【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 2.2函数的单调性与最值配套课件 文 新人教A版

1、第二节 函数的单调性与最值,三年11考 高考指数: 1.理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性； 2.理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求函数的最大（小）值； 3.会运用函数图象理解和讨论函数的性质.,1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较函数值大小，解或证明不等式是高考的热点及重点. 2.常与函数的图象及其他性质交汇命题. 3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.,1.增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI,如果对于任意x1,x2D,且x1x2,则都有: (1)f(x)在区间D上是增函数_； (2)f(x)在

2、区间D上是减函数_.,f(x1）f(x2),f(x1)f(x2),【即时应用】 (1)判断下列函数是否是区间（0，2）上的递增函数.（请在括号中填“是”或“否”） y= ( )y=-x( ) y= ( )y=x2-4x+1( ) (2)已知函数f(x)为R上的减函数，若mn,则f(m)_f(n);若f(|x|)f(1),则实数x的取值范围是_. (3)若函数y=ax与y 在（0，+）上都是减函数，则y=ax2+bx在（0，+）上是_函数(填“增”或“减”）.,【解析】(1)函数在（0，2）上递减；在（0，2）上递增. (2)由减函数的定义知，若mf(n); 若f(|x|)1,得:x1或x-1.

3、 (3)由y=ax在（0，+）上是减函数，知a0； 由y 在（0，+）上是减函数，知b0,y=ax2+bx的对称轴x= 0， 又y=ax2+bx的开口向下, y=ax2+bx在（0，+）上是减函数 答案：(1)否 否 是 否 (2) x|x1或x-1 (3)减,2.单调性、单调区间 条件:函数y=f(x)在某个区间D上是_, 结论1：函数y=f(x)在这一区间上具有_. 结论2：这一区间D叫做函数y=f(x)的_.,增函数或减函数,严格的单调性,单调区间,【即时应用】 (1)函数的单调性反映在其函数图象上有何特征？ 提示:函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的. (2)函数y=

4、 的单调减区间为_. 【解析】画出函数y= 的图象可知，其单调减区间为（-,0), (0,+). 答案：(-,0)和(0,+),3.函数的最大值 (1)定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件: 对于任意xI，都有_; 存在x0I,使得_. 结论：M是函数y=f(x)的最大值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象_.,f(x)M,f(x0)=M,最高点的纵坐标,4.函数的最小值 （1）定义：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件： 对于任意xI，都有_ 存在x0I，使得_ 结论：M是函数y=f（x）的最小值. （2）几何意义：函数y=f（x）的最

5、小值是图象_ _ .,f（x）M,f（x0）=M,最低点的纵坐,标,【即时应用】 (1)函数y=f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的定义域是_；最大值是_；最小值是_.,(2)函数f(x)= 在2,4上的最小值是_；最大值是_. 【解析】（1）由图象可知，函数的定义域为-3,02,3，最大值为5，最小值为1. (2)因为f(x)= 在2,4上为单调增函数， 所以f(2)f(x)f(4), 所以f(x)max=f(4)= , f(x)min=f(2)= . 答案：(1)-3，02，3 5 1 (2),确定函数的单调性或单调区间 【方法点睛】 (1)能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为,

6、作图象,看升降,归纳单调性（区间）,(2)由基本初等函数通过加减运算或复合运算而成的函数，用转化法，其思维流程为 (3)能求导的用导数法，其思维流程为,(4)能作差变形的用定义法，其思维流程为 【提醒】确定函数的单调性（区间），一定要注意定义域优先原则.,取值,作差,变形,定号,单调性（区间）,【例1】(1)(2011江苏高考）函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是_. (2)判断函数y= 在（-1，+)上的单调性.,【解题指南】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间. (1)转化为基本初等函数的单调性去判断； (2)可用定义法或导数法. 【规范解答】(1)函数f(x)的定义域为（

7、 ，+)，令t=2x+1（t0), 因为y=log5t在t(0,+)上为增函数，t=2x+1在（ ，+)上为增函数， 所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为（ ,+). 答案：（ ，+),(2)方法一：定义法：设x1x2-1, 则y1-y2= x1x2-1,x2-x10,x2+10, 0, 即y1-y20,y1y2. y= 在(-1,+)上是减函数. 方法二：导数法：y=( )= , 在（-1，+)上，y0,故y= 在（-1,+)上为减函数.,【互动探究】若将本例(1)中函数变为f(x)=|x2-4x+3|,本例(2) 中函数变为f(x)= (a0)，区间变为（-1，1）.则结果

8、又如何？,【解析】(1)先作出函数y=x2-4x+3的图象，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数f(x)=|x2-4x+3|的图象.如图所示. 由图可知，函数的增区间为1,2,3,+).,(2)方法一：设x1,x2(-1,1),且x10, . 因此，当a0时，f(x2)-f(x1)0, 即f(x1)0时为减函数，当a0时为增函数.,方法二：因为f(x)= . 当a0时，f(x)0. 故f(x)在（-1,1)上,当a0时为减函数， 当a0时为增函数.,【反思感悟】判断（或证明）函数单调性（区间），一定要先确定定义域，然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解，并且结果一定要写成区间的形式

9、，当同增（减）区间不连续时，不能用并集符号连接.,【变式备选】已知函数f(x)对于任意x，yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x0时，f(x）0,f(1)= . (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在-3，3上的最大值和最小值,【解析】（1）方法一：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)+f(y)=f(x+y)， 令x=y=0，得f(0)=0再令y=-x，得f(-x)=-f（x）在R上任取x1x2，则x1-x20， f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2), 又x0时，f(x)0而x1-x20， f(x1-x2)0，即f(x1)f(x

10、2) 因此f(x)在R上是减函数,方法二：在R上任取x1，x2， 不妨设x1x2， 则f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2) 又x0时，f（x)0，而x1-x20， f(x1-x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数.,(2)f(x)在R上为减函数， f(x)在-3，3上也为减函数， f(x)在-3，3上的最大值为f(-3),最小值为f(3)， f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2， 0=f（0）=f(3-3)=f

11、(3)+f(-3), f(-3)=-f(3)=2, 因此，f(x)在-3，3上的最大值为2，最小值为-2.,应用函数的单调性 【方法点睛】 利用函数的单调性可求解的问题,【例2】（1）若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是_. （2） 已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在0,2上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.,【解题指南】（1）根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解. (2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在0,2上的单调性或-2,2上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.,【规

12、范解答】(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)0. 解得:m1. 所以m的取值范围为:(-,-2)(1,+). 答案：（-,-2)(1,+),(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称， 函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称， 又y=f(x-2)在0,2上单调递减, 函数y=f(x-2)在2,4上单调递增， 因此,y=f(x)在0,2上单调递增， 又f(-1)=f(1), 0f(-1)f(0).,方法二：由方法一可得函数y=f(x)在-2,2上图象的大致形状为 由图象知f(2)f(-1

13、)f(0).,【互动探究】若将本例（1）中条件变为:f(x)为0,4上的增函数，则m的取值范围如何？ 【解析】由题意知： 解得： 1m2.,【反思感悟】1.当已知函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x)f（h(x)）”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域. 2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.,【变式备选】已知函数f(x)对于任意a，bR,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x0时，f(x)1 (1

14、)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.,【解析】（1）设x1,x2R，且x1x2，则x2-x10， f(x2-x1)1 ， f(x2)-f(x1)=f(（x2-x1）+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10, f（x1）-f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x)在R上是增函数.,(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, f(2)=3, 不等式f(3m2-m-2)3即为 f(3m2-m-2)f(2). 又f(x)在R上是增函数， 3m2-m-22，解得-1m 因此不等式

15、的解集为m|-1m .,求函数的最值 【方法点睛】 求函数最值(值域)常用的方法及流程 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；,（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； （5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值,【例3】(1)(2012杭州模拟)若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值，则a的取值范围是( ) (A)0a1(B)0a2,且a1

16、 (C)1a2(D)a2 （2）已知函数f(x)= (a0,x0),则f(x)在 ,2上的最大值为_，最小值为_. (3)函数y= (x0）的最大值为_.,【解题指南】(1)利用换元法求解.(2)可用单调性法；(3)选用换元法，转化为二次函数求解最值. 【规范解答】(1)选C.t=x2-ax+1的图象开口向上， 有最小值. 又y=loga(x2-ax+1)有最小值, a1且x2-ax+10恒成立, 即=a2-40,-2a2, 综上可知:1a2.,(2)f(x)= 在 ,2上为减函数， f(x)min=f(2)= , f(x)max=f( )= . 答案： (3)令 =t(t0)， 则y=t-t

17、2 , 当t= 时，ymax= . 答案：,【互动探究】若将本例（3）中函数变为y= ,则y的最大值为多少？ 【解析】令 =t(t0), 则y=-8t2+6t-1=-8(t- )2+ , 当t= 时，ymax= .,【反思感悟】求函数的最值常结合解析式的特点而选取适当的方法. (1)单调性法：若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定，则该函数在这个区间上的最值一般在端点处取得； （2）基本不等式法：当函数的解析式是分式形式且分子分母不同次幂时可用此法； （3）导数法：当函数解析式较复杂时，可考虑用此法；,（4）数形结合法：所给函数易画出其图象时，可结合图象求最值； （5）对于一些根式、分式、高

18、次式等常先用换元法，转化为以上四种情况中的某种再求最值.,【变式备选】已知函数f(x)= ,x1,+)， （1）当a= 时，求函数f(x)的最小值； （2）若对任意x1,+)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围. 【解析】（1）当a= 时，f(x)=x+ +2. f(x)在区间1,+)上为增函数， f(x)在区间1,+)上的最小值为f(1)= .,（2）方法一：在区间1，+)上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立. 设y=x2+2x+a,x1,+). y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在1,+)上递增, 当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)

19、0恒成立，故a-3.,方法二：f(x)=x+ +2,x1,+)， 当a0时，函数f(x)的值恒为正； 当a0时，函数f(x)0恒成立，故a-3.,【易错误区】分段函数单调性的确定与应用中的误区 【典例】(2010江苏高考）已知函数f(x)= 则满足不等式f（1-x2）f(2x)的x的取值范围是_. 【解题指南】可结合函数f(x)= 的图象以及f(1-x2)f(2x)的条件，得出1-x2与2x之间的大小关系，进而求得x的取值范围. 也可分1-x20，1-x20讨论求解.,【规范解答】方法一：画出 f(x)= 的图象， 由图象可知， 若f（1-x2）f(2x)， 则 即 得x（-1， -1）.,方法二：当x=-1时，1-x2=0,则f(0)=1, f(-2)=1,无解; 当-10,f(1-x2