3 4随机向量的数字特征

1、3.4 随机向量的数字特征一、协方差定义3.8设(X,Y)是二维随机向量, EX , EY如果E ( X - EX )(Y - EY )均存在,存在，则称其为随量X和Y的协方差.记为cov( X ,Y )即cov( X ,Y ) = E ( X - EX )(Y - EY )数随量随量cov( X ,Y ) = E ( X - EX )(Y - EY )当 X = 时Y,cov( X , X ) = E ( X - EX )( X - EX )= E( X - EX )2 = DX计算协方差时,常采用公式:cov( X ,Y ) = E( XY ) - E( X )E(Y )cov( X ,Y

2、 ) = E ( X - EX )(Y - EY )= E X Y - X EY -Y EX + EX EY= E( X Y )- E ( X EY ) - E (Y EX ) + EX EY= E( X Y ) - EY E( X ) - EX E(Y )+ EX EY= E( X Y ) - E( X )E(Y )证cov( X ,Y ) = E ( X - EX )(Y - EY )= E( X Y ) - E( X )E(Y )协方差具有以下性质:(1) cov( X , X ) = DX(2) cov( X ,Y ) = cov(Y , X )a, b 为任意常数.cov(aX ,

3、bY ) = abcov( X ,Y ),(3)C为任意常数.(4)cov(C , X )= 0,+ X 2 ,Y ) = cov( X1 ,Y ) +cov( X 2 ,Y )(5)cov( X1cov(C , X ) = E (C - EC )( X - EX )= E (C - C )( X - EX )= E0 = 0证(4)cov( X1 + X 2 ,Y )= E ( X1 + X 2 )Y - E( X1= E X1Y + X 2Y -( EX1(5)+ X 2 ) EY+ EX 2 ) EY= E ( X1Y ) + E ( X 2Y )- EX1 EY- EX 2 EY= c

4、ov( X1 ,Y ) + cov( X 2 ,Y )D( X + Y )= DX + DY + 2cov( X ,Y )D( X - Y )= DX + DY - 2cov( X ,Y )D( X Y ) = E ( X Y )2-E( X Y )2(6)证= E ( X 22XY+Y 2 ) -EX EY 2= E( X 2 )2E( XY )+ E(Y 2 ) -(EX )2 2EXEY +(EY )2= DX + DY 2 E( XY )-EX= DX + DY 2 cov( X ,Y )EYcov( X ,Y ) = E ( X - EX )(Y - EY )= E ( X Y )-

5、 E( X )E(Y )D( X Y ) = DX + DY 2cov( X ,Y )(7)X与Y独立Cov( X ,Y ) = 0Cov( X ,Y ) = 0E( X Y ) = EX EYD( X Y ) = DX + DYX与Y独立D( X Y ) = DX + DY, Xn 独立D( X1 X 2 = DX1 + DX2 + Xn )+ DXnX1 , X 2 ,二.协方差矩阵定义对二维随机向量( X , Y ) ,称矩阵V = Cov( X , X )Cov( X ,Y )= Cov( X ,Y )DX Cov(Y , X )Cov(Y ,Y ) Cov( X ,Y )DY为随机向

6、量( X , Y ) 的协方差矩阵.协差阵V是对称矩阵.Xn )是 n维随机向量，其协方差矩阵设( X1 , X 2 ,定义为 Cov( X), X)Cov( X, X)Cov( X, X11121nV = Cov( X 2 , X1 )Cov( X 2 , X 2 )Cov( X 2 , Xn ) Cov( X), X)Cov( X, XCov( X, X)nn1nn2 s 11s 12s 1n.= Cov( X, X) = D( X) sssiiiii= 21222ns= Cov( X, X)i jij= Cov (X, X) = j ijii, j = 1, 2,., nso n2o n

7、n.n1协差阵V是对称矩阵.例 已知随量X与 Y 的联合分布为求(X,Y)的协方差矩阵.解EX = -0.2=(-1)2 0.6 + 12 0.4= 12DX = EX 2- (EX )2 = 1 - 0.04 = 0.96V = Cov( X ,Y )DXEY = -0.5Cov( X ,Y )DY= (-2)2 0.4 +12 0.3 = 1.9EY 2= 0.96DY = EY 2 - (EY )2 = 1.9 - 0.25 = 1.651.65XY-201-1 10.300.120.180.100.180.120.60.40.40.30.3EX例 已知随量X与 Y 的联合分布为求(X,

8、Y)的协方差矩阵.解EX = -0.2EY = -0.5E( XY ) = 2 0.3 -1 0.18 -2 0.1+1 0.12 = 0.34cov( X ,Y ) = E( XY ) - E( X )E(Y ) = 0.34 - 0.1 = 0.24Cov( X ,Y ) = 0.96V = 0.24DXCov( X ,Y )0.241.65 DYXY-201-1 10.300.120.180.100.180.120.60.40.40.30.3量 X U 0,2, Y =例 设随协方差矩阵.求X与Y 的X- 11,0 x 2其它12解 X f ( x) = 2 0,120(b - a)21

9、34EX = 1,DX =12+12x - 1 1 dx2=EY = E=x - 1X - 1f ( x)dx2-012121 212x - 1 dx =+ ( x- 1)dx =(1 -x)dx02 0113Cov( X ,Y )DX= V = Cov( X ,Y )DY量X U 0,2,Y =例 设随协方差矩阵.X - 1 , 求X与Y的1,0 x 2其它12解 Xf ( x) = 2 0,20(b - a)2411=123DX =EY =21,EX12+1 dx22X - 1=EY 2= E=( x - 1)2( x - 1)2f ( x)dx2-0= 1( x - 1)32 = 111

10、112( x - 1)2 dxDY =-=3412=2,30230 1Cov( X ,Y )DX= 3V = 1Cov( X ,Y )DY12量 X U 0,2, Y =例 设随求X与Y 的X- 1协方差矩阵. 1,120 x 2其它解 X f ( x) = 2 0,120EY = 1EX = 1,2+E( XY ) = E (X)=- 1- 1Xxxf ( x)dx-11x ( x - 1)dx = 11x (1 - x)dx +22=x x - 1=dx022201cov( X ,Y ) = E( XY ) - E( X )E(Y ) = 1 - 1 = 022 1Cov( X ,Y )D

11、X0 1 12V = Cov( X ,Y )= 3DY 0三、相关系数定义3.10设(X,Y)是二维随机向量, X 和Y 的方差都存在, 并且均不为零，称cov( X ,Y )r=XYDXDY为X与Y之间的相关系数.量X和Y的相关系数r XY= rYX存在，则有定理设随r XYr XY(1)(2) 1, 即cov( X ,Y ) DXDYr XY 1(2)例 设随量X与Y之间有关系：Y = a X + b求r XY其中a 0,a ,b为常数.解cov( X ,Y ) =cov (X , aX + b)= cov( X , aX) +cov( X , b)= cov( X , aX )= aco

12、v( X , X )= aDXDY = D (a X + b) = D(a X ) = a2 D( X )cov( X ,Y ) =aaDX= 1XYDXDYaDXa2D X当随量X与Y之间有线性关系 Y = a X + b 时,r XY 的绝对值达到最大.r XY= 1r XY= -1且当a 0时, r XY= 1;当a 0 时,定理3.7设(X,Y)是二维随机向量,DX , DY都存在,且为正, 则= 1XY( a 0 ), 使得 P Y = a X + b= 1存在常数 a, b= -1当a 时0 ,= 1;XYXY已知r.v.X的期望 EX = ,方差 DX = 2 ,例求 X 与Y

13、的协方差矩阵.Y = 3 - 4 X ,DY = D (3 - 4X )= D(-4 X )= 16D( X )= 162解= -1X YCov( X ,Y ) =XY= (-1) 4 = -42DXDYCov( X ,Y )-42162 2DXV= = Cov( X ,Y )-42DYcov( X ,Y )=XYDXDY= 1XY使得P Y = a X + b= 1存在常数 a, b ( a 0 ),= -1当a 时0 ,= 1;XYXY定义 如果P Y = a X + b= 1, 其中a 0, a, b 为常数, 称X与Y之间存在线性函数关系.X与Y之间存在线性函数关系.= 1XY量X与Y

14、不相关.如果 XY则称随= 0,此时X与Y之间不存在线性函数关系.当 DX , DY都存在, 且为正时,= 0EYX与Y不相关cov( X ,Y ) = 0D( X Y ) = DX + DYXYE( XY ) = EXX与Y不相关X与Y独立X与Y独立, 指X与Y之间没有任何关系;X与Y不相关,指X与Y之间没有线性关系.cov( X ,Y ) = E( XY ) - EXEYcov( X ,Y )=XYDXDYD( X Y ) =DX + DY 2cov( X ,Y )Z U 0,2,例已知随量X = sin Z,Y = cos Z,求X与Y的相关系数.1 1 2p,0 z 2其它sin z

15、f (z)dz解 Z f (z) = 22p00 1 dz+()2=EX =E1sin Zsin z 2-0=2 = 0(-co s z)02cov( X ,Y )cov( X ,Y ) = E( XY ) - EXEY=XYDXDYZ U 0,2,例已知随量X = sin Z,Y = cos Z,求X与Y的相关系数.1 1 2p,0 z 2其它解 Z f (z) = 22p00,EX = 0 1 dz()=20+2=EYEcos zcos Z=f (z)dzcos z 2-01= 0(sin z)2cov( X ,Y )=cov( X ,Y ) = E( XY ) - EXEYXYDXDYZ

16、 U 0,2,例已知随量X = sin Z,Y = cos Z,求X与Y的相关系数.1 1 2p,0 z 2其它解 Z f (z) = 22p00,EY = 0EX = 0,+( sin Z cos Z)E( XY ) =Esin z cos z f (z)dz- 1 12= 1 - cos 2z 2= 0sin 2z222=dz =sin z cos z02dz4 020cov( X ,Y )cov( X ,Y ) = E( XY ) -EXEY = 0=XYDXDYZ U 0,2,例已知随量X = sin Z,Y = cos Z,求X与Y的相关系数.1 1 2p0 z 2其它解 Z f (

17、z) = 22p00EY = 0cov( X ,Y ) = E( XY ) - EXEX = 0,EY = 0DX = E ( X 2 ) - (EX )2= E ( X 2 )= E (sin2Z )z 1 dz 0,+2=同理,22DY 0.f (z)dzsinz-sin20cov( X ,Y )X与Y不相关,X与Y之间不存在线性关系.= 0=XYDXDY但X与Y之间有关系:X 2X与Y不相互独立.+ Y 2 = 1,二维正态分布22( X ,Y ) N ( , , ),1212()()可以证明，21 , 22X NY N, 12= 其中的参数即为X与Y的相关系数.XYCov( X ,Y

18、) = XY(X,Y)的协差矩阵为= 12DXDY1 2 2Cov( X ,Y )DX1V= 2 Cov( X ,Y )DY212cov( X ,Y )= = XYDXDY一般地，X与Y独立= 0XYX与Y不相关但若( X ,Y ) 服从二维正态分布, 则X与Y独立X与Y不相关即r = 0事实上，若X与Y不相关, 则 rXY= 0+ ()2 -1()2-2 x-m1s1y- 2 2y-m2o 2x- m1s 12(1- r 2 )1e( x, y) =2ps s1 - r212()2 () -1 2y- m2o 2+- x1e121221= j( x)j( y).XY故X与Y独立.( x-m1 )1e -2s 212p s12( y-m2 ) 21e -2s 222ps2D(l1 X + l2Y ) = D(l1 X ) + D(l2Y )+2cov(l1 X , l2Y)+2ll= lD( X ) +lD(Y )22cov( X ,Y )121推广：2D(l1 X1 + l2 X 2 + . + ln