几何与代数课件：1-5 用Matlab解题

1、,几何与代数,2010年国家级精品课程,教学内容和基本要求,第一章 行列式和线性方程组的求解,MATLAB: 美国MathWorks公司,20世纪80年代中期,优秀的数值计算/符号计算能力 卓越的数据可视化能力,在欧美等高校，MATLAB已经成为 线性代数/自动控制理论/概率论及数理统计/ 数字信号处理/时间序列分析/动态系统仿真 等高级课程的基本教学工具， 是攻读学位的 大学生/硕士生/博士生 必须掌握的基本技能。,1.5 用Matlab解题,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,有高性能数值计算的高级算法，特别适合矩阵代数领域； 有大量事先定义的数学函数和很强的用户

2、自定义函数的能力； 有强大的绘图功能； 具有教育/科学和艺术学的图解和可视化的二维/三维图； 基于HTML的完整的帮助功能； 适合个人应用的强有力的面向矩阵(向量)的高级程序设计语言； 与其它语言编写的程序结合和输入输出格式化数据的能力； 有在多个应用领域解决难题的工具箱。,MATLAB的主要特点是：,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,一. 打开MATLAB,桌面快捷按钮,开始菜单,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,二. MATLAB界面,标题栏,菜单栏,工具栏,当前路径窗口,命令历史记录窗口,命令窗口,第一章 行列式和线性方程组的求解,

3、1.5 用Matlab解题,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,获取帮助,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,三. 大材小用,1.3692+sin(7/10*pi)*sqrt(26.48)/2.9,ans = 3.3097 ,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,0.5-0.42-0.08,ans = 1.3878e-017 ,0.5-0.08-0.42,ans = 0 ,0.5-sym(0.42)-0.08,ans = 0 ,sym(0.5-0.42-0.08),ans = 2(-56) ,凡eps = 2-52 2

4、.2204*10-16的数都是0,vpa为显示任意指定精度的符号数据,sym为进行符号运算,ans =.138777878078144567552953958511e-16 ,vpa(sym(0.5-0.42-0.08),30),vpa(pi,150),ans =3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445 9230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940813,第一章 行列式和线性方程组的求

5、解,1.5 用Matlab解题,三. 矩阵的输入,a = 1, 2, 3 %输入完这一行,按回车键,a = 1 2 3 ,X_Data=2.3 3.4; 4.3 5.9 %2阶方阵,X_Data = 2.3000 3.4000 4.3000 5.9000 ,clear %清除以上输入的变量,clc %清屏幕,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,Matrix_B = 1 2 3;,Matrix_B = 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ,2 3 4; 3 4 5,1 2；3 4,? 1 2；3 4 | Error: The input character is not

6、 valid,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,四. 计算行列式, det(1,2;3,4) %行列式, det(1,2;3,4) %行列式 ans = -2 , det(1,2;3,4) %行列式 ans = -2 ,A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;D=det(A),D = 0,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题, det(1,2;3,4) %行列式, det(1,2;3,4) %行列式 ans = -2 , det(1,2;3,a) ? Undefined function or variable a.= ,syms a, %定

7、义a为符号变量,ans = a-6 ,det(1,2;3,a),第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,五. 用Cramer法则解线性方程组,例13. 求方程组,的解.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题, a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D_1=det(b,a_2,a_3,a_4,a_5); D_2=det(a_1,b,a_3,a_4,a_5); D_3

8、=det(a_1,a_2,b,a_4,a_5); D_4=det(a_1,a_2,a_3,b,a_5); D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b); x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_5=D_5/D; format rat,X=x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 % 有理输出 X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665,将实数转化为单精度(7位有效数字)的有理数,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题, %我们也可以编写如下程序来解上述方程组, %我们也可以编写

9、如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1;,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题, %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; A= sym( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5);D=det(A); % sym 为把数字转化为字符计算，结果比format

10、 rat精确 % syms 为定义符号变量 X=; %空矩阵 for i=1:5 A=sym(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); A(:,i)=b;X =sym(X,det(A)/D); i=i+1; end X X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,六. 用初等行变换解线性方程组, A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=sym(A,b); %增广矩阵 C=rref(B), %

11、用初等行变换把B化为行最简形 C = 1, 0, 0, 0, 0, 1507/665 0, 1, 0, 0, 0, -229/133 0, 0, 1, 0, 0, 37/35 0, 0, 0, 1, 0, -79/133 0, 0, 0, 0, 1, 212/665 X=C(:,6) %取C的最后一列, 转置为行向量 X = 1507/665, -229/133, 37/35, -79/133, 212/665,注意分号不输出结果,注意逗号输出结果,注意无符号输出结果,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题,例14. 求方程组,的解.,解: 先用MATLAB把该方程组的增

12、广矩阵,化为行简化阶梯阵,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题, A=1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8; b=1;4;0; B=A,b; %增广矩阵 C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形,由C可以看出该方程组有无数多解, 而且可以写出对应的最简形方程组, 从而得到原方程组的解., A=1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8; b=1;4;0; B=A,b; %增广矩阵，注意这里未转化为字符计算 C=rref(B) %用初等行变换把B化为行最简形 C = 1.0000 0 0 0.7500 1.2500 0 1

13、.0000 0 -1.7500 -0.2500 0 0 1.0000 0 0,右图表示的交通网络中，每条路都是单行线。图中数字表示该条路的车流数。设每个路口进入和离开车辆数相等。,(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组；,(2) 写出该线性方程组对应的系数矩阵和增广矩阵；,(3) 分析哪些流量数据是多余的?,(4) 为唯一确定流量，需增添哪些观测道路？,思考题：交通网络流量分析问题,思考题：交通网络流量分析问题,（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；,x1+x7 = 400 ,x1+x9 = 300 +x2 ,图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进

14、入和离开的车数相等。,x2+100 = x11+300 ,x3+x7 = x8+350 ,x4+x10 = x3+x9 ,500+x11 = x4+x12 ,x5+x8 = 310 ,x6+400 = x5+x10 ,x12+150 = x6+290 ,网络中的每个变量在方程组中，只出现两次。一次是离开某路口；一次是进入另一个路口。,x1+x9 = 300 +x2 ,思考题：交通网络流量分析问题,（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；,x1+x7 = 400 ,x1x2 +x9 = 300 ,图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。

15、,x2+100 = x11+300 ,x3+x7 = x8+350 ,x4+x10 = x3+x9 ,500+x11 = x4+x12 ,x5+x8 = 310 ,x6+400 = x5+x10 ,x12+150 = x6+290 ,x2x11 = 200 ,x3+x7 x8= 350 ,x3 +x4 x9 +x10= 0 ,x4 + x11 x12 = 500 , x5 + x6 x10 = 400,x6 +x12 = 140 ,网络中的每个变量在方程组中，只出现两次。一次是离开某路口；一次是进入另一个路口。,x1+x9 = 300 +x2 ,思考题：交通网络流量分析问题,（2）写出该线性方

16、程组对应的系数矩阵,x1+x7 = 400 ,x1x2 +x9 = 300 ,图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。,x2+100 = x11+300 ,x3+x7 = x8+350 ,x4+x10 = x3+x9 ,500+x11 = x4+x12 ,x5+x8 = 310 ,x6+400 = x5+x10 ,x12+150 = x6+290 ,x2x11 = 200 ,x3+x7 x8= 350 ,x3 +x4 x9 +x10= 0 ,x4 + x11 x12 = 500 , x5 + x6 x10 = 400,x6 +x12

17、= 140 ,1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12,1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0,0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0,0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0,0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1,0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0,0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0,0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,思考题：交通网络流量分析问题,（2）写出该线性方程组对应的系数矩阵,图中的数

18、字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。,1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12,1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0,0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0,0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0,0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1,0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0,0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0,0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

19、1,思考题：交通网络流量分析问题,（2）写出该线性方程组对应的系数矩阵,图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。,1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12,1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0,0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0,0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0,0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1,0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0,0 0 0

20、0 1 1 0 0 0 1 0 0,0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,右端向量,思考题：交通网络流量分析问题,（2）写出该线性方程组对应的增广系数矩阵,图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。,1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12,1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0,0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0,0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0,0 0 0 1

21、 0 0 0 0 0 0 1 1,0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0,0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0,0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,b,400 300 200 350 0 500 310 400 140,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题, A=sym(1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0; 1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0; 0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,-1,0; 0,0,1,0,0,0,1, -1,0,0,0,0; 0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0; 0,0,

22、0,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1; 0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0; 0,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0; 0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1); %函数sym将数值矩阵转换为符号矩阵,便于精确计算 b=sym(400; 300; 200; 350; 0;-500;310;-400;140); B=A,b; %增广矩阵 C=rref(B) %用初等行变换把B化为行简化阶梯阵 C=1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 500 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -1

23、 1 500 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 260 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,x1+x9 = 300 +x2 ,思考题：交通网络流量分析问题,（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；,x1+x7 = 400 ,x1x2 +x9 = 300 ,图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中

24、进入和离开的车数相等。,x2+100 = x11+300 ,x3+x7 = x8+350 ,x4+x10 = x3+x9 ,500+x11 = x4+x12 ,x5+x8 = 310 ,x6+400 = x5+x10 ,x12+150 = x6+290 ,x2x11 = 200 ,x3+x7 x8= 350 ,x3 +x4 x9 +x10= 0 ,x4 + x11 x12 = 500 , x5 + x6 x10 = 400,x6 +x12 = 140 ,(3)分析哪些流量数据是多余的?,多余的方程,可去掉,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.5 用Matlab解题, A1=A(1:8,:);

25、 %取矩阵A的前八行元素 b1= b(1:8,:); %取列向量b的前八行元素 B1=A1,b1; %去掉第九个节点方程后的增广矩阵 C1=rref(B1) %用初等行变换把B化为行简化阶梯阵 C=1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 500 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 500 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 260 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 50,主列,非主列,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12,自由未知量,第一