高一数学教案：2.9.3函数应用举例3

1、 题 ： 2.9.3 函数应用举例3教学目的：1使学生适 各学科的横向 系.2.能 建立一些物理 的数学模型.3.培养学生分析 、解决 的能力.教学重点： 数学建模的方法教学 点： 如何把 抽象 数学 .授 型： 新授 安排： 1 课时教具：多媒体、 物投影 教学 程 ：一、复 引入：上一 ，我 主要学 了有关增 率的数学模型， 种模型在有关 量、 、粮食、人口等等增 常被用到 . 一 ，我 学 有关物理 的数学模型二、新授内容：例 1（ 本第86页例 2） 海拔 x m 的大气 是y pa，y 与 x 之 的函数关系式是y cekx ，其中c，k 常量，已知某地某天在海平面的大气 1.01

2、10 5pa， 1000 m 高空的大气 0.90105pa，求： 600 m 高空的大气 （ 果保留3 个有效数字）解 ： 将 x =0,y= 1.01 10 5 ； x= 1000, y =0.90105 ，代 入y cekx 得 ：1.01105cek 0c1.01105(1)0.90105cek 10000.90105ce1000k(2)将 (1) 代入 (2) 得：0.90 1051.01105 e1000kk1ln 0.9010001.01 算得： k1.1510 4 y1.01 105e 1.15 104 x将 x = 600代入 ,得： y1.01 105e 1.15 10 4

3、600 算得： y1.01105e 1.15 10 4600 0.943 105(pa)答：在 600 m 高空的大气 0.943 105pa. 明：（ 1）此 利用数学模型解决物理 ；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此 已知自 量的 ，求 的函数 的数学 ；（4）此 要求学生能借助 算器 行比 复 的运算 .例 2 在 量某物理量的 程中，因 器和 察的 差，使得n 次 量分 得到a1 , a2 , ,a n 共 n 个数据， 我 定所 量的物理量的“最佳近似 ” a 是 一个量：与其他近似 第 1页共 4页比 a 与各数据差的平方和最小.依次 定，从a1 , a2 , , an 推出

4、的 a=_.(1994 年全国高考 )分析：此 排除物理因素的干 ，抓准 中的数量关系，将 化 函数求最 .解：由 意可知，所求a 使 y=(a- a1 ) 2 +(a- a2 ) 2 + +(a- an ) 2 最小由于 y=na 2-2( a1 + a2 + an )a+( a12+ a22+ + an2)若把 a 看作自 量， y 是关于 a 的二次函数，于是 化 求二次函数的最小 .因 n 0,二次函数 f(a) 象开口方向向上 .当 a= 1 ( a1 + a2 + + an )， y 有最小 .n所以 a= 1( a1 + a2 + + an )即 所求 .n 明： 此 在高考中是

5、具有 向意 的 ，它以物理知 和 数学知 基 ，并以物理学科中的 背景， 出一个新的定 ， 要求学生 懂 目， 抽象其中的数量关系，将文字 言 化 符号 言，即y=(a- a1 ) 2 +(a- a2 ) 2 + +(a- an ) 2 ，然后运用函数的思想、方法去解决 ，解 关 是将函数式化成以 a 自 量的二次函数形式， 是函数思想在解决 中的 用.例 3 某种放射性元素的原子数n 随 t 的 化 律是 n= n 0 e t ,其中 n 0，是正的常数 .（1） 明函数是增函数 是减函数；（2）把 t 表示成原子数n 0n 的函数； （ 3）求当 n=2 ， t 的 .解：（ 1）由于n

6、00, ，函数n=n 0et是属于指数函数y=ex 型的，所以它是减0函数，即原子数n 的 随 t 的增大而减少（2）将 n= n 0e t 写成 e t=nn 0根据 数的定 有 - t=lnnn 0所以 t=-1(lnn-ln n 0 )=1(ln n 0 -lnn)(3) 把 n=n 0 代入 t=1(ln n 0 -lnn) 得 t=1(lnn 0 -lnn 0 )1212=(ln n 0 -ln n 0 +ln2)=ln2.三、 ：1如 ，已知 o 的半径 r，由直径 ab 的端点 b 作 的切 ，从 周上任一点p 引 切 的垂 ，垂足 m ， ap 设 ap=x第 2页共 4页写出

7、 ap+2pm 关于 x 的函数关系式求此函数的最值解：过 p 作 pdab 于 d，连 pb设 ad=a 则 x 22r ax22rx 2apm2r2r f (x) ap 2pmx2x 4r (0 x 2r)r f (x)1 ( xr ) 217 rr24dcp当 xr 时 f ( x) max17 rb24adoa当 x 2r 时 f ( x)min 2r2距离船只 a 的正北方向 100 海里处有一船只b，以每小时20 海里的速度，沿北偏西 60角的方向行驶， a 船只以每小时15 海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近？解：设 t 小时后 a 行驶到点 c，

8、b 行驶到点 d ，则 bd=20bc=100-15t过 d 作 debc 于 ede=bdsin60=103 tbe=bdcos60 =10tec=bc+be=100-5tcd= de 2ce 210 3t21005t 2=t2t100003251000t= 20 时 cd 最小，最小值为2003 ，即两船行驶20 小时相距最近1313133一根均匀的轻质弹簧，已知在 600n 的拉力范围内， 其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100n 的拉力作用下，长度为0.55m,在 300n 拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？解：设拉力是x n (0 x

9、600) 时，弹簧的长度为 y m设： y = k x + b 由题设：0.55100kbk0.00050.65300kbb0.50所求函数关系是： y = 0.0005 x + 0.50当 x = 0 时， y = 0.50 ,即不受拉力作用时，弹簧自然长度为0.50 m四、小结 ：通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于物理的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力.五、课后作业 ：要使火车安全行驶，按规定， 铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600m 如果某段铁路两端相距 156m，弧所对的圆心角小于180o,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围分析：以弓形的高 x 为自变量，半径 r 为孙函数，求出 r 关于 x 的函数关系式解：如图，设圆弧的半径oa=ob=rm,圆弧弓形的高 cd=xm,在 rt bod中， db=78， od=r-x第 3页