几何与代数课件：习题解析第六章

1、,几何与代数习题解析第六章,2010年国家级精品课程,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,x = Qy,作直角系的旋转变换,坐标轴的平移,g(y) = yTy + BTy + c = 0,y = z+,1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d,Q正交,Q正交且|Q|=1 右手系右手系,一般二次型f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0,实对称阵的正交相似对角化问题 Q正交, s.t., Q1AQ=QTAQ= =diag(1,n),p=3,q=0,r(g)=3, b=0,椭球面,球面,p=2, q=1,d0,p=0,q=3,d0,单叶双曲面,d0,

2、d0,双叶双曲面,d=0,二次锥面,r(g)=2, b0,d=0,p=2, q=0,椭圆抛物面,p=1, q=1,双曲抛物面,r(g)=2, b=0,d0,p=2, q=0,椭圆柱面,p=1, q=1,双曲柱面,r(g)=1,d=0,p=1, q=0,p=0, q=1,抛物柱面,证明: (1),若n阶方阵A满足A2=2A. 证明：(1) r(2EA)+ r(A)=n, (2) A相似于对角阵；,所以A相似于对角阵.,r(2EA)+ r(A) r(2EA+A)=n,r(2EA)+ r(A)n,(2EA)A=2AA2= 0,r(2EA)+ r(A) = n.,A的所有可能的特征值满足2 2=0,(

3、2), = 0,2.,由Ax=, A对应0有nr(A)个线性无关的特征向量.,由(2EA)x =, A对应2有nr(2EA)个线性无关的特征向量.,n阶方阵A共有2nn=n个线性无关的特征向量,(3) 若r(A)=r, 求|A+E|.,解: (3),若n阶方阵A满足A2=2A. 证明：(1) r(2EA)+ r(A)=n, (2) A相似于对角阵；,并且A相似于对角阵.,A的所有可能的特征值满足2 2=0, = 0,2.,(3) 若r(A)=r, 求|A+E|.,r(A)=r, 则与A相似的对角阵中有r个2,其余为0.,则存在可逆阵P, 使得,|A+E|,=|+E|,=3r,P1AP = ,由

4、P1(A+E)P = +E知,36.设 . (1) a,b满足什么条件时 是A的特征向量？若是A的特征向量，求相应的特征值。,(2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值. 并讨论 A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。 （共14分）,解：,(1),=2， a+b = 2,(2),=0,2, a,36.设 . (1) a,b满足什么条件时 是A的特征向量？若是A的特征向量，求相应的特征值。,(2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值. 并讨论 A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。 （共14分）,解：,当a=2时，,(2),=0,2

5、, a,=2, a+b = 2,b=0，,2是二重特征值，,A能相似对角化.,对应2的特征向量是,36.设 .,(2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值. 并讨论 A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。 （共14分）,解：,当a=2时，,(2),=0,2, a,=2, a+b = 2,b=0，,2是二重特征值，,A能相似对角化.,对应2的特征向量是,对应0的特征向量是,36.设 .,(2)若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求a,b的值. 并讨论 A能否相似对角化？若能，求对角阵和相应的相似变换矩阵。 （共14分）,解：,当a=0时，,(2),=0,2,

6、a,=2, a+b = 2,b=2，,0是二重特征值，,A不能相似对角化.,当a=2时，,b=0，,2是二重特征值，,A能相似对角化.,设n阶方阵A,B满足r(A)+r(B)n，证明: A,B有相同的特征值和特征向量.,证明:,r(A)+r(B)n, 0是A,B相同的特征值, r(A) n，r(B)n, |A| = 0，|B| = 0,设A,B对应于0的相同的特征向量为，,有非零解，作为相同的特征向量,设0是m阶方阵AmnBnm的特征值，证明: 也是n阶方阵BA的特征值.,证明:, 0是AB的特征值，,设AB对应于的特征向量为，,则,否则，,矛盾。,所以也是n阶方阵BA的特征值.,证明:,已知

7、n阶方阵A相似于对角阵,并且A的特征向量均是矩阵B的特征向量.证明: AB = BA.,n阶方阵A相似于对角阵,所以A有n个线性无关的特征向量,设为p1, p2, , pn,对应的特征值设为1,2,n.,A的特征向量均是B的特征向量, 则B也有n个线性 无关的特征向量p1,pn, 对应的特征值设为t1,tn.,令P = (p1,p2,pn), =diag(1,2,n),T =diag(t1,t2,tn),则P1AP=, P1BP=T, T=T.,于是AB = (PP1)(PTP1) = PTP1 = PTP1,= (PTP1)(PP1) = BA.,证充分性:,必要性：对实对称正定阵A, 存在

8、正交矩阵Q,使得,因为A正定，所以特征值i0,正定,所以A正定。,核心思想: 由A和f()的性质研究 f(A),证明:,3. 设A为n阶方阵，证明二次型 f(x)=xTAx的矩阵为,所以 f(x)=xTAx 的矩阵为,解:,因为 Ax = 与ATAx = 同解，,9. 设mn矩阵A的秩为r，求二次型 f(x) = xTATAx 的规范形.,所以 r(A) = r(ATA) = r.,f(x) = xTATAx,= (Ax)T Ax,所以x, f(x) = (Ax)T Ax 0.,所以ATA的正惯性指数为 r.,从而f(x) 的规范形为 g(y),存在正交变换x = Qy, y, g(y) =

9、(AQy)T AQy 0.,解:,因为 Ax = 与ATAx = 同解，,9. 设mn矩阵A的秩为r,求f(x) = xTATAx 的规范形.,所以 r(A) = r(ATA) = r.,所以x, f(x) = (Ax)T Ax 0.,所以ATA的正惯性指数为 r.,从而f(x) 的规范形为 g(y),存在正交变换x = Qy, y, g(y),设A为n阶可逆阵，则ATA 的正惯性指数为,n,2(3). = (1,2,3,4), 则的A = T的正惯性指数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4,11. mn矩阵A的秩为 , f(x) = xTATAx必为正定的？,n,证1: 设,所

10、以A不是正定阵.,证2: 令,显然A,B相合,并且相合的矩阵有相同的正定性.,则,则,所以B不是正定阵.,所以A不是正定阵.,12. 设A= (aij)为n阶实对称矩阵，若对角线上有一个aii 0, 则A必不是正定矩阵.,证明:,设为B对应于的特征向量, 则,14. 设A为n阶实对称矩阵，B为n阶实矩阵,且A与A BTAB均为正定矩阵,是B的一个实特征值, 则 |1 .,15. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), M正定, 0, 0, A, B都正定.,x, y , ,证明: (),P1AP =,M正定 特征值1, , s, 1

11、, , t 0, A, B都正定.,15. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定., A,B实对称, 必存在正交阵P, Q,使得,证明: (), 设A为s阶的, 则当i s时,M正定 M的各阶顺序主子式 0, A, B的各阶顺序主子式 0,A,B,O,O,M的i阶顺序主子式,= A的i阶顺序主子式,当i s时, M的i阶顺序主子式,= |A|B的is阶顺序主子式, A, B都正定.,15. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), 因为A, B都正定,PTAP = E, QTBQ = E,

12、所以存在可逆阵P, Q使,因而M正定.,15. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), 因为A, B都正定,A = PTP, B = QTQ,所以存在可逆阵P, Q使,因而M正定.,15. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明:,因为A正定,QT(CTBC)Q = ,所以存在可逆阵C, 使,17. 设A, B都是同阶实对称矩阵, 且A正定，,证明:存在可逆阵P, 使 PTAP, PTBP均为对角阵.,CTAC = E.,同时CTBC 是与B合同的实对称矩阵.,所以存在正交阵Q,

13、使,令P = CQ, 所以P可逆, 使PTBP = , PTAP = E.,同时QT(CTAC)Q = QTEQ = E,证明:,因为A正定,所以AT =A, A的所有特征值i0, i=1,2,n.,因为A正交,A的所有特征值i2=1, 则i=1, i=1,2,n.,所以ATA = A2 = E,所以实对称阵A与E相似.,即存在可逆矩阵P,使得,19. 设A既是正定阵又是正交阵，证明：A是单位阵.,方阵A与E 相似 ,A与E相合A正定,方阵A与E 相抵 A 可逆，,线性无关,A = P1Ps Q1 Qt,满秩,非奇异,非退化, 特征值均不为零,实对称阵A 可逆 正负惯性指数 p+q=n.,A的

14、行向量组线性无关,方阵A 正交 A可逆.,实对称阵A 正定 A可逆.,反之不然,反之不然,i 0,p=n,A=PTP,k0,A既是正定阵又是正交阵，则A是单位阵., A = E,设A,B都是n阶可逆阵，则必有 .,A. 存在可逆矩阵P，使得,B. 存在可逆矩阵P，使得,C. 存在可逆矩阵P，Q使得PAQ=B,D. A(A+B)B是可逆矩阵,C,证明1:,因为A可逆,所以A的正负惯性指数p+q=n.,并且p(A)=q(A)=q.,设A与A在实数域上相合,则p(A)=p(A)=p,所以 n=2p 为偶数.,设A为n阶可逆实对称矩阵，证明：如果A与A在实数域上合同，则n必是偶数.,证明2:,设A与A

15、在实数域上相合,则存在可逆阵P,使得,因为A可逆,所以|A|0.,所以n为偶数.,当k 时， 是椭球面，,1(10). 设,当k 时， 是柱面。, 1,= 1,当k 1时，,是单叶双曲面。,当k 1时，,是双叶双曲面。,当k 1时，,是圆锥面。,2(2). 下列矩阵中，与 合同的是,不对称,不对称,(D),A. A与C相似，B与D合同,B. A与C合同，B与D相似,C. A与B相似，C与D合同,D. A与B合同，C与D相似,A不对称，不与B,C合同,C,解：,设D为由yOz平面中的直线z = 0, 直线z = y ( y 0) 及抛物线y + z2 = 2, 围成的平面区域. 将D绕y轴旋 转一周得旋转体. (1) 画出平面区域D的图形; (2) 分别写出围成的两块曲面S1, S2的方程; (3) 求S1,S2的交