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1、第三节无穷小与无穷大1.定义例如,Qlimsin x = 0,函数sinx是当x 0时的无穷小量.x0Q lim(x - 1) = 0, 函数x - 1是当x 1时的无穷小量.x1定义 若lim f (x) = ,则称f (x)是极限过程xXx X下的无穷大量.定义若lim f (x) = 0,则称f (x)是极限过程xXx X下的无穷小量.记f (x) = o(1)(x X)(-1)n(-1)n数列是当n 时的无穷小量.= 0,Q limnnn1x1= 0,函数 是当x 时的无穷小量.Q limxxQ lim 1 = ,1函数 是当x 0时的无穷大量.x0 xx注意1.无穷小量是变量,不能与

2、很小的数混淆;2. 无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;3. 无穷大量,无穷小量是相对于变化过程而言的.x 1+ ,或x +例1f(x) = lg(x - 1)当时为无穷大量,当 x 2时是无穷小量.2.无穷大量与无穷小量的关系定理P54:若limf (x) = ,则 1= o(1)(x X)f (x)xX1若limf(x) = 0,f (x) 0,则为无穷大量 (x X)f (x)xX3.无穷小与函数极限的关系:定理P51 : lim f (x) = A f (x) =A + o(1),x Xx X4.无穷大量与无穷小量的运算性质:(1)设x X时,f(x) = o(1),g(x) = o(

3、1),h(x)为有界变量,c为常数,则f(x) g(x),cf(x),f(x)g(x), h(x)f(x)仍为无穷小量.但f(x) 未必为无穷小量.P51定理2,3推论1,2g(x)(2)设x X时,f(x),g(x)为无穷大量,h(x)为有界变量,c为常数,则cf(x),f(x)g(x)仍为无穷大量,但f(x) g(x), f(x) ,h(x)f(x)未必为无穷大量.g(x)求 lim( 1+2+ L +n ).例2n2n2n2先变形再求极限.nn 时,是无穷小之和解n ) = lim 1 + 2 + L + nlim( 1+2+ L +n2n2n2n2nn1 n(n + 1)= lim 1 (

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