选修 不等式选讲.ppt

1、,热点考向1 绝对值不等式的求解 【例1】设函数f(x)=|x-2|+x. (1)求函数f(x)的值域； (2)若g(x)=|x+1|，求g(x)f(x)成立时x的取值范围. 【解题指导】(1)先去掉绝对值，将函数转化为分段函数的形式，然后求解；(2)可用零点分析法去掉绝对值，转化为分段函数求解.,【规范解答】(1)f(x)= 故f(x)的值域为2,+) (2)g(x)0, 当x-1时，-(x-2)+(x+1)+x0, x-3, -3x-1.,当-10, x0, x3, 综上,x(-3,1)(3,+).,绝对值不等式的分类型求解方法： (1)|ax+b|c，|ax+b|c型不等式的解法 c0，

2、则|ax+b|c可转化为-cax+bc,|ax+b|c可转化为ax+bc或ax+b-c，然后根据a,b的取值求解即可. c0，则|ax+b|c可转化为，|ax+b|c的解集为R. c=0,则|ax+b|0可转化为ax+b=0,然后根据a,b的取值求解即可；|ax+b|0的解集为R.,(2)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c型不等式的解法 解决此类含绝对值的不等式的一般步骤为： 令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根. 把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间. 在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集. 这些解集的并集就是原

3、不等式的解集.,(1)已知|2x-3|1的解集为m,n.求m+n的值； (2)若函数f(x)=2|x+7|-|3x-4|的最小值为2，求自变量x的取值范围. 【解析】(1)由不等式|2x-3|1可化为-12x-31，得1x2. m=1,n=2,m+n=3.,(2)依题意，2|x+7|-|3x-4|2,|x+7|-|3x-4|1, 当x 时，不等式化为x+7-(3x-4)1， 解得x5,即 x5, 当-7x 时，不等式化为x+7+(3x-4)1， 解得x ,即 x ； 当x-7时，不等式化为-x-7+(3x-4)1， 解得x6，与x-7矛盾. 自变量x的取值范围为 x5.,热点考向2 与绝对值不

4、等式有关的参数范围问题 【例2】(2011福州模拟)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若a=-1,解不等式f(x)3； (2)如果关于x的不等式f(x)2有解,求a的取值范围. 【解题指导】(1)a=-1时，f(x)=|x-1|+|x+1|，用零点分析法解不等式；(2)可利用绝对值的几何意义求出f(x)的最小值，然后求a的范围.,【规范解答】(1)当a=-1时，f(x)=|x-1|+|x+1|. 由f(x)3，得|x-1|+|x+1|3. 当x-1时，不等式化为1-x-1-x3, 即x . 所以，原不等式的解集为x . 当-1x1时，不等式化为1-x+1+x3, 即23. 所以，

5、原不等式无解.,当x1时，不等式化为-1+x+1+x3, 即x 所以，原不等式的解集为x 综上，原不等式的解集为 (2)因为关于x的不等式f(x)2有解， 所以，f(x)min2. 因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a两点的距离之和，,所以，f(x)min=|a-1|. |a-1|2, 解得，-1a3. 所以，a的取值范围为-1,3.,解决含参数的绝对值不等式问题，常有以下两种方法： (1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决； (2)借助于绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围.,解绝对值不等式时要综合考虑,选择最简捷的解法

6、,“绝对值的几何意义”往往是首选方法.,设f(x)=ln(|x-1|+m|x-2|-3)(mR) (1)当m=1时，求函数f(x)的定义域； (2)若当1x 时，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围 【解析】(1)当m=1时，|x-1|+|x-2|-30，等价于 或 或 解得x3， 故函数f(x)的定义域是x|x3,(2)当1x 时，f(x)=lnx-4+m(2-x)， f(x)0恒成立等价于 x-4+m(2-x)1恒成立， 即 对x1, 恒成立， 令 则g(x)在区间1, 是增函数， 所以g(x)max= 所以m13，故实数m的取值范围为13,+),热点考向3 不等式的证明问题 【例3】(2

7、011宿迁模拟)设f(x)=x2-x+13，实数a满足|x-a|1，求证：|f(x)-f(a)|2(|a|+1) 【解题指导】因为题目条件中有|x-a|1,故应考虑先对f(x)-f(a)分解因式，即提取公因式x-a，然后利用绝对值不等式的性质证明即可.,【规范解答】f(x)=x2-x+13， |f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a| =|x-a|x+a-1|x+a-1|, 又|x+a-1|=|(x-a)+2a-1|x-a|+|2a-1| 1+|2a|+1=2(|a|+1) 所以不等式成立.,证明不等式的基本方法： (1)证明不等式的传统方法有：比较法、综合法、分析法. (2)不等式证明还

8、有一些常用方法：拆项法、添项法、逆代 法、换元法、放缩法、反证法、函数的单调性法、判别式法、 数形结合法等.换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应 用换元法时，要注意代换的等价性.放缩法是不等式证明中最 重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结,论中考察.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.存在性、惟一性等问题或题目中带有“至少有一个”、“至多有一个”、“不能都”等字样的问题,都可以用反证法.,设x,y,z为正数，证明：2(x3+y3+z3)x2(y+z)+y2(x+z)+ z2(x+y). 【证明】因为x2+y22xy0, 所以x3+y3=(x+y)(x2-x

9、y+y2)xy(x+y). 同理y3+z3yz(y+z),z3+x3zx(z+x). 三式相加即可得2(x3+y3+z3)xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x).,又因为xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) =x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y), 所以2(x3+y3+z3)x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).,热点考向4 不等式的综合问题 【例4】(10分)(2011新课标全国卷)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a0. (1)当a=1时，求不等式f(x)3x+2的解集； (2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1 ，求a的值.,【解题指导】第(1

10、)问，将a=1代入函数f(x)解析式，利用解绝对值不等式的公式求解，第(2)问f(x)0|x-a|+3x0，然后分xa和xa两种情况去掉绝对值号，转化为解不等式组的问题，将两段解集取并集得f(x)0的解集，最后利用待定系数法求得a的值.,【规范解答】(1)当a=1时，f(x)3x+2可化为 |x-1|2.1分 由此可得x3或x-1. 2分 故不等式f(x)3x+2的解集为x|x3或x-1.3分,(2)由f(x)0得,|x-a|+3x0. 此不等式化为不等式组 或 5分 即 或 6分 因为a0，所以不等式组的解集为x|x 8分 由题设可得 =-1，故a=2.10分,解不等式的基本思路： 解不等式的基本思想是转化、化归.不等式的性质是实现“转化”的基本依据，高次不等式、分式不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解，特别是含有参数的不等式，往往要对其进行分类探求，注意分类应不重、不漏.,已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=-|x+3|+m (1)解关于x的不等式f(x)+a-10(aR)； (2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围,【解析】(1)不等式f(x)+a-10, 即为|x-2|+a-10， 当a=1时，解集为(-,2)(2,+)； 当a