正弦定理和余弦定理的应用.ppt

1、正弦定理和余弦定理的应用,解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。 在这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。正弦定理和余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学，运动学，力学，电学等诸多领域有着广泛的应用。,测量问题,E.g.1:为了测量河对岸A,B两点之间的距离， 在河岸这边取点C,D，测得ADC=850， BDC=600, ACD=470, BCD=720,CD =

2、100m,设A,B,C,D在同一平面内，试求A,B 之间的距离。（精确到1m）,A,B,C,D,E.g.2:如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 和 ，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。,想一想,图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？,分析：如图，因为AB=AA1+A1B又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 解：,答：烟囱的高为 29.9m.,A,B,C,A,B,C,b,a,a,A,B,C,D,a,A,B,C,a,A,B,C,D,a,A,B,C,D,a,1,1,2,1,2,3,4,1

3、,1,2,1,2,3,运动学（如航海问题）,E.g.3:（2003年全国高考试题） 在某海滨城市附近海面有一台风。据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南 ( =arccos )方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45o方向移动。台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大。问几小时后该城市开始受到台风侵袭？,450,P,O,解：设在时刻t小时台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km),若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则： OQ10t+60 在OPQ中由余弦定理知 OQ2=PQ2+PO22.PQ.PO.cosOPQ

4、PO=300, PQ=20t, cosOPQ=cos( 450) =cos cos 450+sin sin450 =4/5 OQ2=(20t)2+3002 2.20t.300.4/5 400t2-9600t+3002(10t+60)2,450,P,Q,O,t2-36t+2880 12t24 答：12小时后该城市开始受到台风侵袭。,1、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。 2.在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：,课堂小结,数学模型,实际问题,数学模型的解,实际问题的解,综合应用：,E.g.4:如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2,B为半圆上任意一点，以AB为一边做等边三角形ABC。问点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？