《数学物理方法》第5章 解析延拓多值函数及其黎曼面

1、第5章 解析延拓 多值函数及其黎曼面,解析延拓是研究怎样扩大解析函数定义域的问题。 引入黎曼面，把多值函数看作黎曼面上的单值解析函数，从而把单值解析函数的理论移植过来。,2,第1章曾把定义在实轴上的实函数(如指数函数、三角函数等）通过将x改为z的替换，扩大成为复平面上的解析函数本章讨论将一般的解析函数进行解析延拓的方法，并在此基础上介绍G函数的有关性质。 多值函数及其黎曼面是讨论如何引入黎曼面，把多值函数看作黎曼面上的单值解析函数，从而把单值解析函数的理论移植过来。它的定义域也由一个z平面扩大为多叶的黎曼面在此基础上，本章还介绍利用多值函数积分计算实变积分的方法,5.1 解析延拓 G函数,本节

2、介绍解析延拓的概念； 分别利用泰勒级数和函数关系进行解析延拓； 结合G函数的解析延拓，讨论G函数的一些常用性质。,4,5.1.1 解析延拓的概念,若函数f1(z)和f2(z)分别在D1和D2内解析，并且在D1与D2的重叠区域D12中有 f1(z) f2(z) (5.1.1) 则称f2(z)为f1(z)在D2 中的解析延拓，称f1(z) 为f2(z)在D1 中的解析延拓(图5. 1).,解析函数与其定义域的组合D1, f1(z), D2, f2(z)称为解析元素.,5,在D1与D2的重叠区域D12(D12D1),有f1(z) f2(z)这样， 在D2中的解析延拓，从而将f1(z)的定义域扩大了。

3、 同样，也称f1(z)是f2(z)在D1中的解析延拓；只不过在本例中， D2已涵盖了D1而已。这两个解析元素分别记为,6,5.1.2 用泰勒级数进行解析延拓,1. 解析延拓的方法 现在用泰勒级数将D1, f1(z)解析延拓，显然，不是所有函数都能像上例一样通过求和得到函数的有限表达式，而是要一步一步延拓出去的。 为便于比较，仍采用刚才的例子 逐步进行解析延拓,7,首先，在D1,内任取一点b1 = i/2，将f1(z)在b1点的邻域展开为泰勒级数,8,9,f2(z)和f1(z)分别是函数,的泰勒展开式。因此，在两者重叠的区域中必有f1(z) f2(z) 这样，f2(z)就是f1(z)在D2的解析

4、延拓。,在D2内任取一点b2，将f2(z)在b2点的邻域展开为泰勒级数,10,在D2内任取一点b2，将f2(z)在b2点的邻域展开为泰勒级数,设级数收敛的区域为D3 ，在D2与D3重叠的区域f2(z) f3(z) ，这样f3(z)就是f2(z)在D3的解析延拓 这样不断作下去，就得到一系列的解析元素Dn, fn(z)，其中n=2, 3， 一个解析元素D1, f1(z)的全部解析延拓的集合，称为f1(z)所产生的完全解析函数F(z)。,11,F(z)的定义域是全部解析元素给出的定义域的总和，即,对于,这个例子，可以把f1(z)解析延拓到除z=1以外的全平面因为级数在z=1是发散的，在每一次解析延

5、拓过程中，Dn都不能包含z=1. 奇点z=1成为每一个Dn(n=2,3,)的边界点并且从展开中心bn到z=1的距离就是fn(z)的收敛半径，见图5.2.,12,2. 并非所有函数都能解析延拓,例如函数 的定义域为|z|1，其收敛半径R=1。 f1(z)在收敛圆周上密布着无限多奇点实际上，在 圆周|z|=1上，满足的 点，也就是,均为奇点。现在计算f1(z)在zn,k的取值，由,(5.1.9),13,(5.1.10)右边第一项为有限值，第二项为,这说明所有zn,k均为f1(z)的奇点 其次，由式(5.1.9)可见，对于一个k值,n可以取0,1,2k-1的值(如取k=3，则n= 0,1,7)因为k

6、可取无限多个值，故奇点zn,k有无限多个，并且它们按照式(5.1.9)的规律稠密地分布在圆周|z|=1上，使得从任何方向都不能延拓出去,(5.1.11),14,5.1.3 用函数关系进行解析延拓G函数,利用G函数的递推公式, 对G函数进行解析延拓 l. G函数的定义与递推公式 实变函数中G函数的定义是 x0 (5. 1. 12) 复变函数中G函数的定义是它的简单推广 Rez= x0 (5.1. 13) G函数的递推公式为 G(z+1）zG(z） (5.1.14),15,G函数的递推公式为,G(z+1）zG(z） (5.1.14) 证明 现在通过分部积分来证明 可用洛必达法则证明，而 tze-t

7、|t=0 = 0 是显然的,16,2. 用G函数的递推公式进行解析延拓,的定义域为Rez 0，称为D1 。这样， D1, f1(z)亦即Rez0, G(z) 构成了一个解析元素 现在由它出发，通过解析延拓，得到第二个解析元素由式(5.1.14)得 此式成立的条件是Re(z+1) 0(即Rez -1)，以及z0。,17,由此定义,f2(z)的定义域D2, 即为Rez -1及z0。因为D1 与D2重叠的区域D12 (即D1 )中f1(z) f2(z) ，故f2(z)是f1(z) 在D2 的解析延拓. 这样便得到第二个解析元素,18,继续作下去，由式(5.1.14)还可得 G(z+2) = (z+1

8、)G(z+1) = (z+1)zG(z)，由此得,此式成立的条件是Re(z+2)0(即 Rez -2)，z0及z-1。 由此定义,19,继续作下去，便得到 D4, f4(z) ，D5, f5(z) ,f3(z)的定义域D3, 即为Rez -2及z0及z-1 因为在D2与D3重叠的区域D23 (即D2)中f2(z)=f3(z) ，故f3(z)是f2(z) 在D3 的解析延拓.这样便得到第三个解析元素 D3, f3(z),20,这些解析元素的全体构成一个完全的解析函数,它的定义域就是这些函数的定义域的总和，即除z = 0,-1,-2, 以外的全平面。,(5.1.17),21,3. G函数的常用公式

9、,由定义出发，容易得到G函数的一些常用公式,22,式中(2n-1) !(2n-1)(2n-3)31， 符号! 读作“间阶乘” 当n为0及负整数时，定义 可以证明： n0,- 1,-2, (5.1.22),23,证明,24,作业- 5.1 第105页,5.2 多值函数及其黎曼面,本节介绍根式函数与对数函数这两种多值函数主要讨论函数的多值性与单值分支、支点，确定函数在任一点函数值的方法，以及黎曼面的概念最后，讨论多值函数的积分,26,5.2.1 根式函数,1.多值性与单值分支 最简单的根式函数是幂函数 为了说明它的多值性，令z=reij,由于复平面上每一点都对应着无限多个辐角 j=argz+2kp

10、=j0+2kp, k=0,1,2,这表明，z平面上的一个点，对应着w平面上的两个点，即w(z)是一个多值函数,27,当k0,2,4,时， (5. 2.3) 当k1,3,5,时，,式(5.2.3)与式(5.2.4)的w0与w1称为w= 的两个单值分支。在每一个分支中，w是 z 的一个单值函数。,28,为了把多值函数变为单值函数，就要了解：这两个分支有什么关系？ z 如何取值才会让w从一个分支变到另一个分支？ 研究表明，这与多值函数的支点有关。,29,2.支点,我们知道，当z值连续变化时，在复平面可以用一条曲线来描述z的变化过程。 对于每一个特定的多值函数，都存在一些特殊的点，当z环绕该点转一圈回

11、到原处时，w(z)的值将由一个单值分支变到另一个单值分支，这些特殊的点就称为多值函数的支点。 容易看出，z=0 及 z= 是 的支点。,30,当z从z0=r eij0出发，围绕原点转一圈回到出发点，它的辐角就由j0变为j0+2p =j1，相应的函数值就由w0 (z0 )变为w1 (z1)，即由一个单值分支变到另一个单值分支这表明，z=0是 的支点，如图5.3所示。,31,当z从z0=reij0出发，但不绕原点转圈(图5.4), 当z回到出发点时z的辐角值开始增加，到达A点后减少，到达B点后又增加，当z点回到出发点时，辐角值又回到初始值j0。这样，函数值始终在同一个单值分支中变化，不会变化到另一

12、单值分支中去。,32,为了考察无穷远点的情况，只要令 当 t 绕 t = 0 转一圈回到出发点时，w值不会还原。由支点的定义可见，z=是 的另一个支点 上述的讨论表明，根式函数的多值性来源于辐角的多值性,33,函数多值性的出现，使得对于同一点 z，函数值不唯一，因而函数不解析； 显然，前面建立的积分理论、级数理论和留数理论也就不能运用；必须设法把多值函数的各个分支分开； 这样，对于每一个单值分支来说，就能应用前面的理论了。,34,3. 作割线将各单值分支分开,将各个单值分支分开的方法，就是在根式函数的两个支点之间作割线，并规定：z在连续变化的过程中不能跨越割线 从z=0出发，沿x轴的正向作一条

13、割线至z=,则无论z点在平面上怎样连续变化，它都不可能环绕z=0或z=转一圈。,因而z的辐角变化范围必在2p范围之内，z的取值，也必在一个单值分支之内。 从z=0到z=的割线的作法是任意的，不一定是直线，但最简单、最方便的仍是直线,35,割线作出之后，还要规定割线上岸z的辐角值,如果我们采用图5.5的切割方式，则可规定相应的两个分支分别为 (1)规定割线上岸z的辐角值为j0 =0, j0的变化范围是0j0 2p , 对应的单值分支是 (2)规定割线上岸z的辐角值为j1 = 2p ，j1的变化范围2p j1 4p,对应的单值分支是,36,【例5.2.1】试指出 的单值分支及支点的位置,解 令z-

14、 a = rei(j0+2kp) ，则 不难看出，w(z)有两个单值分支： 支点的位置由z- a = 0及z- a = 确定，亦即z=a 及 z=。,37,【例5.2.2】试指出w= (z-a) (z+b)的单值分支及支点的位置，其中a,b为正实数。,38,从上题的讨论易见，只要考察z = a,-b,这三点是否支点？可选择一条仅包围它们三者之一的回路，让z沿回路转一圈，看w会不会从一个单值分支变到另一个单值分支来判断。 为确定起见，设出发点的w(z)值处于w0分支，即,39,(1)选择回路C1,考察z=a点是否为支点(图5. 6). z点沿C1转一圈后， 即w值处于另一分支， 故z-a为支点,

15、40,(2) 选择回路C2, 考察z=-b点是否为支点. z点沿C2转一圈后，,即w值仍处于原来分支，即z=不是支点,即w值处于另一分支，故z=-b为支点,41,4确定函数在任一点函数值的方法,方法一 作割线，通过给定割线上岸的辐角值或某一点的函数值来选定单值分支，从而确定w(z) 方法二 不作割线，给定出发点z0的函数值w(z0)，以及由z0点运动到z点的路径，以确定w(z),42,【例5.2.3】 试根据下述条件计算w(-1)的值,(l) 作割线(图5.7)并规定割线上岸的点z0有 argz00, arg(1-z0)0 (2) 不作割线, 规定 argw(z0)=0 求 z分别沿路径C1和

16、C2(图5.8)从z0移动到z-1点时，w(-l)的取值。 解 w(z) =|w(z)| eiargw(z) 的模与辐角分别为图5.7,43,w(z) =|w(z)| eiargw(z),将后两式相减，并利用题设argw(z0)=0，即有,44,上式的方括号表示，当z由z0 移动到-1点时, z及(1- z)的 辐角的改变量之和。 (1)作割线如图5.7并规定argw (z0)=0的条件下，此时从z0出发还可沿C逆和C顺两条路径到达z = -1点。尽管沿两条路径求得的Dargz, Darg (1- z)以及argw(-1)不同，但w(-1)具有确定值，即,45,46,代入w(-1)=|w(-1

17、)|eiarg(-1) , 均得相同的函数值,还应注意，在计算Dargz及Darg (1-z)时要么均按C逆路径算，要么均按C顺路径算，两者不能取不同路径,47,(2) 不作割线, 从z分别沿C1和C2从z0移动到z= -1。如图5.8所示,(5.2.13),为便于观察，习题5. 2. 2将证明, 可用Darg (z-1) |z由z0到-1，代替Darg (1-z) |z由z0到-1 沿路径C1的情形，有,48,这表明，如果不作割线 w(-1)的值 将取决于 由 z0到 z = -1的路径 w(-1)既可取第一分支的值，也可取另一分支的值。,49,习题 5.2.2 试以图5.8中路径C2为例，

18、证明,Darg(1-z)| z沿C2由z0到-1= Darg(z-1)|z沿C2由z0到-1,解 当z沿路径C2 从z0到 -1的过程中，复矢量1-z与z-1辐角的变化分别如下图5.22(a),50,不妨将1-z的起点沿复矢的方向移到z=1, 把z=1作为转动的轴心. 易见1-z 顺时针转过j角 图(b)中z0-1沿x轴负向. 当z从z0移动到z(即z0-1转到z-1)时，z-1顺时针转过j角， z-1的辐角也减少; 这证明了,Darg(1-z)| z沿C2由z0到-1= Darg(z-1)|z沿C2由z0到-1,51,5. w = 的黎曼面,上面的讨论表明：根式函数w= 是一个多值函数，z平

19、面上的一个点对应着w平面上的两个点，分别由式(5.2.3)与式(5.2.4)给出,如果把辐角为02p的一叶z平面与辐角为2p4p的一叶z平面看成是不相重合的，并设想z平面就由这两叶平面组成：,52,两叶的原点重合且沿正实轴剪开，第一叶的下岸与第二叶的上岸(j=2p)粘合在一起，第二叶的下岸与第一叶的上岸(j=0) 粘合在一起，如图5.9所示这种由一两叶组成的z平面就称为w= 在的黎曼面,53,当自图5.9变量z在黎曼面上变化时，第一叶上的z值对应于w0分支，第二叶上的z值对应于w1分支，一个z值对应一个w值，这样 w= 就成为单值函数了 但是支点：z=0,仍然是w= 的奇点由于在支点的邻域内各

20、个分支不能分开，但函数f(z)可导要求 的值与z趋于z0的方式无关，故在支点处函数不解析,54,5.2.2 对数函数,1. 对数函数的定义及多值性 对数函数是指数函数的反函数 w lnz (5.2.16) 其多值性也来源于辐角的多值性令 z = reij = rei(j0+2kp)，0j02p ， k=0， 1， 2， 则有 wu+ivlnr+i(j0+2kp) (5.2.17),55,2. 支点,由于z环绕z=0或 转一周时，argz改变2p, lnz改变i2p,故z=0,是对数函数的支点。,56,3.作割线,从x=0 沿正实轴作一割线至 z= ，见图5.10(a)规定 2kp argz2(

21、k+1)p 则得w= lnz的第k分支函数w= ( lnz)k的值域为带形区域，如图5. 10(b)所示,57,【5. 2. 4】割线如图5.11，求函数 w(z)=-ln(1-z2)在z=3和z=3i的值 已知w(0)=0.,解 首先将z(z)的实部和虚部分开 w(z)ln(1-z2)ln(1+z)+ln(1-z) ln|1+ z| + iarg(1+ z) + ln|1- z| + iarg(1- z) ln|1-z2| + iarg(1+z)+arg(1-z) 即有 Rew(z)ln|1-z2|, Imw(z)arg(1+z)+arg(1-z) (5.2.18) 题设条件w(0)=0 给

22、出 Rew(0)Imw(0)=0 (5. 2.19),58,(1)求w(3)的值 分别求w(3)的实部与虚部如下,解 首先将z(z)的实部 和虚部分开 Rew(3)ln|1-32|=ln8, Imw(3) Imw(0) +DImw(z)|由0到3 = D arg(1+z)+ D arg(1-z) |由0到3 =0+p=p w(3) Rew(3) + iImw(3) =ln8+ip,59,(2)求w(3i)的值。同理分别求w(3i)的实部与虚部如下,Rew(3i) ln|1-(3i)2 |ln10 Imw(3i)Imw( 0)+DImw(z) |由0到3i Darg(1+z)+Darg(1-z)

23、 |由0到3i =j+(2p-j)=2p w(3) Rew(3) + iImw(3) =ln8+ip 式中j为实轴与-1至3i连线的夹角(图5.11). w(3i)Rew(3i)十iImw(3i) ln10 i2p,60,5.对数函数w= lnz的黎曼面(图5.12),对数函数的支点在z=0及z=，取正实轴为割线，当j0取值在 2kp jk 2(k+1)p 范围内时，wk取值在第k分支： wk (lnz) k ln|z|+i(j0+2kp) 0 j0 2p ，k=0, 1, 2, ,显然，对数函数的黎曼面有无限多叶，在图5.12中画出了M1,M0, M-1,M-2 (对应k=1,0,-1,-2 )这四叶的情形,61,62,5.2.3 多值函数的积分,为了计算比较复杂的实变积分，有时要利用多值函数的积分但在计算积分前，要作割线分出单值分支,63,64