理论力学课件：第二章_质点组力学

1、1,学生的意见和建议,1班：对学生要求高一些；多讲解例题； 多讲一些物理现象；上课幽默点。 2班：老师上课语速太快，建议放慢语速； 板书与PPT结合；多讲例题；若时间 允许，让学生自己上讲台讲习题； 老师上课有点严肃，使学生有紧张感。,2,第2章质点组力学,3,2.1 质点组 2.2 动量定理与动量守恒律 2.3 动量矩定理与动量矩守恒律 2.4 动能定理与机械能守恒律 2.5 两体问题 2.6 质心坐标系与实验室坐标系 2.7 变质量物体的运动,本章主要学习内容,4,前一章研究了单个质点的运动问题，本章进一步研究一群质点的集合体。把有多个相互联系着的质点组成的系统叫做质点组。,第2章质点组力

2、学,5,第2章质点组力学,质点组动力学的研究方法,如果按质点动力学的方法列写每个质点的运动微分方程式，则 方程数太多 出现未知的内力 减少描述质系运动的未知量数目 不研究每个质点，而将质系作为一个整体，研究表征质系动力学的物理量（动量、动能等）的变化 采取适当措施消除未知的内力及约束反力,6,2.1 质点组,第2章质点组力学,一、质点组的内力和外力,质点组内部各质点之间的相互作用力（满足牛顿第三定律）。,j对 i 的作用力,i,i,1、内力（internal force）,7,内力的性质1： 所有内力的矢量和等于零。,内力的性质2：所有内力对任一点的矩（或对任一轴的矩）的矢 量和等于零 。,2

3、.1 质点组,第2章质点组力学,8,内力的性质3： 一对内力所做的元功决定于 该对质点间的相对位移。,.质点间的相对位置不变，一对内力做功为 零，如刚体, 相对位移与质点间的连线垂直。,9,2、外力（external force）,质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力。,2.1 质点组,第2章质点组力学,10,二、质心（center of mass）,1、引入质心的目的,（简化问题的处理）,2、质心位置矢量的定义：,质心的位矢 是质点组中各质点的位置 以其质量 为权重的平均矢量。它可以代表质点组的整体位置。,2.1 质点组,第2章质点组力学,11,3、质心满足叠加原理：,质心位矢的分量形

4、式为：,2.1 质点组,第2章质点组力学,12,4、对于质量连续分布的物体，上述公式中的求和号应改为积分：,(线，面，体),2.1 质点组,第2章质点组力学,(1).若质量分布是均匀的，质心就是几何中心； (2).若物体较小，对各质点的重力加速度相同，质 心与重心重合。,13,例子：求半圆形均质薄片的质心（半径为R).,解：质心一定在y轴上，所以Xc=0,求,dm如何选取？,14,15,2.2 动量定理与动量守恒律,第2章质点组力学,一、质点组动量定理,将 n 个质点的运动微分方程加起来,应用牛顿第二定律，第 i 个质点运动微分方程为,外力矢量和,内力矢量和,16,根据牛顿第三定律已知内力矢量

5、和为0 ，于是,对此式左边可进一步改写为,第2章质点组力学,2.2 动量定理与动量守恒律,17,其中,故：,质点组动量定理,或,诸外力作用在质点组上的元冲量,此形式与单个质点的动量定理相似。,第2章质点组力学,2.2 动量定理与动量守恒律,18,分量形式：,第2章质点组力学,2.2 动量定理与动量守恒律,19,质点组动量=质心动量,）,二、质心运动定理,第2章质点组力学,2.2 动量定理与动量守恒律,20,质心运动定理,物理意义,质心的运动，犹如这样一个质点的运动，这个质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力等于作用在质点组上所有外力的矢量和。,第2章质点组力学,（质点组动力学第一基

6、本定理）,2.2 动量定理与动量守恒律,21,三、动量守恒律,质点组不受外力或外力矢量和为0 时，由动量定理可得:,故,而,因此,（质心作惯性运动）,第2章质点组力学,2.2 动量定理与动量守恒律,22,或,即,动量守恒律还适于各外力在某一轴上投影之和为零的情形。,第2章质点组力学,2.2 动量定理与动量守恒律,23,例 一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身和炮车质量和等于M，炮车可以自由地在铁轨上反冲。如炮身与地面成一角度，炮弹相对炮身的速度为V，试求炮弹离开炮身时对地面的速度 v 及炮车反冲的速度 U 。,解： 本题沿水平方向（设为x方向）无外力作用，因为火药爆炸力是内力，故沿x方向动量

7、守恒，即,（1）,（用绝对速度，不能用相对速度）,第2章质点组力学,2.2 动量定理与动量守恒律,24,又由相对运动关系，知：,（2）,由（1）及（2）得：,第2章质点组力学,2.2 动量定理与动量守恒律,25,由于炮车反冲,而,第2章质点组力学,2.2 动量定理与动量守恒律,26,2.3 动量矩定理与动量矩守恒律,一、对固定点O的动量矩定理,=0,表述：质点组对任一固定点o的动量矩对时间的变化率等 于各质点所受外力对同一点的力矩的矢量和,27,分量形式：,2.3 动量矩定理与动量矩守恒律,第2章质点组力学,28,2.3 动量矩定理与动量矩守恒律,第2章质点组力学,二、对动点O的动量矩定理,在

8、动系o-xyz系中，i 质点的运动微分方程：,29,2.3 动量矩定理与动量矩守恒律,第2章质点组力学,点的动量矩定理,为零的条件：,对动点o,质点系整体的动量矩的变化率不仅与各外力矩有关， 而且与惯性力矩也有关。,三、质心动量矩定理,30,即,质点组对质心的动量矩定理,第2章质点组力学,2.3 动量矩定理与动量矩守恒律,例（P.93）,（与质点的动量矩定理比较，只多一“”；对质心的动量矩守恒问题）,31,四、动量矩守恒律,守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形。,固定点O：当外力力矩为零时，有,如：,2.3 动量矩定理与动量矩守恒律,第2章质点组力学,质心C：当外力力矩为零时，即,如：,32,例

9、(P.93)、在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端距通过该轴水平面的距离为s与s两个质量分别为m与m的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加速度向上爬并同时到达滑轮轴所在的水平面假定滑轮的质量可忽略，且所有的阻力均可忽略不计，问需多久时间，两人可以同时到达?,解：1.运动、受力等分析；,2.运用动量矩定理：对滑轮中心的动量矩和力矩,积分一次：,t=0时，v=v=0, 得 c1=0,讨论：（1）若m=m,ss,永远不能同时到达,（2）若mm,ms-ms0,即,33,2.4 动能定理与机械能守恒律,第2章质点组力学,一、质点组的动能定理,由质点的动能定理（微分形式）,应用到质点组中的任一质点

10、上,对i 求和，得,34,质点组的动能定理,2.4 动能定理与机械能守恒律,第2章质点组力学,（质点组动力学第三基本定理）,在动量定理和动量矩定理中，内力的影响均被抵消；但在动能定理中，除非在特殊情况下（如刚体），内力的影响通常不能被抵消。,注意,质点组即使不受外力作用，或所受外力作用相互平衡，质点组的动能也未必守恒。,35,对不同的参照系，物体的速度不同，对固定系和对质心系的动能之间的关系如何？,三、柯尼希定理,2.4 动能定理与机械能守恒律,第2章质点组力学,36,其中m为质点组总质量。,对固定系的质点组的动能等于质心动能加上相对于质心系的动能：,37,四、对质心的动能定理,2.4 动能定

11、理与机械能守恒律,第2章质点组力学,由,用相对于质心系的位移点乘两边，并对i求和,而,因此，可得,38,即：质点组对质心动能的微分，等于质点组相对于质心系位移时内力及外力所作元功之和。,与相对于惯性系的质点组动能定理形式相同！,此时，质心虽然是动点，但惯性力做功之和为零！与动量矩定理相似！（体现了引入“质心”的意义）,2.4 动能定理与机械能守恒律,第2章质点组力学,39,对质点组而言，内力作功之和一般并不等于0，故若只有外力是保守力而内力并不是保守力时，则质点组的机械能不守恒。,其中E为总能量，T为质点组动能，V为质点组势能（它包括内力的势能和外力的势能）。,四、机械能守恒律,只有作用在质点

12、组上的所有外力及内力都是保守力（或其中只有保守力做功）时，机械能才守恒：,2.4 动能定理与机械能守恒律,第2章质点组力学,例（P.96）,40,例（P.96）:质量为m1和m2的两自由质点互相吸引，引力与其质量成正比、与 距离平方成反比，比例常数为k.开始时，两质点皆处于静止状态，其间距 为a .试求两质点的距离为a/2时两质点的速度v1、v2.,解：1. 分析题意，一维运动，只受一对内力作用，内力性质,2.引力势能计算：,3.动量和机械能均守恒,41,小结,质点组的三个动力学基本定理（静系）,动量定理,动量矩定理,动能定理,42,质点组的三个动力学基本定理（C系）,动量定理,动量矩定理,动

13、能定理,43,质点组的三个守恒律,动量,动量矩,机械能,44,2.5 两体问题,第2章质点组力学,两体问题：两个只受内力作用的质点系（孤立系统）,一、太阳与行星两体整体运动规律,对太阳:,对行星：, + 式，得,45,而质心：,因此，,2.5 两体问题,第2章质点组力学,46,讨论,质心不受力，作惯性运动。(万有引力是内力，质点组动量、能量守恒）。质心惯性系,二、太阳、行星相对质心的运动,令,行星对C的运动微分方程为：,2.5 两体问题,第2章质点组力学,47,同理，太阳对C的运动微分方程为：,力与距离平方成反比，故太阳、行星均绕（P,S）系统的质心作圆锥曲线运动。,2.5 两体问题,第2章质

14、点组力学,48,三、行星相对太阳的运动,定义：折合质量,则,2.5 两体问题,第2章质点组力学,49,（可看作一个 质量为 的物体受太阳（不动）引力情况）,四、开普勒第三定理的修正,即：只有当行星质量远小于太阳质量时，开普勒第三定律才是精确的。,2.5 两体问题,第2章质点组力学,50,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,一、碰撞,1、碰撞特征 作用时间短，相互作用强， 体系动量守恒,2、恢复系数,n 为连心线方向，e是由物体的材料决定,3、实验室（L）系中碰撞后的速度和动能损失,51,考虑球是光滑的，则有,52,由（1），（3）-（5）可得,再由,表达式相当复杂！,53,在碰撞过程中的动能损失

15、为：,这里,54,其动能损失：,动能守恒,55,4、在质心系（C-系）中碰撞后的速度和动能损失,由质心运动定理：,相对于质心系的体系总动量：,两物体的碰前、碰后的速度一定在同一直线上，方向相反,56,57,(3),58,59,动能损失：,说明：,60,讨论：当正碰时，有,结果很简单,若碰撞m次：有,当e=1时，为完全弹性碰撞,61,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章质点组力学,二、粒子的散射,62,观测散射过程时所采用的静止的坐标系。,1、实验室坐标系,为实验工作者 采用。,散射角为观测值,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章质点组力学,63,两体问题；为理论工作者 采用。,2、质心

16、坐标系,观测散射过程时所采用的随质心运动的坐标系。,散射角 为计算值。,: 两质点相对位矢散射前后所偏转的角度；,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章质点组力学,64,3、c与r的关系,C-系动量和动能守恒,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章质点组力学,可得到：,（4）,65,从实验室坐标系看, 质点1散射后的速度为，它与 之间的夹角为,.,由相对运动速度变换关系,其分量形式为,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章质点组力学,66,（6）,（5）,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章质点组力学,67,最后可得,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章质点组力学,68,讨论,2

17、.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章质点组力学,m2粒子反冲很大，粒子的动能发生了转移,69,中子减速剂原理,70,2.7 变质量物体的运动,第2章质点组力学,一、变质量物体的运动方程,1、增质量,设t时刻物体质量为m，速度为v。另有一微小质量m，速度为u。在t+t时间间隔内m与m相合并，合并后的共同速度为v+v。作用在m及m上的合外力为F。,71,略去二阶小量，则变质量物体运动微分方程为：,m未与m合并前瞬间的速度,2.7 变质量物体的运动,第2章质点组力学,72,2.7 变质量物体的运动,第2章质点组力学,2、减质量,73,对减质量的物体有：,代如上式可得到与增质量一样的运动微分方程：,

18、（1）,若已知微元并入或分离相对于主体的速度 ， 那么（1）可以有如下形式:,(2),74,例雨点开始自由下落时的质量为M。在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为。略去空气阻力，试求雨点在t 秒后所下落的距离。,解：本问题的u=0，故由,得,积分，得,2.7 变质量物体的运动,第2章质点组力学,75,故,因t=0, v=0，故,即,再积分，得,2.7 变质量物体的运动,第2章质点组力学,76,于是，得,这就是雨点在t 秒后所下落的距离。,2.7 变质量物体的运动,第2章质点组力学,77,即,二、火箭,2.7 变质量物体的运动,第2章质点组力学,(2),78,是放出物质(废气)相对于运

19、动物体(火箭)的速度,是每秒钟放出的物质的质量,是放出物质引起的反作用力(即喷射废气产生的推力),故要增加火箭的推力，应从提高或着手。,2.7 变质量物体的运动,第2章质点组力学,79,因为火箭反冲力很大，一般外力可以忽略不计，因此：,如何提高火箭的速度？,采用多级火箭！,80,例2.在水平面上有一卷链条，其一端用手以恒定速度v竖直向上提起， 当提起长为x时，求手的提力F。已知链条的线密度为.,解：（1）分析题意，增质量问题：,主体：x, v; 受力：xg, F; 微元： dm=dx,并入前的速度为0，无受力,81,1.24)质量为m与2m的两质点, 为一不可伸长的轻绳所联结, 绳挂在一光滑的

20、滑轮上. 在m的下端又用固有长度为a倔强系数k为mg/a的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点. 在开始时, 全体保持竖立, 原来的非弹性绳拉紧, 而有弹性的绳则处在固有长度上. 由此静止状态释放后, 求证这运动是简谐的, 并求出其振动周期及任何时刻两段绳中的张力T及T.,解: 取坐标轴向下为正. 对应三点表示如图,如何运用机械 能守恒求解？,82,1.40) 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动, 质点的质量为m, 比例系数为k. 如此质点从距原点O为a的地方由静止开始运动, 求其达到O点所需的时间.,解:已知,运动微分方程,83,2.8 维里定理,第2章质点组力学,对 有n个质点的质点组，其中任一质点的基本运动方程为：,设,求G对时间的导数，得,84,而右边第二项可变为,右边第一项可变为,2.8 维里定理,第2章质点组力学,85,因此,对上式求时间的平均值，得,由积分中值定理,或,2.8 维里定理,第2章质点组力学,86,维里定理的物理意义：在