高一数学教案：二次函数与一元二次方程教案

1、高一数学二次函数与一元二次方程教案高邮市送桥中学知识目标 : （ 1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x 轴交点及一元二次方程的根。（ 2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。能力目标： 体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。情感目标： 培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神教学过程 :一、引入等式 ax2bxc0a0 是关于 x 的一元二次方程， 关系式 yax2bxca0 则是关于自变量x 的二次函数。今天我们将进一步研究它们之间的关系。二、新授观察思考：1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如方程 x2 2x 3

2、0与函数 y x22x3 ；方程 x22x10 与函数 yx22x1；方程 x22x30 与函数 yx 22x3 。研讨探究问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x 轴交点坐标有什么关系？探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。以为例（幻灯片）结论：一元二次方程x2 2x 3 0的判别式 0一元二次方程x2 2x 3 0有两个不相等的实数根对应的二次函数 yx22x 3 的图象与x 轴有两个交点为（ 3， 0），（ 1， 0）。（ 2）再研究，能得类似的结论吗？结论：一元二次方程 x22x10 判别式=0 一元二次方程 x22 x 10有两等根对应的二次函数yx22x1的图象与 x 轴有

3、唯一的交点为（1， 0）。一元二次方程判别式x22x30 0一元二次方程 x22 x3 0方程无实数根对应的二次函数yx22x3 的图象与 x 轴没有交点。联想发散2 、 一 元 二 次 方 程 ax 2bx c0 （ a 0 ） 根 的 个 数 及 其 判 别 式 与 二 次 函 数y ax2bx c （ a 0）图象与 x 轴的位置之间有什么联系？）以 a 0 为例 , 如下表所示 :b24ac 0 =0 0第 1页共 4页ax2bx c0x1, 2bb24acx1x2b(a0)2a2a方程无实根yax2bxcyyy( a0)x ox xo xxox思考：当二次函数yax2bxc（ a0

4、）时，是否也有类似的结论呢？探究点二：函数的零点一元二次方程ax 2bxc0 a0 的的实数根就是二次函数yax 2bxc 的值为零时自变量的x 的值，也就是二次函数yax 2bxc 的图象与 x 轴交点的横坐标，因此一元二次方程ax 2bxc 0a0 的的实数根也称为二次函数y ax2bxca0 的零点。0 的实数 x 叫做函数 y一般地，对于函数yf (x) ，把使 f ( x)f ( x) 的零点。函数 y=f(x) 的零点、 方程 f(x)=0的根、函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标之间的关系：函数 yf ( x) 的零点方程 f ( x)0实数根函数 yf ( x) 的

5、图象与 x 轴的交点横坐标。探究点三：函数的零点的求解与判定练习 : 说出几个具体一元二次方程的根并指出其相应的二次函数的零点情况：方程 x22x 30与函数 y x22x3；方程 x22x10 与函数 yx22x1；方程 x22x30 与函数 yx 22x3注 : (1) 函数的零点是数，不是一个点。（2）并不是所有函数都有零点。例1、 求证：一元二次函数y2x237有两个零点x小结：函数零点的求解与判断（代数法）求方程 f(x)=0的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点例 2 如图（幻灯片）是一个二次函数y f (

6、x) 的图象。写出这个二次函数的零点；写出这个二次函数的解析式；试比较f ( 4) f (1) ，f (0) f (2) 与 0 的大小关系。第 2页共 4页解：由图象可知此函数的零点是：x1 = 3， x2 =1。由可设f ( x ) = a( x3)( x1) f (1)4 a1 f ( x)( x 3)( x 1) 。即这个二次函数的解析式为f ( x)x22x3。 f (4)5, f (1)4, f (0)3, f (2)5， f (4) f (1)20 0， f (0)f (2)150。设问 1: 已知二次函数f(x)的图象，判断f(-2)、 f(0)、 f(4)、f(6) 与 0的

7、大小；如果开口向下呢？设问 2: 如果二次函数yf(x)的零点是1 和 5，如图 3，试判断 f(-2)f(0)、f(4)f(6)与 0 的大小。设问 3: 如果不知道二次函数y f(x)的零点，但是有f(-2)f(0)0、f(4)f(6)0，我们可以得出什么样的结论？你能否画出它的大致图像？根据图像你能够得到什么样的式子？（幻灯片）结论：如果二次函数y=f(x)对于实数m,n,mn, 有 f(m) f(n)0,则存在x 0 (m,n),使得 f(x 0 )=0, 即函数在区间 (m,n) 上有一个零点 .练习 : 二次函数 f ( x)ax 2bx c( xr) 的部分对应值如下表：x 3 2 101234y6m 4 6 6 4n6不求 a 、 b 、 c 的值，可以判断方程ax2bx c0 的两根所在的区间是（）a3, 1 和1,1b3,1和 2,4c1,1 和 1,2d,3和 4,三、课堂小结 函数零点与方程根的联系；一元二次方程根的分布与函数图象之间的关系及处理方法；本节课运用了哪些数学思想方法.第 3页共 4页四、作业课本 p81习题 1、 2。备用：若方程