大学物理课件：第五章 机械波

1、1,第5章,(Mechanical wave) (6),重点: 行波方程。核心:位相。,2,5.1.1 机械波的产生和传播,5.1 波动的基本概念,1.产生机械波的条件： 波源产生机械振动； 弹性媒质传播振动状态。,波动振动状态的传播过程。,p24,3,4,沿着波的传播方向, 振动是依次落后的。,P点比o点时间落后：,P点比o点位相落后：,(这里：u是波速),在波的传播过程中，媒质中的质点并不“随波逐流”, 它们在各自的平衡位置附近振动；传播的是波源的振动状态。,5,2.波面和波线,波线(波射线) 波的传播方向。,波面(波阵面) 波动过程中，振动位相相同的点连成的面。最前面的那个波面称为波前。

2、 平面波波面为平面的波动。本章只讨论这种波。 球面波波面为球面的波动。 在各向同性媒质中，波线总是与波面垂直。,横波质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。 纵波质点的振动方向和波的传播方向相互平行。,6,5.1.3 惠更斯原理,作用：用几何作图的方法就能确定下一时刻的波阵面，从而确定波的传播方向。,媒质中波动传播到的各点,都可以看作是发射子波的波源,其后任一时刻,这些子波的包迹就是新的波阵面。,7,惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。,8,5.2 平面简谐行波的波动方程 !,注意这里： x表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离； y表示各质点对平衡位置的位移。,一平面余弦行波在均匀无耗媒质中

3、沿x轴正方向传播，波速u，坐标原点的振动方程为 y=Acos( t+o),求：坐标为x的P点的振动方程(波动方程)。,9,因: 均匀无耗媒质、平面波, 所以P点的振幅仍是A。,原点o的振动方程为 y=Acos( t+o),P点比o点时间落后: t=x/u,角频率仍为。,则P点的振动方程(即波动方程)为,10,则P点比o点时间超前: t=x/u，波动方程应为,P点的振动方程(即波动方程)为,若波沿x轴负方向传播，,11,波动方程的标准形式:,考虑到，=2/T，=uT , 波动方程还可写为,12,1.当x=xo(确定值)时，位移y只是时间t的余弦函数:,这是xo处质点的振动方程。,2.当t=to(

4、确定值)时，位移y只是位移x的余弦函数:,此式表示给定时刻to各振动质点的位移分布情况,相应的y-x的曲线就叫做波形曲线，如下图所示。,13,上式表明，t 时刻x点的振动状态，经时间t后传播到了x轴正方向的x+ut 处。,3.当x,t 都变化时，代表一列沿x轴正方向传播的波。,14,15,1.波速u振动状态(位相)的传播速度，又称相速。波速完全由媒质的性质(弹性和惯性)来确定。,5.1.2 描述波动的物理量,P26,169,16,3.波长 一个周期内波动传播的距离。,4.平面简谐波波面为平面，媒质中各质点都作同频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨论这种波。,2.波的周期T媒质质元完成一次全振动

5、的时间。波的周期完全由波源(周期)确定。,17,解 (1)比较法:,波沿x轴正方向传播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原点的振动初相o=/2。,18,(3)x1=1m和x2=2m两点的相差：,(2)x=2m处质点的振动方程：,19,解 (1) o比C点位相超前l /u,(2)标准函数法:, o=(+ l /u),例题2-2 波以u沿x轴正方向传播，yC=Acos(t+), 求: (1)原点o的振动方程； (2)波动方程。,则o点的振动方程为: y=Acos(t+ +l /u),20,P(x)点比已知点C时间落后：,yC=Acos(t+),令x=0

6、得坐标原点o的振动方程为:,P(x)点比已知点C 超前用“+”； 落后用“”。,21,当t=1时, 对a点有：,对b点有：,解得：u=84cm/s, o=-17/3= /3,波动方程为,解,例题2-4 波沿x轴正向传播，A=10cm, =7rad/s; 当t=1s时, ya=0, a0 。设10cm, 求该波的波动方程。,22,例题2-5 波沿x轴正方向传播, t=0，t=0.5s时的波形如图，周期T1s，求 ：(1) 波动方程；(2) P点(x=2m)的振动方程。,A=0.2，=4m,T= /u=2，=,o=+/2,波动方程:,(2)P点:,y=0.2cos(t - )(m),23,例题2-

7、6 t=2s时的波形如图，u=0.5m/s，求：(1)图中p点的振动方程；(2)该波的波动方程。,解 (1) A=0.5, =2,(2)该波的波动方程:,=,T= /u=4，=/2,+/2,24,5.3 平面行波的动力学方程,p165,例：推导轻质、柔弦的微振动方程,如图，由牛顿定律有,微振动时,联立求解得,25,由此得,对比,有：,即：波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度,26,讨论：影响波的传播速度的因素,对其它波动形式的方程作类似推导，可得各种波动的波动方程及传播速度，由传播速度的表达式，容易知道影响波传播速度的因素,27,介质的几种典型模量,若在截面为S，长为l的细棒两端加上大

8、小相等、方向相反的轴 向拉力F，使棒伸长l，实验证明：在弹性限度内，正应力 F/S与线性应变l/l成正比，即,比例系数Y由材料的弹性决定，称为杨氏模量,(2).切变模量,(1).杨氏模量,切变模量,在柱体上下表面S上作用一大小相 等，方向相反的切向力F，使柱体,28,发生切变。实验证明：在弹性限度内，切应力F/S与切应变 x/h成正比，即,比例系数G由材料的切变弹性决定，称为切变模量,(3).体变模量,设流体体积在压强为P时等于V，如果是压强增加到P+P，体 积变化为V+V，则在通常压强范围内有,体变模量,比例系数B称为体变模量。式中负号表示当 P0时，V 0,29,5.4 行波中的能量和能流

9、,一.波的能量密度,波动过程也是能量的传播过程。,质元dm= dV (为媒质的密度)，长dx、伸长量dy。质元的振动动能和势能分别为,p172,30,由胡克定律，,杨氏弹性模量: Y= u2,31,质元dm的总能:,(3)能量密度(单位体积中波的能量)为,(1)任意时刻,质元的动能和势能都相等。即,(2)质元的总能量随时间作周期性的变化。在波动中, 随着振动在媒质中的传播, 能量也从媒质的一部分传到另一部分, 所以,波动是能量传播的一种方式。,32,平均能量密度：,二.波的能流密度(波强),单位时间内，通过垂直于波动传播方向的单位面积的能量,称为能流密度。 显然，能流密度也就是通过垂直于波动传

10、播方向的单位面积的功率。,容易证明, 能流密度(或波强)为,33,三. 声波 声强级,引起人听觉的机械波的频率范围： 20-20000Hz 人耳的听觉并不与声强成正比，而是与声强的对数成正比。取声强Io=10-12(w/m2)为标准，则声强级:,(dB),树叶沙沙：20dB; 正常谈话： 60dB; 闹市：70dB; 飞机起飞：150dB。,34,(A)质元a的动能为零 , 势能最大。 (B)质元a的动能最大 , 势能为零。 (C)质元b的动能最大, 势能最大。 (D)质元b的动能最大, 势能为零。,答: (C),例题4-1 图为某一时刻的波形曲线, 由图可知,35,例题4-2 一电台(视为点

11、波源)平均发射功率10kw，求离电台1km处的波强。,解 能流密度(波强)为,能流密度也就是通过垂直于波传播方向的单位面积的功率。于是所求能流密度(波强)为,=7.9610-4(w/m2),36,5.5.1波的叠加原理,5.5 波的干涉 驻波,每列波的传播特性不因其它波的存在而改变。任一点的振动为各个波单独在该点产生的振动的合成。这一规律称为波的独立传播原理或波的叠加原理。 适用条件：波强较小。,p39,5.5.2 波的干涉,两列波: (1)频率相同； (2)振动方向相同； (3)相差恒定；,则在相遇区域会出现有些地方的振动始终加强，而另一些的振动始终减弱的稳定分布，这种现象称为波的干涉。,3

12、7,S1: y10=A1cos( t+1),S1 p:,S2 p:,P点的合振动为 y =y1+y2,=Acos( t+),(同方向同频率谐振动的合成),它们单独在P点引起的振动分别为,S2: y20=A2cos( t+2),38,合振幅:,式中,合振动的初相为,P点的合振动为 y =y1+y2=Acos( t+),波强:,39,干涉的强弱取决于两列波的相位差：,=2k , A=A1+A2 , 加强(相干相长)， 特别是A1=A2 时，A=2A1，Imax=4I1。,=(2k+1) , A=|A1-A2| , 减弱(相干相消)， 特别是A1=A2 时，A=0，Imin=0。,(k=0,1,2)

13、,40,例题5-1 两个振幅都为A的相干波源S1和S2相距3/4， S1比S2超前/2，设两波在连线上的波强不随传播距离而改变，试分析S1和S2连线上的干涉情况。,解 干涉的强弱取决于相位差：,S1左側a点: =,S2右側b点: =,S1左側各点都加强，Imax=4I1,S2右側各点都减弱， Imin=0,41,S1和S2之间c点:, =,42,例题5-2 原点o是波源, 波长为。AB为波的反射平面，反射时无半波损失。A点位于o点的正下方，Ao=h，ox轴平行于AB。求ox轴上干涉加强点的坐标。,解,=2k , 加强,(k=1,2,3),解得,(最大k: 令x=0，得k=2h/),(k=1,2

14、,3 2h/ ),43,例题5-3 已知: yb=3cos2t, yc=4cos(2t+/2)(SI), 从b、c两点发出的波在p点相遇，bp=0.45m, cp=0.3m, u=0.2m/s, 求p点的合振动方程。,解,y1=3cos(2t- ),=3cos(2t-/2),cp:,y2=4cos(2t+/2- ),=4cos(2t-/2),p点的合振动方程:,y=y1+y2=,7cos(2t-/2)m,bp:,44,例题5-4 相干波源S1超前S2 , A1=A2=0.2m, 频 率 =100Hz, r1=4m, r2=3.75m,两种媒质中的波速分别为 u1=400m/s, u2=500m

15、/s， 求两媒质界面上p点的合振幅。,=0,=A1+A2 =0.4m,解 先求两波到达p点的位相差:,45,5.5.3驻 波,两列振幅相等、传播方向相反的相干波进行叠加，就会形成驻波。,p41,46,将两列波合成，可得,这就是驻波方程。,(1)驻波方程实际上是一个振动方程，只不过各点的振幅随坐标x的不同而变化。 整体上看，驻波的波形驻定在原地起伏变化而不传播, 这是驻波中“驻”字的意思。,47,波节,波腹, /4,- /4,48,(2)波腹和波节位置,波腹：,即,波腹的位置为,波节：,即,波节的位置为,容易算出，相邻的两个波节(或波幅)之间的距离是 /2。可见，测出两波节之间的距离，就能算出波

16、长。这是实验中测量波长的一种常用的方法。,49,(3)驻波中的位相,由驻波方程可知，2x/=k + /2为波节, 而 2x/在1、4象限的点，各点位相都是 t; 2x/在2、3象限的点，各点位相都是( t+)。,可见，在相邻的两波节间，各点的振动位相相同；而在波节两旁，各点的振动位相相反。因此,驻波实际上就是分段振动着的, 没有振动状态或相位的传播。这是驻波中“驻”字的又一层意思。,50,(4)驻波中的能量,从整个过程来看, 能量在相邻的波腹、波节间来回转移, 波节或波腹两侧的媒质互不交换能量。因此，驻波是不传播能量的。这是驻波中“驻”字的再一层意思。,(5) 固定边界的驻波（弦）,n=1,2

17、,51,(6)关于半波损失,（2） 若波疏波密， 则 1 = 1 ,（1）波密波疏,反射波：,反射波和入射波同相,反射波有相位突变,半波损失,透射波：,即透射波总是与入射波同相,均有 2 = 1,52,例题5-5 一弦上的驻波方程为,求：(1)两行波的振幅和波速；(2)相邻波节间的距离；(3)t=3.0010-3s时,位于x=0.625m处质点的振动速度。,解：(1)比较法,A=1.5010-2m, =1.25m, =275Hz, u=343.8m/s,53,(2)相邻两波节之间的距离:,(=1.25m),=0.625m,(3)t=3.0010-3s时,位于x=0.625m处质点的振动速度。,

18、x=0.625,=-46.2(m/s),54,例题5-6 (1) 波y2与y1形成驻波,且在x=0处两波同相,求波y2的方程。(2)驻波方程；(3)波幅和波节位置。,解 (1)设波y2的方程为,因y2在x=0处与已知横波位相相同，所以o=0,55,(2)写出绳上的驻波方程:,(3)波幅和波节位置。,波幅:,波节:,56,解 (1)设反射波方程为,由于反射端为自由端(无半波损失)，入射波和反射波在p点相差为零，即,反射波方程为,例题5-7 波 沿棒传播，在 x=L处(p点)反射，反射端为自由端，求：(1)反射波方程；(2)驻波方程。,57,(2)驻波方程。,驻波方程为,58,例题5-8 简谐波沿

19、弦线传播(A、)，在固定端P点反射，假设反射后波不衰减。已知：OP=7 /8，DP=3 /8，在t=0时，x=0处煤质质元的合振动经平衡位置向负方向运动，求D点处入射波和反射波的合振动方程。,解：设入射波方程为,设反射波方程为,驻波方程:,59,反射点P(x=7/8)处为固定点, 这表示P点处为波节:,已知:t=0时，x=0处煤质质元的合振动经平衡位置向负方向运动。,60,x=0处煤质质元的合振动方程:,已知:t=0, x=0处煤质质元的合振动经平衡位置向负方向运动:,驻波方程:,61,D点处入射波和反射波的合振动方程:,(已知: OP=7 /8，DP=3 /8),62,例题5-9 设波源位于

20、坐标原点o处,其振动方程为yo=Acost。在x=-3 /4处的Q点有一波密反射壁(为波长)。求: (1)o点发出的沿x轴传播的波的波动方程; (2) Q点反射的反射波的波动方程; (3)oQ区域内合成波的方程; (4)x0区域内合成波的方程; (5)x=- /2处质点p的振动方程。,解 (1)沿x轴正方向传播的波:,沿x轴负方向传播的波:,63,(2) 设Q点反射的反射波的波动方程为,由于反射壁处有半波损失，入射波y2和反射波yr在Q点相差应为 ，即,解得 o=-4。 最后得Q点反射波的波动方程为,64,oQ区域内合成波的方程为,这是驻波方程。,(4) x0区域内合成波的方程：,(3),这是

21、行波方程。,65,就得x=- /2处质点p的振动方程：,(5)将x=- /2代入oQ区域的驻波方程:,66,*5.6 多普勒效应,目前,多普勒效应已在科学研究、工程技术、交通管理、医疗诊断等各方面有着十分广泛的应用。 用多普勒效应分析分子、原子和离子的谱线增宽。 测量和诊断大气、等离子体物理状态。 车辆、导弹等运动目标的速度监测。 多普勒效应用来跟踪人造卫星。 “D超”用来检查人体内脏、血管等情况。 在工矿企业中则利用多普勒效应来测量管道中有悬浮物液体的流速。,p50,67,波源和接收器(观察者)相对于媒质都是静止的,接收器接收到的波的频率与波源的频率相同。,什么是多普勒效应呢？,接收器(或观

22、察者)所接收到的频率等于单位时间内通过接收器(或观察者)所在处的完整波数目。,如果波源或接收器或两者同时相对于媒质运动时,接收器接收到的频率和波源的频率不同。这一现象称为多普勒(Doppler)效应。 假定波源和接收器在同一直线上运动。规定用 s表示波源相对于媒质的运动速度； r表示接收器相对于媒质的运动速度； u表示波在媒质中的传播速度。,68,1.波源和接收器相对于媒质都静止,当波源和接收器相对于媒质都静止时，波源每作一次全振动，波就在空间传播一个波长的距离，结果就有一个完整的波通过接收器，显然接收器(或观察者)接收到的频率vr就等于波源的频率v ，即 vr=u /= v,69,2.波源静止，接收器相对于媒质以r运动, 当接收器在媒质中静止不动时,他在单位时间内接收到u /个波。,现因接收器以速度r向波源运动,他在单位时间内多接收到r /个波,所以他在单位时间内接收到的波数,即他接收到的频率vr应为,70,3.接收器静止，波源相对于媒质以s运动,当波源和接收器(观察者)都静止，则分布在So内的波数在单位时间内都要通过接