近世代数课件--群的概念.ppt

1、2020/10/9,数学与计算科学学院,1.2 群的概念,群的定义 群的性质 群的判别,2020/10/9,数学与计算科学学院,一群的定义,定义1.2.1设 是一个非空集合, 若对 中任意,两个元素 通过某个法则“ ”，有 中惟一确定的,算（algebraic operation）元素 是 通过运,算“ ”作用的结果, 我们将此结果记为,2020/10/9,数学与计算科学学院,例有理数的加法、减法和乘法都是有理数集,Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算如果只考,虑所有非零有理数的集合Q*, 则除法是Q*上的代数运,算.,剩余类集对 ，规定,例 设 为大于1的正整数， 为 的模,2020/10

2、/9,数学与计算科学学院,证我们只要证明, 上面规定的运算与剩余类,的代表元的选取无关即可设,则,于是,从而,则“”与“ ”都是 上的代数运算,2020/10/9,数学与计算科学学院,所以+与 都是 上的代数运算.,2020/10/9,数学与计算科学学院,一个代数运算，即对所有的 有 如,果 的运算还满足,(G1) 结合律，即对所有的 有；,(G2) 中有元素 ，使对每个 ，有,定义1.2.2设 是一个非空集合，“ ”是 上的,(G3) 对 中每个元素 ，存在元素 ，使,2020/10/9,数学与计算科学学院,在不致引起混淆的情况下, 也 称为群,（unit element）或恒等元（iden

3、tity）；,注1(G2)中的元素 称为群 的单位元,(G3)中的元素 称为 的逆元（inverse）,则称 关于运算“ ”构成一个群（group），记作,我们将证明：群 的单位元 和每个元素的逆元,都是惟一的 中元素 的惟一的逆元通常记作 ,2020/10/9,数学与计算科学学院,（commutative group）或阿贝尔群（abelian group),，有 ，则称 是一个交换群,3群 中元素的个数称为群 的阶（order），,2如果群 的运算还满足交换律，即对任意的,（finite group），否则称 为无限群（infinite group).,2020/10/9,数学与计算科学学

4、院,所以结合律成立.,另一方面 ，且 有,2020/10/9,数学与计算科学学院,又对每个 有,从而 关于“”构成群，显然这是一个交换群,所以0为 的单位元.,所以 是 的逆元.,注1当群的运算用加号 “”表示时，通常,将 的单位元记作0，并称0为 的零元；将,的逆元记作 , 并称 为 的负元,2020/10/9,数学与计算科学学院,2习惯上，只有当群为交换群时，才用“”,来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的,结果叫做和，同时称这样的群为加群相应地, 将,不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，,运算的结果叫做积在运算过程中，乘群的运算符号,通常省略不写今后，如不作特别声明，我

5、们总假定,群的运算是乘法当然, 所有关于乘群的结论对加群,也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）,2020/10/9,数学与计算科学学院,例全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法,构成交换群, 这个群的单位元是数1，非零有理数,的逆元是 的倒数 同理，全体非零实数的,集R*、全体非零复数的集合 关于数的乘法也,构成交换群,2020/10/9,数学与计算科学学院,例实数域R上全体 阶方阵的集合 ，,关于矩阵的加法构成一个交换群全体 阶可逆,方阵的集合 关于矩阵的乘法构成群，,群中的单位元是单位矩阵 ，可逆方阵,的逆元是 的逆矩阵,当 时， 是一个非交换群,例集合 关于数的乘法构成交换群,

6、2020/10/9,数学与计算科学学院,关于数的乘法构成一个 阶交换群,证(1) 对任意的 ，因为 ,所以,例全体 次单位根组成的集合,因此 于是“ ”是 的代数运算,2020/10/9,数学与计算科学学院,(3) 由于 ，且对任意的 ，,所以1为 的单位元,(4) 对任意的 ，有 ，且,所以 有逆元 ,的乘法也满足交换律和结合律,(2) 因为数的乘法满足交换律和结合律，所以,2020/10/9,数学与计算科学学院,因此 关于数的乘法构成一个群通常称这个群为,次单位根群，显然 是一个具有 个元素的交换群,2020/10/9,数学与计算科学学院,例设 是大于1的正整数，则 关于剩余,类的加法构成

7、加群.这个群称为 的模 剩余类加群,(2) 对任意的 ，,所以结合律成立,2020/10/9,数学与计算科学学院,(3) 对任意的 ,所以交换律成立,(4) 对任意的 ，,且,所以0为 的零元,2020/10/9,数学与计算科学学院,(5) 对任意的 ,且,所以 为 的负元,从而知， 关于剩余类的加法构成加群,2020/10/9,数学与计算科学学院,例设 是大于1的正整数，记,则 关于剩余类的乘法构成群,证(1) 对任意的 ，有,于是 ，从而 ,(2) 对任意的,所以剩余类的乘法“ ”是 的代数运算,2020/10/9,数学与计算科学学院,所以结合律成立.,(3) 因为 ，从而 ，且对任意的,

8、且,所以1是 的单位元,2020/10/9,数学与计算科学学院,(4) 对任意的 ，有 ，,由整数的性质可知，存在 ，使,所以 ，且,显然,所以 为 的逆元,2020/10/9,数学与计算科学学院,这就证明了 关于剩余类的乘法构成群,注(1) 群 称为 的模 单位群，显,然这是一个交换群当 为素数时， 常记作 .,易知，,(2) 由初等数论可知（参见1）， 的阶等于 ,这里 是欧拉函数如果,其中 为的 不同素因子，那么,2020/10/9,数学与计算科学学院,2020/10/9,数学与计算科学学院,例10具体写出 中任意两个个元素的乘积以,及每一个元素的逆元素易知,直接计算，可得,表1.2.1

9、,2020/10/9,数学与计算科学学院,由表中很容易看出,注观察表1.2.1，我们发现可以把表1.2.1表,示为更加简单的形式（见表1.2.2）,表1.2.2,2020/10/9,数学与计算科学学院,形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表,（multiplication table），也称群表（group table）,或凯莱表（Cayley table）人们常用群表来表述,有限群的运算如下表所示：,2020/10/9,数学与计算科学学院,在一个群表中, 表的左上角列出了群的运算符号,（有时省略），表的最上面一行则依次列出群的,所有元素（通常单位元列在最前面），表的最左,列按同样的次序列出群

10、的所有元素表中的其余,部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘,积注意，在乘积 中，左边的因子 总是,左列上的元素, 右边的因子 总是最上面一行的,元素由群表很容易确定一个元素的逆元素,2020/10/9,数学与计算科学学院,又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个,群一定是交换群,2020/10/9,数学与计算科学学院,二群的性质,定理1.2.1设 为群，则有,(1) 群 的单位元是惟一的；,(2) 群 的每个元素的逆元是惟一的；,(3) 对任意的 ，有 ；,(4) 对任意的 ，有 ；,(5) 在群中消去律成立，即设 ，,如果 ，或 ，则 ,2020/10/9,数学与计算科学学院,证(

11、1) 如果 都是 的单位元，则,（因为 是 的单位元），,因此,所以单位元是惟一的,(2) 设 都是 的逆元，则,（因为 是 的单位元），,2020/10/9,数学与计算科学学院,于是,所以 的逆元是惟一的,(3) 因为 是 的逆元，所以,从而由逆元的定义知， 是 的逆元又由逆元的,惟一性得,(4) 直接计算可得,2020/10/9,数学与计算科学学院,及,从而由逆元的惟一性得,(5) 如果 ，则,同理可证另一消去律,2020/10/9,数学与计算科学学院,定理1.2.2设 是群，那么对任意的 ，,证取 ，则,所以方程 有解,又如 为方程 的任一解，即 则,这就证明了惟一性,2020/10/9

12、,数学与计算科学学院,同理可证另一方程也有惟一解,2020/10/9,数学与计算科学学院,指数与指数法则,积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成,群的定义中的结合律表明，群中 三个元素的乘,进一步可知，在群 中，任意 个元素,的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成 .,据此, 我们可以定义群的元素的方幂,对任意的正整数 ，定义,2020/10/9,数学与计算科学学院,再约定,（ 为正整数）,则 对任意整数都有意义，并且不难证明：,对任意的 有下列的指数法则,(1) ；,(2),(3) 如果 是交换群，则,（如果 不是交换群，一般不成立）,2020/10/9,数学与计算科学学院,当 是加群时, 元

13、素的方幂则应改写为倍数,相应地, 指数法则变为倍数法则：,(1),(2),(3),（因为加群是交换群，所以（3）对加群总是成立的）,2020/10/9,数学与计算科学学院,定理1.2.3设 是一个具有代数运算的非空,集合， 则 关于所给的运算构成群的充分必要条件是,三群的判别,(1) 的运算满足结合律；,(2) 中有一个元素 （称为 的左单位元）,使对,任意的 有,(3) 对 的每一个元素 ，存在 （称为 的,左逆元），使 这里 是 的左单位元,2020/10/9,数学与计算科学学院,证必要性由群的定义，这是显然的,充分性只需证: 是 的单位元,， 是 的,逆元即可,设 由条件(3)知，存在

14、使,而对于 也存在 使,于是,且,2020/10/9,数学与计算科学学院,进而由条件（1）知， 为群 ,由条件(2)及式(3)知，是 的单位元 是 的逆元，,2020/10/9,数学与计算科学学院,注这个定理说明，一个具有乘法运算的非空,集合 ，只要满足结合律，有左单位元，每个元素,有左逆元，就构成一个群,同理可证，一个具有乘法运算的非空集合 ，如,果满足结合律，有右单位元，且 中每个元素有,右逆元，则 构成群,2020/10/9,数学与计算科学学院,定理1.2.4设 是一个具有乘法运算且满足结,合律的非空集合，则 构成群的充分必要条件是：,对任意的 方程 及 在 中有解.,证必要性已证（见定理1.2.2）,充分性任取 ，由条件知， 有解，,设为 ，则 .又对任意的 ， 有解,设为,设为 于是,从而知 是 的左单位元,2020/10/9,数学与计算科学学院,其次，对每个 ， 有解，设为 .于是,从而知 有左逆元,于是由定理1.2.3知，构成群 ,2020/10/9,数学与计算科学学院,例11设 是一个具有乘法运算的非空有限集合，,如果 满足结合律，且两个消去律成立，则 是一,个群,对任意的 考察 与 ，如果,证设,