第三章 离散傅里叶变换.ppt

1、第三章 离散傅里叶变换DFT,主要内容,离散傅里叶级数（DFS） 离散傅里叶变换（DFT） 抽样z变换频域抽样理论,本章作业,1 求DFS系数 3 周期卷积 4 周期延拓及圆周移位 8 线性卷积与圆周卷积 11，12 14 频率分辨力 21 ，22,3.1 引言,傅里叶变换的几种形式：,连续时间、连续频率傅里叶变换,连续时间、离散频率傅里叶级数,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,离散时间、离散频率离散傅里叶级数/变换,FT,3.2 傅里叶变换的几种可能形式,连续非周期信号xa(t) 连续非周期频谱函数Xa(j),FS,时域周期化，频域离散化,时域离散化，频域周期化。,DTFT,但是，前三种傅

2、里叶变换对都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。 我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况。,DFT(DFS),其中：,若时域离散并周期化，频域周期化并离散化。,四种傅里叶变换形式的归纳,3.3 离散傅里叶级数DFS ( Discrete Fourier Series ),连续周期信号:,周期序列,周期为N的周期性序列的傅里叶变换,周期性序列 （周期为N）的傅里叶变换是一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于 乘以2/N ，而 是x(n) 的一个周期的傅里叶变换X(ejw)在频域中w= 2p/N的整数倍的各抽样点上的抽样值。,e满足0e 2p/N,从w=0之前

3、开始抽样； 在w=2p之前结束抽样； 此区间共有N个抽样值： 0kN-1,周期序列的DFS正变换和反变换：,其中：,DFS的图示说明,17,的一些性质（,）,1周期性：,2可约性：,，如,4正交性（任意两个函数作内积，相同的不为零，不相同为零）,3共轭对称性：,为任意整数,18,5常用值,;,19,举例:,已知,反过来，从,解：,，求,，求,解：,图见下一页,20,时域冲激序列信号,频域全频信号,反之：时域直流信号，频域零频信号,可看作是对 的一个周期 做z变换然后将z变换在z平面单位圆上按等间隔角 抽样得到,例：周期序列 展开为DFS，求其系数。,解：,由定义式直接计算，得,3.4 离散傅里

4、叶级数的性质,1、线性：,其中， 为任意常数,若,则,2、周期序列的移位,3、调制特性,4、对偶性,证：,5、周期卷积和,若,则,讨论: 周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和只在一周期内进行。(注意周期信号的线性卷积不存在),式中的卷积称为周期卷积,同样，利用对称性,若,则,3.5 离散傅里叶变换有限长序列的离散频域表示,在进行DFS分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列 周期序列实际上只有有限个序列值有意义 长度为N的有限长序列可以看成周期为N的周期序列的一个周期（主值序列） 借助DFS变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换DFT，即有限长序列的离散傅里叶变换,另外一种

5、写法是,其中 表示对 n 取模N 运算(或模 N的余数)。,对周期信号而言, 或 。,举例：设周期为 N=6。则有周期序列和求余运算： 或 这是因为： (19=36+1) 同理 或 这是因为： (-2=-16+4),同样：X(k)也是一个N点的有限长序列,40,思考：,？,41,Example,=,42,结论：,（1）,是无混叠的以N为周期的序列,（2）当N大于等于有限长序列的长度时，两者,以N为周期，周期化序列,与,自变量运算后得到的周期序列,而,即,等价,有限长序列的DFT定义式,关于离散傅里叶变换(DFT)：,序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、

6、有限长的(长度也为N)。 n为时域变量，k为频域变量。 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。,x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样； x(n)的DTFT在区间0,2上的N点等间隔抽样。,例1、计算 (N=12)的N点DFT. 解：,N=4点的DFT？,51,例3：,（2）,对 作N点DFT，N为任意值。,（1）,对 作N点DFT。,52,，,是,间采样点数为N。,的频率采样，在,（3）,，,53,3

7、.6 离散傅里叶变换的性质,1、线性,这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且,若,则,有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。 时域序列的调制等效于频域的圆周移位,2、圆周移位,时域圆周移位,频域圆周移位,其中 ；同理可证另一公式。,证：,从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出： 当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本 好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来 因此取名“循环移位”。显然，循环移位不同于线性移位,若,则,证：,3、对偶性,4、圆周共轭对称性,其中：,共轭反对称分量：,共轭对称分

8、量：,任意周期序列：,定义：,则任意有限长序列：,圆周共轭反对称序列：,圆周共轭对称序列：,61,举例说明圆周共轭对称性：,62,设N点复数序列,证明：,则,DFT的一些对称性质：,同理可证明：,同理可证明,例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:,五、Parseval Theory,若令 y(n) = x(n),表明序列时域、频域能量相等,六、圆周卷积和,圆周卷积A：设,则,实际上，圆周卷积为周期卷积的主值序列。即,圆周卷积B：设,圆周卷积记为,N,N,圆周卷积过程： 1）补零，补至长度为N 2）周期延拓，翻褶，取主值序列 3）圆周移位

9、4）相乘 5）相加,两个N点序列的N点圆周卷积得到的结果仍为N点序列。,m N-m 1 N-1 2 N-2 N-3 ,讨论1:圆周卷积的物理意义图示说明,讨论2:圆周卷积与线性卷积：,1) 设,有限长(N点),有限长(M点),则线性卷积,有限长(N+M-1),2) 而作长度为L的圆周卷积，即,(周期卷积),其中,L,则,(补零),存在交叠现象,这就是利用DFT计算线性卷积的方法和要求，即可以选择长度大于等于线性卷积的两序列长度之和的DFT运算计算线性卷积。,讨论3:周期卷积、圆周卷积与线性卷积, 周期卷积与圆周卷积的差别在于：周期卷积是线性卷积的周期延拓；而圆周卷积是取周期卷积的主值序列。 作

10、圆周卷积 时，应先将两者“补零”至长度为L点的序列后进行圆周卷积。而周期卷积是指两者皆为长度为L点的周期序列(即周期延拓)的。 线性卷积的DFT计算方法要求DFT点数 L=N+M+1。, 物理意义不同，周期卷积是周期信号运算与DFS系数运算的关系；圆周卷积是有限序列运算与DFT变换结果运算的关系。,七、线性相关与圆周相关,线性相关：,自相关函数：,相关函数不满足交换率：,相关函数的z变换：,相关函数的频谱：,圆周相关定理,3.7抽样Z变换频域抽样理论,周期性序列 的傅里叶级数的系数 是 的一个周期x(n)的Z变换X(Z)在单位圆上等间隔采样N点得到。,频域的抽样必定造成时域的周期延拓。,所以周

11、期序列 的反变换,频域抽样定理： 对于M点的有限长序列，频域抽样不失真的条件是频域抽样点数N=M。,3.7抽样Z变换频域抽样理论,(3-105),83,三、由,表示,频率内插,插值函数,，,（3110）,见P129 图（316）,85,3.8 利用DFT计算模拟信号的傅立叶变换（级数）对,一、CTFT的DFT逼近,连续时间非周期信号的傅立叶变换,用DFT计算上述变换的方法：,DTFT的抽样值,有,、,和,后，通过内插得到,。,86,二、对连续时间周期信号的DFS逼近,用DFS求,、,三、图示CTFT的DFT逼近 P133 图3-17 ,第一步：时域抽样成x(n),第二步：时域截断长有限长序列x

12、(n)d(n),第三步：频域抽样,频域混叠失真,频谱泄露,时域混叠失真,四、用DFT计算连续时间信号可能出现的几个问题 1.混叠失真 原因：当时域抽样频率不够高时，出现混叠。 减少措施：提高抽样率。,相应地，,记录长度,，,抽样间隔、分辨力,（分辨力,），N不变,产生混叠 ，故,，,变小,达到,，,90,2.频谱泄漏截断效应 泄漏指：频谱的“扩散”（拖尾、变宽）在不该产生频谱分量的地方产生频谱分量。 原因：实际信号不可能无穷长，故用加窗的方法截断它，但带来频谱泄漏。 减小措施： （1）加长窗宽（使主瓣变窄），但会增加运算存储量。 （2）采用旁瓣电平低的窗函数，但因能量守恒，旁瓣电平低，主瓣势必变宽。 因此（1）、（2）要折中。,91,3 .栅栏效应 原因：频谱抽样 如5点矩形序列图 若如此抽样，会使旁瓣电平最高点（或者说大的谱线）看不到。