《数学物理方法》第九章 定解问题

1、第三篇 数学物理方程,本篇介绍数学物理方程的 建立和求解的方法,2,第9章 讨论定解问题，是将物理问题转化为数学上的定解问题，即建立有关物理量遵守的泛定方程和定解条件 第10章 介绍行波法和平均值法，行波法是先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定定解问题的解；平均值法是将行波法一维的结果推广到三维 第11章 介绍分离变量法，它是先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后将这些特解进行线性叠加，最后由其余定解条件求出待定系数而得解 第12章 介绍积分变换法，它是通过方程的积分变换，减少自变量的个数，直至化为常微分方程来求解,第九章 定解问题,数学模型：首先，要导出这些物理量所遵守的数学

2、物理方程，称为泛定方程(着重讨论二阶线性偏微分方程)； 其次，为了把某一特定的物理过程完全弄清楚，还要知道这个过程发生的具体条件(如初始时刻的条件及边界上的条件等)，这些条件称为定解条件 泛定方程加上适当的定解条件就构成了一个定解问题。,4,本章将导出三类典型物理过程的泛定方程和定解条件，即波动问题的波动方程与定解条件，输运问题的热传导方程与定解条件，以及稳定场问题的泊松方程、拉普拉斯方程与定解条件 最后讨论定解问题的适定性，即解的存在性、唯一性和稳定性的问题,9.1 波动问题,本节首先介绍支配波动现象的若干物理定律，随后导出杆的纵振动方程和弦的横振动方程，最后介绍波动问题的定解条件,6,9.

3、1.1 支配波动现象的若干物理定律,设u(x,t)是杆(或弦)上平衡时坐标为x的点在t时刻的位移因此，杆(或弦)上任一小段 (x,x+dx) 的伸长为u(x+dx,t)-u(x,t)，相对伸长为,本节着重讨论一维波动现象,7,1.胡克(Hooke)定律,在弹性限度内，作用于物体的应力(单位横截面上的内力)与应变(物体的相对伸长)成正比，即 比例系数Y称为杨氏模量,8,2.牛顿(Newton)第二定律,在惯性参考系中，作用于物体的合外力平比于物体动量的时间变化率，即 对于一维运动, 上式可改写为标量形式 如果物体的质量m不随时间变化，动量p=mut中的m可提出微商号外由此得,9,9.1.2 杆的

4、纵振动方程,考虑一均匀细杆沿杆长方向的微小振动，见图9.1.现在寻找细杆上各点的运动规律,为此，研究杆的一小段(x,x+dx)与外界的相互作用来建立方程由于小段两侧都受到应力的作用，根据胡克足律，作用于该小段的合外力为,10,11,设细杆的密度为r,则(x,x+dx)小段的质量为 m=rdV=rSdx (9.1.6) 将式(9.1.5)和式(9.1.6)代入牛顿定律，即有 (9.1.7) 引入常数，并采用简写记号 则上式可简写为 utt-a2uxx = 0 (9.1.8) 这是细杆作自由振动时各点的运动规律，称为杆的纵振动方程，又称一维波动方程,12,9.1.3 弦的横振动方程,考虑一均匀柔软

5、的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图9. 2所示设u(x,t)是平衡时坐标为x的点在t 时刻沿y方向的位移(为了绘图方便，图中夸大了这个位移)，现在求细弦上各点的运动规律,同样，研究一小段(x, x+dx)与外界的相互作用来建立方程 为简单起见，我们作出如下简化假设：,13,弦横振动方程推导的简化假设,(1)、弦是柔软的，弦上的任一点的张力沿弦的切线方向 (2)、由于振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角a1与a2也很小，仅考虑a1与a2的一阶小量，略去二阶小量，即,14,由此可见，在整个振动过程中，弦的长度也近似不变：,由胡克定律可知，弦上各点的张力与时间无关 (

6、3)弦的质量与张力相比很小，可忽略不计 这样，应用牛顿第二定律于水平方向，可以证明张力与x无关实际上，既然弦只作横振动，故弦沿水平方向的加速度为零，牛顿第二定律在水平方向的投影为 T(x+dx)cosa1x T(x)cosa20 将cosa1x及cosa2代入，便有 T(x+dx)T(x) (9.1.9),15,应用牛顿第二定律于竖直方向，可以得到弦振动方程，设r为单位长度弦的质量，F(x, t)为单位长度弦所受的强迫力牛顿第二定律在竖直方向的投影为 利用第2个简化假设及tana是曲线的斜率，因而 将上两式代入式(9.1.10)，得,16,这就是当弦在强迫力作用下各点的运动方程，称为弦的强迫振

7、动方程 。,17,utt a2uxx f(x) (9.1.12),若弦不受外力作用，即F(x)0, 则式(9.1.12)化为 utt a2uxx 0 (9.1.13) 这就是弦的横振动方程，又称为一维波动方程,18,上述讨论表明，一个是杆，一个是弦；一个是纵振动，一个是横振动；但它们遵守完全相同的运动方程波动方程； 这两个例子都属于一维空间的机械运动实际上，二维空间、三维空间的机械运动将遵守二维、三维的波动方程； 而且，声波的传播，电磁场的运动这些物理本质完全不同的过程也都遵守三维波动方程；,19,前面已指出，为了完全弄清楚一个物理过程，还要给出定解条件,20,9.1.4 波动问题的定解条件,

8、1.初始条件 初始条件: 描述所研究系统的初始状态。 由于波动方程含有对时间的二阶偏导数，因此，要给出两个初始条件即要给出系统各点的初位移和初速度 u(x,0) j (x,0) (9.1.14) ut(x,0) y (x,0) (9.1.15),21,【9.1.1】一根长为l , 两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离b(图9.3), 然后放手任其自由振动, 写出它的初始条件,解 t = 0时，各点的位移由图中折线确定； t = 0时，即放手那一瞬间各点的速度为零，故,22,2.边界条件,边界条件描述系统在边界上的状况，从数学上归结为三类边界条件,(1)、第一类边界条件：给出未知函数u在边界

9、上的值 如在弦的横振动中，弦的两端固定，其边界条件为 u(0, t)0 (9.1.16) u (l, t)0 (9.1.17),23,(2)、第二类边界条件：给定未知函数u在边界上的法向导数值 如杆在x=0端固定，在x=l端受外力F(t)的作用(图9.4)，其边界条件为 u(0, t) 0 (第一类)； ux(l, t) (第二类),24,证明 考虑细杆x = l端的一小段( l-e, l)，由牛顿第二定律，胡克定律及 m = reS 可得 mutt=F(t) -SP(l-e,t) 即 reSutt=F(t) -SYux(l-e,t) 令e0，因utt有限，故等式左端为零因而0=F(t) -S

10、Yux(l,t) ，即 若端点自由(既不固定，又不受F(t)作用)，将F(t) =0代入上式，仍得第二类边界条件 ux(l, t) 0 (9.1.19),25,(3)第三类边界条件：,给出边界上u及其法向导数ux之间的线性关系如杆在x=0端固定，在 x=l 端受弹性系数为k的弹簧的拉力(图9.5)，其边界条件为 u(0, t) = 0 (第一类) ux(l,t)+hu(l, t) = 0 (第三类),26,u(0, t) = 0 (第一类) ux(l,t)+hu(l, t) = 0 (第三类) 证明 将F(t) = ku(l, t) 代入式(9.1.8)，得,27,3.街接条件,在研究具有不同

11、介质的问题中，在不同介质的分界面处有衔接条件例如，在用两根不同介质的杆连接成一根杆的纵振动问题中，在连接处的位移相等，应力也相等因此在连接点x=x0处有下述衔接条件 其中u1(l,t)和u2(l,t)分别代表两根不同介质的杆的位移，Y1和Y2分别是它们的杨氏模量,28,除了上述三种定解条件之外，还有 有限性条件、 周期性条件等 后两者在稳定场问题中用得比较多，在9.3节将作更详尽的介绍,29,【例9.1.2】长为 l 的弦两端固定，线密度为r，开始时在|x-c|e处受到冲量I的作用。 写出定解条件。 解 (1) 初始条件 初位移t=0时弦来不及振动，故u(x,0) =0. 初速度 在 |x-c

12、|e 段，由动量定律 而动量的变化为 两式联立，即有,30,在 |x-c|e 段,在 | x-c |e 段，没有受外界作用，故 ut(l,t) = 0 ， | x-c |e (2) 边界条件： u (0, t) = 0， u (l, t) = 0，,31,作业- 9.1 第188页,9.2 输运问题,最常见的输运现象是热传导现象(热量由高温处流向低温处的现象)和扩散现象(粒子由浓度高处流向浓度低处的现象)我们着重讨论热传导现象 本节首先介绍支配热传导现象的若干物理定律，随后导出热传导方程，最后介绍热传导问题的定解条件,33,9.2.1 支配热传导现象的若干物理定律,1. 傅里叶定律 在各向同性

13、的介质中，热流强度q与温度的负梯度成正比(热传导系数k0) q-ku (9.2.1) 热流强度q的大小是单位时间内垂直通过等温面单位面积的热量，即 q的方向是等温面的法线方向(由高温指向低温),34,2. 能量守恒与转化定律,自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递给另一个物体，在转化和传递的过程中能量的数量保持不变。,35,3. 牛顿冷却定律,单位时间从物体内部通过单位表面积流到周围介质的热量，跟物体表面与外界的温差成正比，即 q(S,t)Hu(x, y, z, t)|s-u1 (9.2.2) 式中H0是热交换系数，u1是周围介质的温度,3

14、6,4. 斯特藩-玻尔兹曼(Stefan-Boltzmann)定律,若物体表面的绝对温度为u,则它在dt时间内通过dS面向外辐射的热量为 dQsu4dSdt (9.2.3) 式中s 为斯特藩-玻尔兹曼常量,37,9.2.2 热传导方程,考察介质中任一小体积DV，其边界面为S，介质的比热为c，质量密度为r介质中的热源,在单位时间、单位体积中放出的热量用热源密度F(x,y,z,t)表示 现在求t 时刻介质内各点温度 u(x,y,z,t) 应遵守的规律 首先，位于DV内的介质吸收的热量来自热传导和热源,38,根据傅里叶定律，单位时间流入DV的总热量为(参看附录A),单位时间内，在体积DV中热源释放的

15、热量为 单位时间内，在体积DV中介质温度升高所需要的热量是,(9.2.4),39,由能量守恒定律可知Q3=Q1Q2，即,由于DV是任意的，故有,若介质均匀(k为常数), 可提到微分算符之外，引入 ， 则式(9.2.7)可简写为,这就是非齐次热传导方程，它给出介质中各点温度u(x,y,z,t)所遵守的规律。,40,非齐次热传导方程中，如果在DV内没有热源，即热源密度 f(x,y,z,t) = 0, 则得齐次热传导方程 ut(x,y,z,t) = a22u(x,y,z,t) (9.2.9),41,扩散方程具有相同的形式，见习题9.2.1 尽管热传导现象与扩散现象的物理本质不同，一个是热量的传递，一

16、个是粒子的运动，但它们都满足同一偏微分方程，都遵守输运过程的共同规律 。,42,【例9.2.1】匀质导线的横截面积为S，电阻率为h，通有均匀分布的直流电电流密度为j，试导出导线内的热传导方程。 解 首先计算位于(x,x+dx)的小体积元在dt时间内净增加的热量根据傅里叶定律，在dt时间内，由左边通过x横截面沿ex方向流入dV的热量是 从右边通过x+dx截面流出dV的热量是(图9. 6) -kux(x+dx,t)Sdt,43,故在dt时间内流入dV的净热量为,根据焦耳一楞次(Joule-Lenz)定律，电流I在电阻为R的导线上产生的焦耳热为Q=0.24I2Rt.因此，在dt时间内，电流密度j在电

17、阻率为小体积为dV=Sdx的导线中产生的焦耳热为,?,44,根据能量守恒定律，流入dV中的净热量Q：与热源在dV中产生的热量之和等于体积元dV内导体温度升高du所需要的热量crdVdu,其中c为导体的比热, r为导体的密度，因此 整理后可得 这就是导线内的热传导方程,45,9.2.3 热传导问题的定解条件,1.初始条件 热传导方程含有对时间的一阶偏导数，故只要一个初始条件-初始时刻的温度分布 u(x,y,z,t)|t=0=j (x,y,z) (9.2.10),46,2.边界条件,(1) 第一类边界条件：给定温度在边界上的值 在一维问题中，若导热杆在x=0端保持为零度，x=l端保持为T度，则有

18、u(0,t) 0，u(l,t)T (9. 2. 11) 在三维问题中，给定区域V的边界面S上的温度分布为j (x,y,z, t)，则 u(x,y,z,t)|S=j (x,y,z,t) (9.2.12),47,(2) 第二类边界条件：给定温度在边界上的法向导数值,设单位时间内通过边界面单位面积沿外法线方向流出的热量为q(t). 在一维问题中，在导热杆的两端取0,e（或l-e,l)薄层当e0时，薄层介层的质量和热容量趋于零，薄层介质升温所需要的热量也就趋于零；根据能量守恒定律，从边界面x=0(x=l)流出的热量应等于通过x=e面(或x=l-e面)流入薄层的热量 因此，可以根据傅里叶定律(q=-ku

19、)计算从边界流出的热量,48,首先，在x=0处，在边界面单位面积上单位时间沿边界外法线(-ex)方向流出的热量为,这表明，若ux(0,t)0，即x=0处温度随x增大而增大时，则杆通过x=0面流出的热量q(0,t)0；反之亦然 式(9.2. 13)可改写为x=0端的边界条件,49,其次，在x=l处，在边界面单位面积上，单位时间沿界面外法线方向ex流出的热量为,由此得x=l端的边界条件 注意x=0与x=l处边界面外法线方向相反，使式(9.2.14)与式(9.2.16)相差一负号,50,在三维问题中；设n为边界面S的外法线方向，在边界面单位面积上单位时间沿外法线方向n流出的热量为,如果边界绝热，则式

20、（9.2.14)，式（9.2. 16)和式（9.2.18)分别改写为,51,(3) 第三类边界条件：给定边界温度与边界温度法向导数的线性关系,根据能量守恒定律，略去边界薄层温升所需热量将式(9. 2. 2 )与式(9. 2. 17)联立，即有 令h=H/k，则有 一维的情形为（注意，在x=0处，ex为边界面的内法线方向，故un = - ux),52,作业- 9.2 第193页,9.3 稳定场问题,最常见的稳定场问题是静电场问题和稳定温度场问题我们着重讨论静电场问题，即给定电荷分布、介质分布和边界条件，求静电场分布 本节首先介绍支配静电场的若干物理定律，随后导出静电场的泊松(Poisson)方程

21、与拉普拉斯(Laplace)方程，最后介绍静电场的定解条件,54,9.3.1 支配静电现象的若干物理规律,在介电常数为e的介质中，电荷分布为r(x,y,z)，则静电场的场强E(x,y,z)遵守方程： 1.电场的散度方程 证明 电磁学已证明了高斯定理 将面积分换成体积分，可得 由体积V的任意性可得， 即静电场是有源场,55,2.静电场的旋度方程,证明 当电荷在静电场中沿闭合回路走一圈，静电场对电荷没做功，即 将线积分换成面积分，可得 由面积S的任意性可得XE=0，即静电场是无旋场,56,3.介质中的高斯定理,式中D=eE为电位移矢量，q为高斯面S内的自由电荷总电量,57,9.3.2 泊松方程与拉

22、普拉斯方程,由于静电场是无旋场，利用Xu=0,可引入静电势u表示静电场 E=-u (9.3.8) 将式(9.3.8)代入式(9.3.1)，即得静电势满足的泊松方程 2u = -rf/e （9.3.9) 在没有电荷分布的地方，将rf (x,y,z)=0代入，即得拉普拉斯方程 2u = 0（9.3.10) 稳定温度场遵守泊松方程，在没有热源的地方，遵守拉普拉斯方程，见习题。,58,9.3.3 稳定场问题的定解条件,拉普拉斯方程和泊松方程不含对时间导数项，故稳定场问题的定解条件不含初始条件，只含边界条件或其他条件 1边界条件 和前两节相同，共分三类第一、二、三类边界条件也是分别给出边界上未知数值，未

23、知函数的法向导数值或两者的线性关系，如表9-1所示,59,60,在两种介质的分界面上，静电场电势u的边值关系为,2.街接条件,其中u1 , u2与e 1 , e 2 分别为界面两侧介质的电势和介电常数, n是界面上由介质1指向介质2的法向单位矢量，s是界面上的自由电荷面密度,61,证明,(1) 设P1与P2分别是介质1与介质边界两侧无限靠近的两点(图9. 7)，两点间距离， 上式的En可理解为电场强度在P1P2上法向分量的平均值. 考虑到En为有限量，当Dn0时，上式必为零. 故u1= u2 ，这就是式(9.3.11),62,(2) 有介质时的高斯定理为,现在取高斯面为边界上的一个扁平盒(图9

24、.8),盒的上、下底平行于介质1、2分界面的小面元S,盒的高为Dh，且Dh相对DS的线度是高级小量因此，计算通过盒表面的电位移通量时略去通过侧面的通量由此得,63,利用面电荷密度的 定义，可得,将D = eE = -u 代入上式，即有 这就是式(9.3.12)(见附录A),64,在导体与介质分界面上电势u的边值关系为,u1 = u2,其中u1为导体的电势，u2为绝缘介质的电势，Qf为封闭面S所包围的电量的代数和 由于导体是等势体， 代入式(9.3.12)可得式(9.3.14).在式(9.3.14)的两边作面积分即得式(9.3.15),65,3.有限性条件 例如： 在静电场中常利用在坐标原点电势

25、有限的条件(当原点无点电荷时)； 勒朗德方程的解在(+/-1)处有限的条件。,66,4.周期性条件 由于物理量在同一点在同一时刻有确定值，在采用球坐标系(或柱坐标系)时，就必然导致周期性条件； 因为(r, q, j+2p)与(r, q, j)均表示空间同一点，由电势的唯一性可得 u (r, q, j+2p) = u (r, q, j) 这就是周期性条件,67,以上以静电场为例，列举了电势的一些定解条件，在其他问题中也会有类似的定解条件，在学习有关学科时将会具体给出。,68,【例9.3.1】在均匀外电场E0中置入半径为R0的导体球，若导体球接有电池，使球与地保持电势差u0。试写出电势u满足的泛定

26、方程与定解条件设导体置入前球心位置的电势u(0)=0,69,解 选z轴沿均匀外电场E0的方向，见图9. 9.设球内外电势分别用u1表示 (1) 泛定方程因为除球面上(R=R0)有自由电荷分布外，球内外的rf=0，故 2u1 = 0 R R0 (9.3.17),70,(2) 定解条件, 因为导体表面有限的电荷分布对无穷远处电势的贡献可以忽略不计，故无穷远处的电势与导体置入前相同 当导体球不存在时，由矢量分析可知 现在计算上式从R=0到的积分，由于在静电场中，上式的积分与积分的路线无关，故可取积分路线为直线，如图9. 9(b)所示将E0cosq作为常数提出积分号外，并将u(0)=0代入，便有,71

27、,(2) 定解条件,球面上电势连续，即 u1(R0) u2(R0) u0 (9.3.20) 因为本题比较简单，有些条件(如周期性条件等)不需要列出也可求出结果，就不用列出了。,72,作业- 9.3 第197页,9.4 定解问题小结,本节先对定解问题作一小结； 随后介绍定解问题的适定性； 最后提出求解定解问题的五种常用方法。,74,9.4.1 定解问题小结,科学技术中大量的物理问题，是要研究物理量(如位移、温度、浓度、电势等)在空间各点随时间变化的规律。为此要建立一个数学模型： 一方面要用数学语言描述该物理量的变化规律(通常是偏微分方程，称为泛定方程)； 另一方面要描述该物理量在研究区域边界上和

28、初始时刻的情形(即边界条件和初始条件, 合称定解条件)； 泛定方程和定解条件就构成了定解问题,75,现在评述一下前面三节的主要结果 1三类典型方程 波动方程 输运方程 稳定场方程 从数学观点看，它们正好是二阶线性偏微分方程的三类典型方程：双曲型方程、抛物型方程以及椭圆型方程。,76,从物理观点看，它们反映三类不同本质的物理现象，正好是对时间 可逆过程(波动过程) 不可逆过程(输运过程) 与时间无关的过程(稳定过程)。 这只要在方程中用-t代替t后，视方程是否不变便可知道 若0称为非齐次方程(有源)，若f = 0称为齐次方程(无源)。,77,2. 三类方程对初始条件的要求 波动方程含有对时间的二阶偏导，故要求两个初始条件，即要给出ut(x,y,z,0) 及u(x,y,z,0)的值； 输运方程含有对时间的一阶