光纤光学教学课件第三讲

1、08.10.2020,第二章 光纤光学的基本方程,08.10.2020,光纤光学的研究方法,几何光学方法：,光纤芯径远大于光波波长0时, 可以近似认为00，从而将光波近似看成由一根一根光线所构成, 因此可采用几何光学方法来分析光线的入射、传播(轨迹) 以及时延(色散) 和光强分布等特性，这种分析方法即为光线理论。,优点：简单直观，适合于分析芯径较粗的多模光纤。 缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分布等现象，分析单模光纤时结果存在很大的误差。,08.10.2020,波动光学方法：,是一种严格的分析方法，从光波的 本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁波

2、的场分布。,优点：具有理论上的严谨性，未做任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模和多模光纤。 缺点：分析过程较为复杂。,08.10.2020,光纤光学的研究方法比较,08.10.2020,光线理论与波动理论分析思路,电磁分离 波动方程 wave equation,纵横分离 波导场方程,时空分离 亥姆赫兹方程 Helmholtz equation,08.10.2020, HUST 2010,2010-3-2,6,补充数学知识,08.10.2020, HUST 2010,2010-3-2,7,补充数学知识,为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：,08.10.2020,2.1 麦克斯韦

3、方程与亥姆赫兹方程,一、麦克斯韦方程,光纤是一种介质光波导，具有如下特点： 无传导电流； 无自由电荷； 线性各向同性。,DE BH,ee0n2,08.10.2020,边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续,D与B的法向分量连续：,08.10.2020,电场、磁场关系式,矢量关系式,电场强度E的波动方程式,该方程只与电场强度E有关，与磁场H无关。,8,电磁矢量分离：波动方程,08.10.2020,9, HUST 2010,2010-3-2,矢量波方程,这是电磁波普遍适用的精确方程。 在光纤中，折射率变化非常缓慢，可近似认为 于是上述方程可简化为标量波方程

4、 Notice：该方程为近似结果，适用于光纤中的一般问题。若要进行精密分析，要用矢量方程。,矢量E(x,y,z,t)和H(x,y,z,t)的每一个分量均满足该式！,08.10.2020,分离变量: 时空坐标分离,令场分量为： 得到关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即 亥姆霍兹方程：,前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数,08.10.2020,2.2 程函方程与射线方程,一、程函方程：光程函数方程,08.10.2020,二、光线方程,由光程函数方程可推得光线方程：,08.10.2020,单位矢量相等：,又有：,08.10.2020,光线方程,08.10.2020,光线方程的物

5、理意义：,当光线与z 轴夹角很小时，有：,物理意义： 将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来; 由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式; dr/dS是光线切向斜率, 对于均匀波导，n为常数,光线以直 线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则dr/dS为一变量, 这表明光线将发生弯曲。而且可以证明,光线总是向折射率 高的区域弯曲。,08.10.2020,由光线方程可以证明下列关系式成立：,光线总是向折射率高的区域弯曲,课后作业题：证明上式。,08.10.2020,典型光线传播轨迹,08.10.2020,麦克斯韦方程,场的波动方程,亥姆霍兹方程,波导场方程,电、磁分离,时、空分离,纵

6、、横分离,直角坐标系 or 圆柱坐标系下研究,任意场分量都满足. 选哪个场分量 研究呢？ 能方便求出其他场分量！,2.3 波导场方程,08.10.2020,波动理论,亥姆霍兹方程： 特征：拉普拉斯算符作用在场分量函数上的结果等于该函数与一常数-k2的乘积。 这类方程在数学上称为本征方程，常数k称为本征值，该函数称为本征函数。 波动理论：对于给定的边界条件求本征方程的解 本征解及对应本征值,08.10.2020,光纤波导光波传输特征： 在纵向（轴向）以“行波”形式存在，横向以 “驻波”形式存在。场分布沿轴向只有相位变化， 没有幅度变化。 进行空间坐标纵、横分离，令 代入亥姆霍兹方程得到,空间坐标

7、纵横分离：波导场方程,08.10.2020,由此得到电场E和磁场H的场分布满足的 波导场方程： 数学物理意义： 是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的 本征方程,其本征值为或。当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”.,08.10.2020,模式及其基本性质,每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波; 每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件; 模式具有确定的相速群速和横场分布. 模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定 的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外 界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不 会改变模式的固

8、有性质。(和及边界条件均由光纤本身决定，与外界激励源无关),08.10.2020,横模 光波在传输过程中，在光束横截面上将形成具有各种不同形式的稳定分布，这种具有稳定光强分布的电磁波，称为横模。横模（表现在光斑形状）的分布是和光波传输区域的横向（xy面）结构相关的； 光纤中的模式：,光纤中的模式-横模,08.10.2020,纵 模,相长干涉 条件：2 nLK 纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做“纵模”，纵模是指频率而言的。,08.10.2020,模式的场分量,模式场分布由六个场分量唯一决定： 直角坐标系：Ex Ey Ez Hx Hy Hz 圆柱坐标系：Er Ef Ez Hr Hf Hz Ez

9、和 Hz 总是独立满足波导场方程 场的横向分量可由纵向分量来表示6个场分量可简化为2个纵向场分量的求解。,说明：光纤为圆柱型波导，通常在圆柱坐标系下研究更为方便。此时其两个横向分量相互交叠，没有如此简单的分量方程，只有纵向分量满足独立的波导场方程。,08.10.2020,直角坐标系纵横关系式,08.10.2020,圆柱坐标系纵横关系式,08.10.2020,30,横纵关系式,已知场的横向向分量，可知场的纵向分量,直角坐标系下,圆柱坐标系下,08.10.2020,纵横关系式推导,对于单色波，任一场分量 由麦克斯韦方程组可得： 直角坐标系下： 柱坐标系下：,08.10.2020,直角坐标系各分量方

10、程,08.10.2020,1、模场分布,即波导场方程满足边界条件的本征解 直角坐标系：(Ex、Ey、Ez) (Hx、Hy、Hz) 圆柱坐标系：(Er、E、Ez) (Hr、H、Hz),2.4 模式及其基本性质,08.10.2020,34,2、模式命名,根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否,可将模式命名为: (1)横电磁模(TEM): EzHz0; (2)横电模(TE): Ez0, Hz0; (3)横磁模(TM): Ez0, Hz0; (4)混杂模(HE或EH):Ez0, Hz0。 光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有时也出现TE(TM)模。,08.10.2020,3、纵向传播常数（b）,b实

11、际上是等相位面沿z轴的变化率； b数值分立，对应一组导模； 不同的导模对应于同一个b数值，我们称这些导模是简并的；,z方向单位长度位相变化率; 波矢量k的z-分量,纵向传播常数（b）：即与本征解相对应的本征值,08.10.2020,3、归一化频率（V）,给定光纤中,允许存在的导模由其结构参数所限定。光纤的结构参数可由其归一化频率V表征: V值越大，允许存在的导模数就越多。,08.10.2020,4、横向传播常数（U、W）,横向分量：,（对应于纤芯）,（对应于包层）,定义横向传播常数：,满足：,场归一化传播常数：,芯区：c1为实数; 包层：c2为纯虚数,08.10.2020,横向传播常数（U、W）的特性,08.10.2020,5、相速度与群速度,相速度：场的等相位面沿z轴的传播速度,群速度：光脉冲或波包中心或光能量沿z轴的传播速度,在光纤中,Vp大于光速c/n1而Vg小于光速c/n1,并有如下关系式: Vp c/(n1cosz ) c /n1 Vg(c/ n1)cosz c /n1 其中z是波矢K与z轴夹角。仅当z0时才有VpVgc/n1。 不同的z角相应于不同的导模,对应于不同的相速Vp和群速Vg。,08.10.2020,6、色散与群延时,群延时：光脉冲行经单位长度距离所需时间。,色散：不同模式之间会产生不同的群延时，这种群延时引起