高一数学教案：2.1.2函数-区间的概念及求定义域的方法

1、课题： 2.1.2 函数区间的概念及求定义域的方法教学目的：1能够正确理解和使用“区间” 、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法；2培养抽象概括能力和分析解决问题的能力；教学重点：“区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法教学难点： 正确求分式函数、根式函数定义域授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：函数的三要素是： 定义域、 值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了 x 和 y 之间的某种关系 )，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数） ；定

2、义域和对应法则一经确定，值域就随之确定前面我们已经学习了函数的概念， ，今天我们来学习 区间的概念和记号二、讲解新课：1区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设 a,b r ,且 ab.我们规定 ：满足不等式axb 的实数 x 的集合叫做 闭区间 ，表示为 a,b ；满足不等式axb 的实数 x 的集合叫做 开区间 ，表示为（ a,b）；满足不等式axb 或 axb 的实数 x 的集合叫做 半开半闭区间 ，分别表示为 a，b) ,(a，b.这里的实数a 和 b 叫做相应区间的端点 .在数轴上， 这些区间都可以用一条以a 和 b 为端点的线段来表示，在图中

3、， 用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定 义名称符 号数 轴 表 示x|ax闭区间a， bbx|axb开区间(a， b)x|axb左闭右开区间a， bx|aa， xb， xb 的实数 x 的集合分别表示为a，+) ，（a， +）,(-,b ,(-,b).注意：书写区间记号时：第 1页共 5页有完整的区间外围记号（上述四者之一）；有两个区间端点，且左端点小于右端点；两个端点之间用“， ”隔开 .2求函数定义域的基本方法我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的

4、，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定： 如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数 x 的集合 .有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.3 分段函数： 有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数 .分段函数是一个函数，而不是几个函数.4 复合函数：设 f(x)=2x 3 ， g(x)=x2+2 ，则称fg(x) =2(x2 +2) 3=2x2+1 （或

5、gf(x)=(2x 3)2+2=4x212x+11）为复合函数三、讲解范例： 下面举例说明函数定义域的求法.0( x0)f (1) 0; f (0)例 1 已知 f ( x)( xf (1) 2;0)1)1x1( xf f f (0)例 2 已知 f(x)=x21g(x)=x1 求 fg(x)解： fg(x)= （x1 ） 21= x+2 x例 3 求下列函数的定义域： f ( x)4 x21 f ( x)11111x yx2133 3x 7解：要使函数有意义，必须：x 23x4 f ( x)12x( x 1)0 f ( x)xx4x21即：3x3函数 f( )4x21的定义域为： 3,3 x

6、要使函数有意义，必须：x 23x 4 0x4或 x1x1 2 0x3且 x1第 2页共 5页x3或 3x1或 x4定义域为： x| x3或 3x1或 x4 x01x0要使函数有意义，必须：10x1xx1110211x函数的定义域为： x | xr且 x0, 1, 12要使函数有意义，必须：x10x1xx0x0定义域为：x | x1或 1x0x230xr要使函数有意义，必须：x73x70377定义域为： x | x7即 x333例 4 若函数 yax 2ax1的定义域是 r，求实数 a 的取值范围a解：定义域是r, ax 2ax10恒成立，a 等价于a010a224a0aa例 5 若函数 yf

7、(x) 的定义域为 1， 1，求函数 yf (x1 ) f ( x1 ) 的定义域44解：要使函数有意义，必须：1x115x333444x1x113x544444函数 yf ( x1 )f ( x1 ) 的定义域为：x |3x34444求用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若 f(x)是整式，则函数的定义域是实数集r；若 f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0 的实数集；若 f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0 的实数集合；若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的第 3页共 5页实数集合；若 f

8、(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.例 6 已知 f(x)满足 2 f ( x)13 x，求 f (x) ；f ( )x已知 2 f (x)1)3x，f (x将中 x 换成1得1f ( x)3，x2 f ( )xx 2-得 3 f (x)6 x3 f ( x) 2x1 .xx例 7 设二次函数f (x) 满足 f ( x2) f ( 2x) 且 f (x) =0 的两实根平方和为10，图象过点 (0,3) ，求 f (x) 的解析式 .解：设 f (x)ax2bxc(a 0) ,图象过点 (0,3),有 f(0)=c=3,故 c=3；又 f(x)满足 f (x2)f

9、 ( 2x) 且 f (x) =0 的两实根平方和为10，22( x1x2 ) 22x1 x2 =10，得对称轴 x=2 且 x1x2即b2且 b 2610 ， a=1， b=-4， f (x)x24x32aa 2a四、练习 ：1设 f (x) 的定义域是 3，2 ，求函数 f (x2) 的定义域解：要使函数有意义，必须：3x22得：1x 22 x 0 0x 220 x 6 4 2 函数 f (x2) 的定域义为：x | 0x64 22已知 f(x)是一次函数 , 且 ff(x)=4x1, 求 f(x) 的解析式解：设 f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x 1k 24k2k2则1b

10、1 或b1(k 1)b3 f ( x) 2 x12x 1或 f (x)33 若 f (x1） x2x ,求 f(x)解法一（换元法） ：令 t= x1则 x=t 21, t 1 代入原式有f (t) (t1)22(t1) t 21第 4页共 5页 f ( x)x 21（x 1）解法二（定义法） ： x2x( x1) 21 f (x1) (x1)21x 11 f ( x)x21(x 1)五、小结本节课学习了以下内容：区间的概念和记号，求函数定义域的基本方法，求解析式的方法，分段函数；复合函数六、课后作业：课本第 52 页习题 2.1：6补充： 1已知： f ( x) =x 2 x+3求： f(x+1), f(1)解： f( 111x)=() 2+3；xxx22f(x+1)=(x+1)(x+1)+3=x+x+32 已知函数f ( x) =4x+3， g(x)=x 2 ,求 ff(x) ， fg(x) ， gf(x) ， gg(x).解： ff(x)=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15 ；fg(x)=4g(x)+3=4