几何与代数课件：lec24-二次型

1、,几何与代数,2010年国家级精品课程,思考题：,问题式预习及思考题,1. 举例说明可相似对角化的矩阵不一定能正交相似对角化.,2. 若A,B是实对称阵, |EA|=|EB|, A,B是否相似？是否正交相似？,若A,B是一般实方阵呢？,1. 实二次型的一般型和标准型的几何含义有什么不同？,2. 如何化实二次型的一般型为标准型？,1. 举例说明可相似对角化的矩阵不一定能正交相似对角化.,5.3 实对称矩阵的相似对角化,第五章 特征值与特征向量,分析：,二阶方阵;,元素：0,1,-1;,非对称矩阵;,上三角形矩阵;,对角线元素不同;,右上角元素不为0.,A =,1 1 0 1,反例：,解：,(2)

2、 若A,B是一般方阵，特征多项式相同，不一定相似也不一定正交相似。比如：,因为实对称矩阵A,B的特征多项式相同，,所以它们的特征值相同，,A,B都与=diag(1, n)相似并且正交相似，,事实上存在Q1, Q2正交, 使得,正交,所以A,B正交相似。,2. 若A,B是实对称阵, |EA|=|EB|, A,B是否相似？是否正交相似？,也是等价关系,若A,B是一般实方阵呢？,可逆变换可以改变图形的大小和形状,正交变换不改变图形的大小和形状,对应的正交变换 y =Qx,对应的可逆变换y =Ax,Q,Q,第六章 二次型与二次曲面,平面中二次曲线类型的判断,34 16 16 34,6.1 二次型,x

3、y,x y,34x2 + 32xy + 34y2 = 450,A,AT =,|E A| =2 68+5018,正交阵 , Q1AQ = QTAQ = =,50 0 0 18,第六章 二次型与二次曲面,34 16 16 34,6.1 二次型,x y,x y,34x2 + 32xy + 34y2 = 450,A,AT =,|E A| =2 68+5018,正交阵 , Q1AQ = QTAQ = =,QQT,X,= XT,X,50 0 0 18,= X TX,50 x2+18y2=450,平面中二次曲线类型的判断,第六章 二次型与二次曲面,34 16 16 34,6.1 二次型,x y,x y,34

4、x2 + 32xy + 34y2 = 450,A,AT =,|E A| =2 68+5018,正交阵 , Q1AQ = QTAQ = =,QQT,X,= XT,X,50 0 0 18,= X TX,50 x2+18y2=450,平面中二次曲线类型的判断,第六章 二次型与二次曲面,34 16 16 34,6.1 二次型,x y,x y,34x2 + 32xy + 34y2 = 450,正交阵 , Q1AQ = QTAQ = =,QQT,X,= XT,X,50 0 0 18,= X TX,50 x2+18y2=450,x,y,= 450,|E A| =2 68+5018,平面中二次曲线类型的判断,

5、第六章 二次型与二次曲面,34 16 16 34,6.1 二次型,x y,x y,34x2 + 32xy + 34y2 = 450,正交阵 , Q1AQ = QTAQ = =,X = QTX,50 0 0 18,50 x2+18y2=450,x,y,= 450, X = QX,|E A| =2 68+5018,平面中二次曲线类型的判断,第六章 二次型与二次曲面,34 16 16 34,6.1 二次型,x y,x y,34x2 + 32xy + 34y2 = 450,正交阵 , Q1AQ = QTAQ = =,X = QTX,50 0 0 18,50 x2+18y2=450,x,y,= 450,

6、 X = QX,|E A| =2 68+5018,/4,平面中二次曲线类型的判断,第六章 二次型与二次曲面,34 16 16 34,6.1 二次型,x y,x y,34x2 + 32xy + 34y2 = 450,正交阵 , Q1AQ = QTAQ = =,X = QTX,50 0 0 18,50 x2+18y2=450,= 450, X = QX,|E A| =2 68+5018,平面中二次曲线类型的判断,第六章 二次型与二次曲面,34 16 16 34,6.1 二次型,x y,x y,34x2 + 32xy + 34y2 = 450,X = QTX,50 x2+18y2=450,= 450

7、, X = QX,平面中二次曲线类型的判断,第六章 二次型与二次曲面,34 16 16 34,6.1 二次型,x y,x y,34x2 + 32xy + 34y2 = 450,X = QTX,50 x2+18y2=450,= 450, X = QX,几何:旋转变换,代数:正交变换,平面中二次曲线类型的判断,x,y,/4,50 x2+18y2=450,100 x2+36y2=450,代数:正交变换,第六章 二次型与二次曲面,34 16 16 34,6.1 二次型,x y,x y,34x2 + 32xy + 34y2 = 450,X = QTX,x,y,= 450, X = QX,代数:可逆变换,

8、几何:旋转变换,几何:仿射变换,/4,100 x2+36y2=450,代数:正交变换,第六章 二次型与二次曲面,34 16 16 34,6.1 二次型,x y,x y,34x2 + 32xy + 34y2 = 450,X = QTX,x,y,= 450, X = QX,代数:可逆变换,正交变换,34x2+450/17y2=450,225 17,y,/4,几何:旋转变换,几何:仿射变换,二次曲线及其矩阵表示,二次曲线ax2+2bxy+cy2 = 1,m(x)2+n(y)2 =1,一般形,标准形,代数: 可作(特殊的)正交变换，它能保持几何图形的形状不变.,代数: 也可作一般的可逆线性变换，它可能

9、改变几何图形的形状.,a b b c,x y,x y,m 0 0 n,x y,x y,X = PX,P可逆,教学内容和学时分配,第六章 二次型与二次曲面,一. 二次型及其矩阵表示,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,f(x1, x2, , xn) = a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+2an1,nxn1xn,n元实二次型,设 aij = aji,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,f(x1, x2, , xn) =,f(x) = xTAx,f 的矩阵,A的二次型,f 的秩: r(A),r( f ), aijxixj,i,j=1,n,ai

10、j = aji,AT = A,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,= k1y12 + k2y22 + +knyn2,= (y1, y2, , yn),k1 0 0 0 k2 0 0 0 kn,y1 y2 yn,f(x1, x2, , xn) =, aijxixj,i,j=1,n,x = Py,P可逆,x = Py,P可逆,= (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y,标准形,一般形,= yTy,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = yTy = g(y),寻求可逆矩阵P, 使得,即寻求可逆的线性变换x =

11、 Py, 使得,AT = A,二. 用正交变换化实二次型为标准形,定理6.2 (主轴定理) 对于任何一个n元实二次型 f = xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f化为标准形 f = 1y12+ 2y22 + + nyn2, 其中1, 2, , n为A的n个特征值, Q的列向量是对应特征值的n个标准正交特征向量.,正交变换下 的标准形, 实对称阵的正交相似对角化问题,标准形不唯一,与特征值的顺序有关 ； 正交矩阵不唯一,与选取的正交特征向量有关.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 f(x) = 3x

12、12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 .,对应于 = 2的一个特征向量: 1 = (1, 1, 2)T,|EA| = (+2) (4)2.,1= 2, 2=3= 4.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,得对应于 = 4的另一个特征向量3 = (5, 1, 2)T,对应于 = 4的一个特征向量: 2 = (0, 1, 1/2)T,再解线性方程组,例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 .,解:,1= 2, 2=3= 4.,对应于 = 2的一个特征向量: 1 = (1, 1, 2)T,6.1 二次型,第六章 二

13、次型与二次曲面,对应于 = 4的两个正交的特征向量: 2 = (0, 1, 1/2)T, 3 = (5, 1, 2)T,例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 .,解:,1= 2, 2=3= 4.,对应于 = 2的一个特征向量: 1 = (1, 1, 2)T,单位化可得正交矩阵Q =,令x = Qy, 得该二次型的标准形为,f = 2y12 + 4y22 + 4y32.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 .,分析

14、:,并求该二次型在条件x12+x22+x32 = 1下的最大、最小值.,单位化可得正交矩阵Q =,令x = Qy, 得该二次型的标准形为,f = 2y12 + 4y22 + 4y32.,x12+x22+x32 = xTx,当x12+x22+x32 = xTx = yTy = 1, 当y12+y22+y32 = 1,=yTQTQ y,= yTy,f = 2y12 +4y22+4y32,当x12+x22+x32 = xTx = yTy = 1, 即y12+y22+y32 = 1,令x = Qy, 得到标准形,f = 2y12 +4y22+ 4y32., 4(y12 +y22 +y32) = 4, f 在xTx =1时的最小值为2.,f = 2(1y22y32)+ 4(y22 +y32) = 6(y22 +y32) 2 2,要求f (x)在x12+x22+x32=1下的最大, 最小值., f 在 yTy =1 时的最大值为4,令y= =(0,0,1)T, 则