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文档简介

1、第 2 章 行列式,习 题 课,一、主要内容,二、典型例题,三、练习题,一、主要内容,定义 定义n阶矩阵A的行列式,1、n阶行列式的定义,性质1 行列式按任一行展开，其值相等，即,2、n阶行列式的性质,性质2 n阶行列式某两行对应元全相等，则行列式为零. 即当 aik = ajk ， ij, k=1, n时，det A = 0.,推论 若行列式的某一行全为零，则行列式等于零.,性质3,性质4（行列式的初等变换）若把行初等变换施,(1) 将A的某一行乘以数k得到A1，则 detA1 = k(detA)； (2) 将A的某一行的k(0)倍加到另一行得到A2 ,则 detA2 = detA； (3)

2、 交换A的两行得到A3, 则 detA3 = - detA.,于n阶矩阵A上：,推论 若行列式某两行对应元成比例，则行列式的值,为零.,性质5 设A为n阶矩阵，则,方阵乘积的行列式,定理1 方阵A可逆的充要条件为det A0.,定理2 设A, B为n阶方阵，则,推论1 设Ai (i=1, , t)为n阶矩阵，则,推论2 设A, B为n阶矩阵，且AB=I (或BA=I), 则B=A -1.,行列式性质小结：,二、三类初等变换 ：,1.换行反号 ,2.倍乘 ,3.倍加 .,三、三种为零 ：,1.有一行全为零 ,3.有两行成比例 .,2.有两行相同 ,四、 一种分解 .,五、,一、按行展开 ：,3、

3、克莱姆法则,克莱姆法则的理论价值,定理,定理,定理,定理,逆矩阵的一个简明表达式,引理1 设A=(aij)n,n，则,引理2 设A为n阶矩阵，则,定理 1 方阵A可逆的充要条件为|A|0。当A可,逆时,则,4、矩阵的秩,矩阵A中非零子式的最高阶数r，称为A的秩,定义,秩，记为R(A) = r.,矩阵的秩的另一种理解：,求矩阵秩的方法,将矩阵作初等行变换，,把矩阵化为阶梯形矩阵，,阶梯形矩阵的非0行的行数即为矩阵的秩,基本结论与性质,1. R(A)=0 A=O；,2. R(A) r A有一个r 阶子式不为零；,3. R(A) r A的所有r +1阶子式全为零。,(满秩矩阵可逆矩阵 降秩矩阵不可逆矩阵),定理1 初等变换不改变矩阵的秩。,推论,对任意矩阵A,R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，,其中P, Q分别为可逆矩阵.,定理2,有关矩阵秩的定理,推论 同型矩阵A与B等价的充要条件是R(A)=R(B).,(一)计算（证明）行列式,(二)克莱姆法则,二、典型例题,(三)矩阵秩,1利用范德蒙行列式计算,例 计算,(一)计算（证明）行列式,解,2用降阶法计算,例 计算,解,3用数学归纳法,例 证明,证,例,解,分析：,设对B只作行变换，化成了阶梯形矩阵,则对A作同样的行变换，就化成了阶梯形矩阵,解,例,例,解,（1）根据分块矩阵的乘法，得,（2）由（1）

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