第1节不等式的性质与解不等式

1、2021新亮剑高考总复习不等式第七章第1节不等式的性质与解不等式1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录 4最新考纲考向分析1. 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2. 会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4. 会解一元二次不等式命题方向:(1)比较大小;(2)一元二次不等式与集合的交汇命题;(3)三个“二次”间的关系;(4)利用不等式恒成立求参数或参数范围;(5)与其他知识结合的问题

2、. 核心素养:逻辑推理,数算高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、实数的大小顺序与运算性质的关系aba-b0,a=ba-b=0,aba-bbbb,bcac.(单向性)3. 可加性:aba+cb+c.(双向性)ab,cda+cb+d.(单向性) 5高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录4. 可乘性:ab,c0acbc.(单向性)ab,c0acb0,cd0acbd.(单向性)5. 乘方法则:ab0anbn(nN*,n2).(单向性)6.开方法则:ab0 (nN*,n2).(单向性)6高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录三、一元二次不等式的概念及求解步骤1. 一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数,并

3、且未知数的最高次数是 2 的不等式称为一元二次不等式,即形如 ax2+bx+c0(0)或 ax2+bx+c0(0)的不等式(其中 a0).2. 一元二次不等式的求解步骤(1) 通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正,且不等号右边为 0).(2) 求出相应的一元二次方程的根,有三种情况:=0,0.(3) 画出相应的二次函数的草图.(4)结合图形,求出不等式的解集.7高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录3.三个“二次”间的关系 8判别式 =b2-4ac0=00)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2 或 xx1

4、| - 2 R 不等式ax2+bx+c0)的解集x|x1xb0,m0,则+ -2.若 ab0,则 ab1bac2bc2.(2)若不等式 ax2+bx+c0.()(3)若方程 ax2+bx+c=0(a0 的解集为 R.()(4)不等式 ax2+bx+c0 在 R 上恒成立的条件是 abc2ab;反之,当 c=0 时,abac2bc2.(3) 若方程 ax2+bx+c=0(a0 的解集为.(4) 当 a=b=0,c0 时,不等式 ax2+bx+c0 也在 R 上恒成立.11目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【基础自测】1.若 ab,cd,则下列不等式正确的是(A).D.A.c-bd-aB.acbd

5、C.a-cb-d解析因为 ab,所以-a-a,又因为 cd,所以 c-bd-a.答案解析12目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识2.设 M=x2,N=-x-1,则 M 与 N 的大小关系是(A).D.与 x 有关A.M NB.M=NC.M0,所以 MN.24答案解析13目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识3.设集合 M=x|x -3x-4BA.(0,4B.0,4)C.-1,0)D.(-1,0解析M=x|x2-3x-40=x|-1xa0,m”“”填空 4.mbma,) -mb-ma=- - =(-)-(-=- (-)(- .-答案解析15目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【易错检测】5.不等式 21

6、 的解集是 x|x1.+1解析由 21 得 1- 0,解得 x1 或 x-1.+1+1答案解析1617目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1比较大小 考向 1:作差法2 2例 1若 a0,bqA.pqB.pqD.pq(2 -2 )(-)(-)2 (+)2 22 - 2 2 -211解析22p-q=+-a-b=+=(b -a ) -=,因为 a0,b0,所以 a+b0.若 a=b,则 p-q=0,故 p=q; 若 ab,则 p-q0,故 pb0,比较-与- 的大小. 2 +2+解析ab0,a-b0,a2b2,22 -0, - 0, 2 +2+ 2 -2

7、- =(+)(-)+=(+)2 =1+21, 2 +2+ 2 +2- 2 +2 2 +222 - - .解析 2 +2+ 19考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.使用作差法比较大小时,注意必须写成几个因式积或平方和的形式,然后与零比较大小.2. 使用作商法比较大小时,注意先确定两式子的正负,然后作商与 1 比较大小.3. 在幂、指数、对数值的比较大小中,一般是通过放缩变形,得到一个中间的参照式(或数),其放缩的方式可能是基本不等式、三角函数的有界性等,有时,等号成立的条件是比较大小的关键所在.20考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】1.已知 a1,a2(0,1),记 M=a1

8、a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是(B).D.不确定A.MNC.M=N解析M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).a1,a2(0,1),a1-10,a2-10,即 M-N0.MN.解析答案21考点探究素养达成高考真题目 录2.设 a=ln2,b=ln3,c=ln5,则 a,b,c 三个数从大到小的排列顺序为(B).2A.abc35B.bacC.bcaD.cab解析由题意得 a0,b0,c0.=3ln2=ln8a.2ln 3ln 9又=5ln2=ln321,ac.2ln 5ln 25bac,选 B.解析答案22考点探究素养达成

9、高考真题目 录3.已知 x1=ln ,x2=eAC.x2x1x32 ,32A.x1x2x3B.x1x3x21解析因 为 x =ln1=-ln 20,321232 e所以 x31,所以 x1x2b,则(a-b)c(b-a)cC.若 ab,cd,则 acbdB.若 ab,cd,则 a-cb-dD.若 ab0,cd0,则b-d 不成立;C 错,取 a=2,b=-1,c=1,d=-10,则ac=2,bd=10,acbd 不成立;D 正确,当 ab0 时,则110,由于cd0,所以 .故选 D.解析答案24考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：使用不等式性质,熟记不等式性质基础,灵活运用是关键,要注意

10、不等式性质成立的前提条件. 25考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】 2 3若实数 x,y 满足 3xy 8,49,则的最大值是227. 4(xy2)n, 则 x3y-4=x2m+ny2n-m,3解析设= 2 42 + = 3, = 2,所以 即 2- = -4, = -1.281,1(xy2)-11,所以 2 3又 16 227, 4833故的最大值为 27. 4解析答案26考点探究素养达成高考真题目 录考点3一元二次不等式的解法考向 1:不含参的不等式例 4A.(0,2)已知集合 A=x|x2-x-20,则 AB=().BB.(-1,0)C.(-3,2)D.(-1,3)解析由 x

11、2-x-20,解得-1x2,所以 A=x|-1x0,得 x(x+3)0,解得 B=x|-3x0,所以 AB=(-1,0),故选 B.解析答案27考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:解含例 5解析解关于 x 的不等式 ax2-22x-ax(a0)原不等式可化为 ax2+(a-2)x-20.当 a=0 时,原不等式化为 x+10,解得 x-1.当 a-1,即 a-2 时,解得-1x2;当2=-1,即 a=-2 时,解得 x=-1;当2-1,即-2a0,解得2x-1.综上所述,当 a=0 时,原不等式的解集为x|x-1;当-2a0 时,原不等式的解集为解析2 | -1 ;当 a=-2 时,原不等

12、式的解集为-1;当 a0 的解集为(B).3 B. | 3 或 -1 A. |-1 22C. |- 3 1 或 3 或 0 的解集为, + ,求 f(x)0 的解集.2解析(1)f(x)=2 -.不等式 2ax-b0 的解集为 1 , + ,-12(2-1)a0,a=b0,f(x)00a(2x-1)(x-1)0,-11 ,1 .f(x)0f(x)=-0(x-b)( x-1)0,-12当 b1 时,不等式 f(x)0 的解集为(-,1)(b,+);当 b=1 时,不等式 f(x)0 的解集为x|x1;当 b0 的解集为(-,b)(1,+).解析31考点探究素养达成高考真题目 录考点4不等式恒成立

13、问题例 6已知函数 f(x)=mx2-mx-1.(1) 若对于 xR,f(x)0 恒成立,求实数 m 的取值范围;(2) 若对于 x1,3,f(x)5-m 恒成立,求实数 m 的取值范围.解析由 x2-x-20,解得-1x2,所以 A=x|-1x0,得 x(x+3)0,解得 B=x|-3x0,所以 AB=(-1,0),故选 B.解析32考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)当 m=0 时,f(x)=-10 恒成立.当 m0 时,则 0,即-4m0. = 2+ 4 0,综上,m 的取值范围是(-4,0.(2)不等式 f(x)5-m,即(x2-x+1)m0,m 2 -+1由题意知,只需求 6(x

14、1,3)的最小值. 2 -+12+3,记 g(x)= 6,x1,3, 记 h(x)=x2-x+1= - 1 2 2 -+14易知 h(x)在 x1,3上为增函数,则 g(x)在1,3上为减函数,g(x)min=g(3)=6,m0 恒成立,则 x 的取值范围是 (-,1)(3,+).解析把不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记 f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,由 f(a)0 对于任意的 a-1,1恒成立,可知 f(-1)=x2-5x+60 且 f(1)=x2-3x+20,2-5 + 6 0,解不等式组 得 x3.2-3 + 2 0,解析答案35考点探究素养达成高考真题目 录逻辑推理巧用

15、特殊值判断不等式问题1. 当选择题中包含不止一个结论时,宜采用边选边排除的方法.2. 在判断多个不等式是否成立时,可采用特值法验证,若取值不能代表所有情况,可采用多次赋值法验证结论是否成立.答案36考点探究素养达成高考真题目 录例已知实数 x,y 满足 axay(0aln(y2+1)C.x3y3B.sin xsin y11D. 2 +1 2 +1解析答案37考点探究素养达成高考真题目 录解析(法一)因为实数 x,y 满足 axay(0ay.对于 A,取 x=1,y=-3,不成立;对于 B,取 x=,y=-,不成立;对于 C,由于 f(x)=x3 在 R 上单调递增,故 x3y3 成立; 对于

16、D,取 x=2,y=-1,不成立.故选 C.(法二)根据指数函数的性质得 xy,此时 x2,y2 的大小不确定,故选项 A,D 中的不等式不恒成立;根据三角函数的性质,选项 B 中的不等式也不恒成立;根据不等式的性质知,选项 C 中的不等式成立.38考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】若110,则下列不等式正确的是().C 10;a-1b-1;ln a2ln b2.+A.C.B.D.解析(法一)因为110,所以 ba0,故可取 a=-1,b=-2.显然 1=-1,=1,故正确,排除 B,D,1+3 2对于,a2=1,b2=4,ln a2ln b2,排除 A.选C.(法二)由110,可知 ba0.中,a+b0,所以11110,故有,故正确,排除 B,D+解析答案中,因为 ba0 且11b-1,故正确,排除 A.选 C.39考点探究素养达成高考真题目 录1.(2019 年全国卷)已知 a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3