几何与代数课件：lec21 特征值与特征向量的性质-讲义提纲

1、,几何与代数,2010年国家级精品课程,教学内容和学时分配,第五章 特征值与特征向量,问题式预习,1. 方阵的行列式和迹与特征值间有什么关系？,2. 方阵的化零多项式的根与特征值间有什么关系？,思考题,投影矩阵有什么性质？,若ARmn, r(A)=n, 则r(ATA)=,n,为b在R(A)上的投影矩阵.,P=E？,PT=？,P2 = ？,并以R(A)是一个平面的情况为例说明P2b的几何含义.,当A可逆时 P = E .,PT = E .,P2 = P .,P2b = P(Pb),Pb在R(A)上，再往R(A)上投影还是Pb.,解1:,所以A的全部特征值为 0(n1重根),例3. 设0, Rn,

2、 求A=T的特征值和特征向量.,设a10,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,解: 当=0时, (EA)x = 0, 即Ax = 0.,不妨设,例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,对应=0的 特征向量为,不全 为0,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,此时，线性无关的特征向量只有一个.,解: 当= T时, (T EA) x = 0.,因为Ax = x.,即 x = x.,注意到,所以即为A的对应特征值 = T的特征向量.,所以只要找一个非零向量满足上述方程即可.,例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,r(TEA) +

3、 r(x) n.,r(TEA) n1.,r(TEA)+r(A) r(TEA+A) = r(TE) = n.,r(TEA) = n1.,则对应 = T的特征向量为,r(A)=1,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,(EA) =有非零解 |EA|=0, 是方阵A的一个特征值 .,A为方阵, 不是A的特征值 (EA)可逆.,例4.设3阶矩阵A的特征值为2,1,4,则可逆的矩阵:,(A) EA,(B) 4EA,(C) 2EA,(D) 2E+A,例5.若方阵A不可逆，则A的一个特征值为( ),0,例6.若方阵A满足A2=2A,0不是A的特征值,则A=,A可逆,A = 2E,第五章

4、特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,一. 特征值、特征向量的定义和计算,先解|EA|=0, 求; 将代入 (EA) =, 求非零通解.,0, s.t. A = , EA不可逆,例7. 证明f() 是的n次多项式, 并求n, n1的系数及常数项.,d1 = (a11)(a22)(ann),f(0),= (1)n|A|,= |A|,f() = |EA| =,A的迹, 记为trA,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,二. 特征值的性质,定理5.1. 设1, , n(实数或复数, 可重复)是n阶方阵A=(aij)的n个特征值, 即 |EA| = (1) (2)(n)

5、，则,证明：,|EA| = (1) (2)(n),第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,定理5.1.设1, , n(实数或复数)是n阶方阵A=(aij),的n个特征值, 则,推论1：方阵A可逆 A的特征值均不为0.,推论2：方阵A可逆, 是A的特征值, 则1/是A1的特征值, |A|/是A*的特征值.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,性质1: 若是A的特征值, 则也是AT 的特征值.,性质2. 设是A的特征值,则k是Ak的一个特征值.,性质3. 设是方阵A的一个特征值, f是一个,多项式, 则f()是方阵f(A)的一个特征值.,第五章 特征值与特征

6、向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,性质3. 设是A的特征值,则f()是f(A)的特征值.,例8.设3阶矩阵A的特征值为1,2,3, 则 trB = ?,1153 = 19,例9.设3阶矩阵A的特征值为2,1,1,则,推论1：方阵A可逆 A的特征值均不为0.,推论2：方阵A可逆, 是A的特征值, 则1/是A1的特征值, |A|/是A*的特征值.,A的特征值为1=1, 2 = 1,例10. f(x) = x21, 根为1, 1,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,(称f为A的一个化零多项式),1=2 =1,1=2 = 1,化零多项式的根为：1, 1,1=1, 2 = 1,

7、A的特征值为1=1, 2 = 1,例10. f(x) = x21, 根为1, 1,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,1=2 =1,1=2 = 1,化零多项式的根为：1, 1,1=1, 2 = 1,A 的任一特征值都是化零多项式的根.,(称f为A的一个化零多项式),性质4. 若f 是多项式, A是一个方阵, 使f(A) =O,则A的任一特征值必满足f() = 0.,例10. f(x) = x21, 根为1, 1,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,1=2 =1,1=2 = 1,1=1, 2 = 1,A 的任一特征值都是化零多项式的根.,性质4. 若f

8、 是多项式, A是一个方阵, 使f(A) =O,则A的任一特征值必满足f() = 0.,注1: A的化零多项式的根未必都是A的特征值.,注2: A的化零多项式的根 A的特征值.,注3: A的化零多项式的根是A的所有可能的特征值.,例10. f(x) = x21, 根为1, 1,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,1=2 =1,1=2 = 1,1=1, 2 = 1,注1: A的化零多项式的根未必都是A的特征值.,注2: A的化零多项式的根 A的特征值.,注3: A的化零多项式的根是A的所有可能的特征值.,例11. 若 A2 = E, 求A的所有可能的特征值.,解：由A2 E

9、= 0知, f(x) = x21为A一个化零多项式.,f(x) = x21=0 的根1,1为A的所有可能的特征值.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,注1: A的化零多项式的根未必都是A的特征值.,注2: A的化零多项式的根 A的特征值.,注3: A的化零多项式的根是A的所有可能的特征值.,例11. 若 A2 = E, 求A的所有可能的特征值.,解：由A2 E= 0知, f(x) = x21为A一个化零多项式.,f(x) = x21=0 的根1,1为A的所有可能的特征值.,错误做法：,A2 = E,A2 E =0,(A+E)(A E ) =0,|A+E| |A E |

10、=0,|A+E| =0, |A E | =0,=1,1,错误在于只能说明1,1 是A的可能的特征值，但不能保证是所有可能的特征值。,解法2:,所以A的所有可能的特征值满足,所以A的所有可能的特征值,所以A的全部特征值为 0(n1重根),例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,二. 特征值的性质,0,s.t. A = .,设是A的特征值, 则f()是f(A)的特征值.,A的化零多项式的根可能是但未必都是A的特征值.,A 的任一特征值都是化零多项式的根.,A可逆A的特征值均不为0, 1/是A1的特征值.,是可逆阵A的特征值, 则|A|/是A*的特征值.,若是方阵A的特征值, 则也是AT 的特征值.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,(EA) =有非零解,是方阵A的一个特征值, |EA|=0 EA不可逆,二. (A