高二数学三垂线定理.ppt

1、三垂线定理,复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？,PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面 的垂线, A为垂足;,AO 是PO在平面内的射 影.,三垂线定理,探究问题1：已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a ，若aAO。 则得到a与那些直线垂直。,三垂线定理探究,探究问题2：如何证明你的结论,探究问题3：用文字语言叙述上述结论,证明过程分析：,aPO,PA a ,AOa,a平面PAO,PO平面PAO,PA a,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,结论汇总1：,板书证明过程,直线a 在一定要在平面内，

2、如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。,例如：当 b 时， bOA,如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？,但 b不垂直于OP,思考?,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。,说明：,三垂线定理,结论汇总2：三垂线定理基本图形的特点分析,1:一面,2:四线,3:三垂直,线面垂直,线射垂直,线斜垂直,探究问题4：三垂线定理的图形有哪些特点？ （构成元素、三垂的解释）,例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA平面ABC ，AC BC，

3、 求证： PC BC,证明： P 是平面ABC 外一点 PA平面ABC AC是斜线PC在平面ABC上 的射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC,结论应用：,例2(1) PA正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形 O为BD的中点, AOBD,又AO是PO在ABCD上的射影,POBD,1、三垂线定理解题的关键：定面、找线！,怎么找？,运用三垂线定理证明的一般步骤：,二找（ 找平面的垂线、斜线及其射影）,三证（证平面内一直线与斜线垂直）,一定（定平面）,例题汇总,课后小结,例3 已知：PA平面PBC，PB=PC，

4、M是BC的中点， 求证：BCAM,BCAM,证明:, PB=PC M是BC的中点,PM BC,PA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,再次演练：,分析：按步骤、找三垂,例4： 在正方体AC1中， 求证：A1CBC1 ， A1CB1D1,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证， A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,课堂小结： 1、记住小组讨论的结果：三垂线定理、及证明（线线垂直线面垂直线线垂直）. 2、三垂线定理的特征（特点）：

5、一面四线三垂直. 3、三垂线定理解题的三个步骤：一定平面、二找直线、三证垂直.,下节课内容,4、使用三垂线定理还应注意的问题： 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：相交直线、异面直线,三、巩固性练习： 1、（1）下列命题中正确的是 ( ) 两条异面直线在同一平面内的射影必相交 与一条直线成等角的两条直线必平行 与一条直线都垂直的两直线必平行 同时平行于一个平面的两直线必平行 （A）、；（B）、；（C）、；（D）以上都不对,3、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（ ） （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形

6、 （C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形,2、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ ） （A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定,D,D,C,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO 求证：a AO,三垂线定理的逆定理,证明:,例4:求证: 如果一个角所在平面外一点

7、到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上,若COA= COB,若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上,结论：,过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等, 则这条射线在平面内的射影是角平分线,C,A,O,B,则CO在平面AOB内的射影 为角AOB的平分线,练习题：正方体ABCD-ABCD E,F分别是AA,AB上的点, ECEF，求证:EFEB,证明:ABCD-ABCD是正方体 BC 平面ABBA, EB是斜线EC在平面ABBA上的射影.,ECEF且EF在平面ABBA内,EFEB,例3:在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD 求证

8、：ADBC,DOBC，于是ADBC.,证明：作AO平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。,O,ABCD，BOCD，,同理COBD，,于是O是BCD的垂心，,思考题：（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。,（3）在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。,（4）在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A 在底面BCD上的射影是底面BCD 的 心。,垂,外,内,（2）在四面体ABCD中，AB、互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心,垂,三垂线定理总结,（1）定理涉及到的五个元素是,（2）三垂线定理（或逆定理），实质上是平面的一条斜线（或其射影）和平面内的一条直线垂直的判定定理，这两条 直线可以是相交直线，也可以是异面直线,（3）定理的证明思路是：,线线垂直,线面垂直,线线垂直,“一面四线”,（4）三垂线定理是研究空间线面位置关系的关键性定理， 承上启下，涉及与“垂直”有关的几乎所有领域,3、三垂线定理及其逆定理的比较,相同点,(1) 结构相同，都是由线线垂直推证线线垂直；,(2) 证明方法相同，都采用了线面垂直法.,不同点,(1) 用途不同，原定理用来证