域描述（LTI system ： linear time-invariant system）,2.1引言 2.2-2.8冲激响应描述 2.2-2.3卷积和（离散） 2.4-2.5卷积积分（连续） 2.6-2.8系统互联及系统特性研究 2.9- 2.11微分和差分方程描述 2.12方框图表示 2.13状态变量描述 2.14-2.15Matlab探究及小结,2.1 引言,学习对象：线性非时变（ LTI ）系统 学习内容：时域描述 输入和输出信号都表示为时间的 函数的系统描述。 信号的时域分解； 系统的4种时域描述方法 学习目的：分析、预测系统的行为； 实现离散系统的计

2、算机数值处理。,1、四种描述方法:,利用冲激响应进行描述：输入信号分解为时移单位冲激信号（序列）的加权叠加，输出信号是时移的系统的冲激响应的加权叠加。 常系数线性微分方程或差分方程描述LTI系统的输入输出关系； 方框图法：由乘法器、加法器和延迟器等基本运算单元来描述系统； 状态变量描述法,不考虑系统的具体结构,需要考虑系统结构和元件的性能参数,反映系统的内部结构，并对其作用进行了功能化处理,从不同的角度描述同一个LTI系统,可系统研究和设计系统的内部结构,4,2、信号的分解基本思想,信号与系统分析的基本理论和方法 对于一个线性系统，若可以把任意输入信号 分解成若干个基本信号的线性组合，只要得到

3、该系统对每一个基本信号的响应，就可以根据系统的线性特性，将系统对输入信号 响应基表示为系统对基本信号的响应的线性组合。,LTI系统：满足线性特性（齐次性、叠加性），非时变性。,More，这种分析方法也可扩展至频域或其他变换域。,5,2、信号的分解需要解决的问题,研究信号的分解：什么样的信号可以作为构成任意信号的基本信号单元，如何通过基本信号单元的线性组合来构成任意信号？ 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应？,基本单元信号本身尽可能的简单，并且用它的线性组合可以构成尽可能广泛的其他信号。,LTI系统对这种信号的响应容易求得。,6,2.2-2.3 离散时间LTI系统：卷积和及计算,例：时移冲激

4、序列的线性组合构成阶跃信号,最简单的离散时间信号,一、用时移冲激序列的加权叠加表示离散时间信号,7,例：,任意信号都可以分解为移位加权的单位冲激信号的线性组合，即时移冲激序列的加权叠加表示。,二、LTI系统的响应：卷积和,系统的响应：即输入信号经系统后的输出信号。 系统的冲激（脉冲）响应：即系统对时间冲激输入信号的输出信号。对于LTI系统，其冲激响应代表了系统的所有特性，是表征和测试LTI系统的重要方法。,利用时移冲激序列的加权叠加表示的任意输入信号，经过LTI系统后的输出可以表示为卷积和的形式。,2.2 卷积和的概念,LTI系统的输出,1、任意系统的输出：,2、线性系统的输出：, 叠加性,

5、齐次性, 非时变性,3、LTI系统对冲激信号的响应，简称冲激响应, 卷积和,10,三、卷积和的求解,1、解法一,例：图2.2（图解法），例题2.1（直接计算）,特点：考虑了不同时移的冲激序列的加权、叠加计算，xn与hn的所有各元素都要遍乘一次。 优点：思路直接，计算简单。 缺点：只适用于两个有限长序列的卷积和计算，否则计算非常繁琐。,2.2 卷积和的概念,2、解法二,求解过程：,系统在n时刻的输出仅取决于时移量n，只需处理一个信号wnk。,12,13,可分5个区间求输出信号（卷积和）的值。,根据两个函数非零部分的重合情况分：,14,利用函数图形，帮助确定反转时移信号的区间表示，对于确定卷积和计

6、算的区段、及各区段的上下限是比较有用的。,2.3 卷积和的计算,1、确定信号和冲激响应（函数），以冲激响应函数或信号对起始原点做反折，并根据输出信号坐标点n做平移； 2、从n为负无穷开始，向时间轴的正无穷方向进行平移； 3、写出中间信号wnk的数学表达式； 4、增加时移量n时， wnk的数学表达式出现变化所对应n值，为性质相近区间的结束以及下一个新区间的新开始； 5、对新区间中的n，重复步骤3、4，直到划分所有时间区间和确定所有的wnk的数学表达式； 6、在每个时间区间内，对相应的wnk 对k求和，从而获得每个坐标点n的输出信号yn。,小结：卷积和的计算步骤说明,例题： 2.3移动平均系统 2

7、.4一阶递归系统 2.5 投资计算（实际应用）,因果系统，n0, n=0, hn=0, h0=1,理解xn， yn， 的实际意义，掌握计算方法,17, 2.2-2.3 卷积和及计算作业,P103：习题2.1、习题2.2(a,c,e),2.4-2.5 连续时间LTI系统：卷积积分及计算,连续时间信号表示：时移单位冲激信号的加权积分,任意系统（H）的响应,LTI系统的响应：, 卷积积分,一、连续时间LTI系统的冲激响应描述,19,解法一：直接计算法,二、卷积积分的计算,解法二,2.5 卷积积分的计算,小结（类似p106 卷积积分的计算过程的说明）,首先确定函数f(t)和h(t) 取非零值的区间a，

8、b和k，l，考虑到卷积的平移不变性，f(t)和h(t)取值区间均可从零开始，即0，b和0，l； 将h()以y轴为对称轴旋转180，反折为h(-)； h(-)时移为积分中的h(t-)，保持积分中f()的位置不变，将h(t-)的右端h(0)与f()的左端f(0)重合，并计算它们的乘积，得到第一个卷积积分值h(0) f(0)； 使h(t - ) 整体向右移动一段距离t后，使t = t1，计算f()与h(t1- )在0，t1范围内重合位置的乘积，并求这些乘积的积分（叠加），得到第二卷积积分值h(t1)* f(t1)；,重复步骤4，h(t - ) 整体向右移动i段距离t后，使t = ti，计算f()与h

9、(ti - )在0，ti范围内重合位置的乘积，并求这些乘积的积分（叠加），得到第i +1个卷积积分值h(ti)* f(ti)； 最后一次移动h(t - )，使t = b + l，计算f(b)与h(l)的乘积，得到最后一个个卷积积分值f(b)h(l)； 将求出的所有卷积积分值按对应的坐标顺序排列在一起，形成随t坐标变化的卷积积分函数。,利用函数图形，有助于帮助确定积分区间和积分上下限。,24,25,26,27,例题： 基本例题 2.6-2.8 2.9雷达测距：脉冲波传播的模型 2.10 雷达测距： 匹配滤波器,理解匹配滤波器的工作原理：输出信号峰值所在处，对应的时间t = 正是关注的往返时间的延

10、迟量的实际意义.,2.5 卷积积分的计算作业,P111：习题2.4、习题2.5,2.6 LTI系统的互联卷积积分的性质,2.6.1 LTI系统的并联,一个信号通过两LTI系统后的输出相加，相当于信号通过由两个LTI系统的冲激响应之和构成的总系统。说明LTI系统具有分配性。,学习内容：一个互联LTI系统的冲激响应与组成这个互联系统的各LTI子系统的冲激响应之间的关系。,2.6 LTI系统的互连卷积积分的性质,2.6.2 LTI系统的级联,一个信号通过第一个LTI系统后的输出信号再通过第二个LTI系统后，若等效于信号通过了一个新系统，新系统的冲激响应函数相当于前两个LTI系统的冲激响应的卷积和，而

11、且与信号通过两个系统的前后顺序无关。说明LTI系统满足结合律和交换律。,2.6 LTI系统的互联作业,P120：习题2.8、习题2.9,离散时间LTI系统及其卷积和，同时满足类似连续时间系统卷积积分的分配律、结合律和交换律特性。 例2.11：4个子系统混联的等效总系统,2.7 不同特性LTI系统的冲激响应,2.7.1 无记忆LTI系统,无记忆LTI系统：其输出只与现在的输入信号有关。,LTI系统的特性可用其单位冲激响应进行表征。,连续,离散,2.7 不同特性LTI系统的冲激响应,2.7.2 因果LTI系统,因果LTI系统：其输出只与过去和现在的输入信号有关。,34,2.7 不同特性LTI系统的

12、冲激响应,2.7.3 稳定LTI系统,有界输入有界输出（BIBO）意义下的稳定系统：即当输入为有界时，输出也一定有界的系统。满足：,连续时间系统：,2.7 不同特性LTI系统的冲激响应,2.7.4 可逆LTI系统：信号恢复和反卷积,可逆系统：指对一个系统至少存在一个逆系统，可使原系统的输出信号通过逆系统后还原为输入信号。,系统反卷积的描述,离散时间系统：,36,例1：延时器是可逆的LTI系统： 其逆系统是：,例2.13（P126）,2.8 阶跃响应,系统对单位阶跃输入信号的响应。,LTI系统的阶跃响应可以用系统的冲激响应来描述。 反之，冲激响应的阶跃响应表示为：,2.7 -2.8作业,P124

13、：习题2.10（a, c, d, f, g）,P128：习题2.13,39,主要针对离散时间系统。矩阵的存储于处理 只能处理有限持续时间的信号，无限长信号的响应可以根据前者做定性推算。 受限于数字计算机有限的记忆、存储能力以及非零计算时间。,2.14 利用MATLAB探究概念（1）,说明：,2.14. 1 卷积和,有限持续时间的离散时间信号的卷积和计算：y=conv(x,h) 注意：三个矢量的长度关系、非零元素的起始位置,40,卷积例题：课本例题2.1, 2.3, 2.4，2.5, 2.6, 2.7,2.14.2 阶跃响应（自学）,习题2.12,卷积和的长度是两个被卷函数的长度之和减1.,2.

14、9-2.11 LTI系统的微分和差分方程描述,常系数线性微分方程或差分方程具有LTI性质，它们是另外一种描述LTI系统输入输出关系的常用手段。,2、离散时间系统，常系数线性差分方程描述：,一、常系数线性微分方程或差分方程描述,2.9 LTI系统的微分和差分方程描述,例2.13（P131）计算机解差分方程,3、初始值（初始条件） 要获得系统未来的输出，必须知道该系统在过去的输出信息，则过去的输出信息称为初始值或初始条件。,初始条件隐含了会影响未来输出的、关于系统过去历史的全部信息，代表了系统对过去的“记忆”。 一般来说，确定输出所需的初始条件的数目等于方程的阶数。,二、 微分和差分方程的求解,在

15、描写LTI系统的常系数线性微分方程或差分方程中，当与输入信号直接有关的变化均为零时，该方程称为齐次方程，即：,在零输入（即与输入信号直接有关的变化均为零）的前提下，由系统的非零初始条件（即某一时刻该方程的状态）所决定的解，称为满足初始条件的齐次解；此时方程所对应的系统输出信号称为系统的自然响应，描述系统中由非零初值条件所代表的储能或过去存储值耗散的方式。,及,1、齐次方程、齐次解及自然响应,任何时候都满足齐次方程的解叫齐次解，齐次解可能不止一个，代表满足齐次方程的系统的各种可能的状态！,2.10 微分和差分方程的求解方法,在描写LTI系统的常系数线性微分方程或差分方程中，当与输入信号直接有关的

16、变化不全为零时，该方程称为非齐次方程。,满足非齐次方程的解可能不止一个。 其中，对于给定输入的、满足非齐次方程的任意一个解称为其特解。,2、非齐次方程、特解及强迫响应,当系统的初始条件为零（即自然响应为零）时，只由输入信号引起的系统响应，称为强迫响应，即描述当系统处于零状态时受输入信号“推动”的结果。,2.10 微分和差分方程的求解方法,在给定输入信号后，任何时候都能够满足微分或差分方程的解，称为常系数线性微分方程或差分方程的通解。,满足初始条件的非齐次方程的通解是完全解，完全解所对应的系统的输出信号就是完全响应。,3、非齐次方程的通解、完全解与完全响应,非齐次常系数线性微分方程或差分方程的通

17、解，由其齐次解和一个特解完全确定。,完全响应就是自然响应与强迫响应的叠加。,2.10 微分和差分方程的求解方法,4、常系数线性微分方程解 的形式和求解步骤,（2）ri 满足特征方程,（3）方程的齐次解：,（4） 是方程的一个特解（常见特解形式见P137表2.3）,（5）通解,（6）完全解满足初始条件的通解,2.10 微分和差分方程的求解方法,1）建立微分方程（P135例2.17）,4、常系数线性微分方程解的形式和求解步骤,2）求方程的齐次解（P135例2.17 ）,3）求输入为： x (t) = cos(0t) 情况下的特解（P138例2.20 ）,4）求方程的完全解（P140例2.22 ）,

18、5）求自然响应满足初始条件的齐次解（P143例2.24 ）,6）求强迫响应初始条件为零的完全解（P145例2.27 ）,例1：求RC回路的微分方程及解,7）求完全响应满足初始条件的完全解（ P140例2.22 P145例2.27 ）,求解常系数线性微分方程的核心，是将求解微分方程化为求解代数方程！,2.10 微分和差分方程的求解方法,5、常系数线性差分方程解的形式和求解步骤,1）求方程的齐次解（P136例2.18）,2）求输入为： x n = (1/2)n 情况下的特解（P137例2.19）,3）求方程的完全解（P140例2.21）,4）求系统的自然响应满足初始条件的齐次解（P143例2.25

19、）,5）求系统的强迫响应初始条件为零的完全解（P145例2.26）,例2：一阶递归系统差分方程的求解,6）求系统的完全响应满足初始条件的完全解（P140例2.21）,2.10 作业,作业：,P136：习题2.16（a,c）,P144：习题2.21（a）,P145：习题2.22（a）,P143：习题2.20,P142：习题2.19（a）,P133：习题2.14,P138：习题2.18（a,c）,2.12 LTI系统微分方程的方框图表示,回顾：冲激响应、微分或差分方程的时域描述,方框图表示由微分或差分方程描述的LTI系统： 反映系统内部对输入信号实施运算的基本运算部件之间的互联关系。,特点：从外部描述系统的输入-输出之间的关系特性。,特点：更直观、详尽的描述系统内部是如何组织并按次序的进行运算；对系统的特性仿真、硬件或软件实现具有重要意义。,51,其输出对应于 计算机存储器的位置,2.12 LTI系统微分方程的方框图表示,例：,2.12 LTI系统微分方程的方框图表示,表示一个系统的 方框图不唯一。,54,在设计与实现一个系统时，不同的内部结构会带来不同的影响：如系统的成本（器