高一数学教案：平面向量的数量积及运算律(1)

1、课题：平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4 掌握向量垂直的条件教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5 个重要性质； 平

2、面向量数量积的运算律教学过程：一、复习引入：1 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使b = a2平面向量基本定理：如果e1 ， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1， 2 使 a = 1 e1 +2 e23平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、 j 作为基底 任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 axi yj把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a(x, y)4平面向量的坐标运算若 a( x1 , y1 ) ， b

3、( x2 , y2 ) ，则 ab (x1 x2 , y1 y2 ) ， a b(x1x2 , y1y2 ) ， a ( x, y)若 a(x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，则 abx2 x1, y2y15 a b( b0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=06线段的定比分点及p1, p2 是直线 l 上的两点， p 是 l 上不同于 p1, p2 的任一点，存在实数，使p p= pp2， 叫 做 点 p 分p p所 成 的 比 ， 有 三 种 情 况 ：1120(内分 )(外分 ) 0 ( -1)( 外分 ) 0(-1 0)7 定比分点坐标公式：若 点p (x1,y1)，

4、 (x2,y2) ， 为 实 数 ， 且 p1 p pp2， 则 点 p 的 坐 标 为x1x2 , y1y2（ 11），我们称为点 p 分 p1 p2所成的比8 点 p 的位置与的范围的关系：当时，p1 p 与 pp2 同向共线，这时称点p 为 p1p2的内分点当 (1)时， p1p 与 pp2 反向共线，这时称点p 为 p1 p2的外分点9 线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点，设oop 1，op2，a b1ab可得 op = 11110力做的功： w = |f|s|cos， 是 f 与 s 的夹角二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作oa ， ob ，则（）

5、叫与的夹角说明：（ 1）当时，与同向；（ 2）当时，与反向；（ 3）当 2 时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围 0 180c2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量积，记作a b ，即有（）并规定 0 与任何向量的数量积为a b = |a|b|cos0，探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成 a b；今后要学到两个向量的外积a b，而 a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“”

6、在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替（3）在实数中，若a 0，且 a b=0，则 b=0；但是在数量积中，若a 0，且 a b=0，不能推出b=0 因为其中cos 有可能为0（4）已知实数a、b、c(b如右图： a b = |a|b|cos0)，则 ab=bca=c 但是 a b = b ca = c= |b|oa|， b c = |b|c|cos= |b|oa|a b = b c但ac(5)在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)ca(b c)显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线3“投影”的概念：作图定

7、义： |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 |b| ；当 = 180时投影为|b|4向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos的乘积5两个向量的数量积的性质：设 a、 b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量1e a = a e =|a|cos2a ba b = 03当 a 与 b 同向时， a b = |a|b|；当 a 与 b 反向时， a b = |a|b|特别的 a a = |a|2 或 | a |aa

8、a b4cos= | a | b |5 |a b| |a|b|三、讲解范例：例 1 判断正误，并简要说明理由 0 0； 0；0ab ba ；若0，则对任一非零有；，则与中至少有一个为 0；对任意向量，都有（）（） ；与是两个单位向量，则解：上述 8 个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0；对于：应有0；对于：由数量积定义有cos，这里是与的夹角，只有或时，才有；对于：若非零向量、垂直，有；对于：由可知可以都非零；对于：若与共线，记则（） （）（），（） （）（）（）若与不共线，则( )（）评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例 2 已知，当，与的夹

9、角是60时，分别求解：当时，若与同向，则它们的夹角，cos0 3 6 118；若与反向，则它们的夹角180，cos180 3 6（ -1） 18；当时，它们的夹角90，；当与的夹角是60时，有1cos60 36 2 9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是 0，180，因此， 当时，有 0或 180两种可能四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1 概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误一些易见的错误，如：所是1 已知abc中，求bc ca对此题，有同学求解如下：解：如图，bc，ca ， bc ca bc ca cos 5 8cos60 20分析： 上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中bc与 ca 两向量的起点并不同，因此，并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是 c 的补角 1