信号与系统答案 西北工业大学 段哲民 第九章 习题

1、第九章 习题 9.1 图题9.1所示电路，已知与为状态变量，试证明以下各对变量是否都可以作为状态变量。答案解 本题说明状态变量的选取不是唯一的。若各组变量之间存在着非奇异线性变换关系，则这些变量组即可作为状态变量。又因为研究的是电路的状态，故可采取无激励电路（即令电路中的激励均为零）。 （1）即（2） 即（3）即（4）即（5） 即 可见以上5对变量的变换矩阵，其行列式的值均不为零，即它们均为非奇异矩阵，故以上的五对变量组均可作为该电路的状态变量。（6） 即 可见此变换矩阵的行列式的值为零，故与不能同时作为状态变量，它们两者线性相关。9.2 图题9.2所示电路，以为状态变量，试列写电路的状态方程

2、，并写成矩阵形式。答案 解只含一个独立电感的两个回路，分别列写方程为即 对只含一个独立电容的节点列写方程为即 （）式（），（），（，）即为电路的状态方程，其矩阵形式为9.3 图题9.3所示电路，以为状态变量，以为响应变量，试列写电路的状态方程与输出方程。答案 解（）求状态方程。对只含一个独立电感的回路列写方程为即 （）又 abcdefga回路的方程为即故（）对节点b列方程为（）式（），（），（）即为电路的状态评论员，其矩阵形式为（）求输出方程。 故输出方程的矩阵形式为9.4 以知系统的微分方程为试列写系统的状态方程与输出方程，并写出，矩阵。答案 解从已知的系统微分方程列写系统状态方程与输出方程

3、的题目。设状态变量为代入原微分方程有即即故得系统的状态方程为其矩阵形式为系统输出方程为故有9.5 图题9.5所示系统，以积分器的输出信号为状态变量，试列写系统的状态方程与输出方程。答案 解此方程组即为系统的状态方程，其矩阵形式为系统的输出方程为 写成矩阵形式为 9.6 已知系统的微分方程为（） 试画出直接形式、级联形式、并联形式的信号流图；（2）列写出与上述各种形式相对应的状态方程与输出方程。答案 （1）直接形式的信号流图如图9.6(a)所示。取积分器的输出信号为状态变量，故可列写出系统的状态方程为其矩阵形式为其输出方程为即 故级联形式的信号流图如图题9.6（b）所示。取积分器的输出信号为状态

4、变量，故可列写出系统的状态方程为其矩阵形式为其输出方程为即 （3）故并联形式的信号流图如图题9.6(c)所示。取积分器的输出信号为状态变量，故可列写出系统的状态方程为其矩阵形式为其输出方程为即 9.7 已知离散系统的框图如图题9.7所示，试列写系统的状态方程与输出方程。答案 解 （1）状态方程。取一阶子系统的输出信号为状态变量。即又故即（1）又故故（2）又故故（3）将式（1），（2），（3）按次写成矩阵形式即为（） 输出方程为即即9.8 离散系统的时域模拟图如图题9.8所示，以单位延时器的输出信号的状态变量，列写系统的状态方程与输出方程。 答案 解其矩阵形式的状态方程为其输出方程为即其矩阵形式

5、的输出方程为 9.9 已知离散系统的差分方程为（1）画出系统直接形式的信号流图；（2）以单位延时器的输出信号为状态变量，列写出系统的状态方程与输出方程。答案 解 （1）由差分方程可求得系统函数为故直接形式的信号流图如图题9.9所示。以单位延时器的输出信号为状态变量，可列写出状态方程为其矩阵形式为其输出方程为其矩阵形式为9.10 已知系统的状态转移矩阵为 求系统矩阵A。答案 解 方法一 利用状态转移矩阵的一阶导数求，即故 方法二 变换域方法 因有故令故故9.11 已知系统的状态方程为。答案 故 故得状态向量为9.12 已知系统的状态方程与输出方程为状态转移矩阵为当激励时的零状态解与零状态响应分别

6、为求系统的系数矩阵。答案 解 设因有故又有即故有联解得。故得矩阵又因有即故有联解得。故得矩阵故得系统的自然频率为。9.13 已知系统的信号流图如图题9.13所示。(1)以积分器的输出信号为状态变量，列写系统的状态方程与输出方程；(2)求系统函数矩阵；(3)求单位冲激响应矩阵。答案 解 这是一个多输入多输出系统。(1) 状态方程与输出方程其矩阵形式为输出方程为其矩阵形式为故(2) 求系统函数矩阵(3) 求系统的单位冲激响应矩阵9.14 已知离散系统的状态方程与输出方程为系统的初始状态为(1) 求状态转移矩阵；(2)求激励时的状态向量和响应向量。答案 解 (1) 或(2) 当激励时,状态向量只有零

7、输入解,响应向量只有零输入响应。状态向量为响应向量为9.15 已知系统的状态方程与输出方程为答案 解 (1) 故(2) 当状态变量为时故得状态向量为响应向量为当状态向量为时故可见在两种不同的状态变量下,响应是完全相同的。9.16 已知离散系统的模拟图如图题9.16所示。(1)求激励时的状态向量；(2)求系统的差分方程。答案 解 (1) 求状态向量取单位延时器得输出信号为状态变量,则可列出状态方程为其矩阵形式为输出方程为即因为系统得初始状态为零,故状态向量中只有零状态解,即故得状态向量为(2) 由于为零状态响应,故故故得系统得差分方程为9.17 已知系统的信号流图如图题9.17所示。(1)以积分

8、器的输出信号为状态变量，列写系统的状态方程与输出方程；(2)求系统的微分方程；(3)已知激励时的全响应为 答案 解 (1) 列写系统得状态方程与输出方程即输出方程为故(2) 故得系统得微分方程为(3) 零状态响应得像函数为故得零状态响应为故又得零输入响应为故又因即联解得9.18 已知系统的信号流图如图题9.18所示。试求K满足什么条件时系统为稳定。答案 解 取积分器得输出信号为状态变量,故状态方程与输出方程为即故系统的特征多项式为罗斯阵列为故欲使系统为稳定系统,就必须有故得答案 解 以为状态变量,对节点a , b列KCL 方程为整理后得电路得状态方程为故故故得单位阶跃响应为9.20 已知系统的状态方程与输出方程为试判断系统的可控性与可观测性。 答案 解故可见是满秩的,故系统是完全可控的。故可见不满秩,故系统是不完全可观测的。9.21 已知离散系统的状态方程与输出方程为(1) 求系统的差