高二数学教案：7.3两条直线的位置关系(五)

1、课题： 7.3 两条直线的位置关系（五）教学目的：1. 掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；2.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系王新敞教学重点：两条直线平行和垂直的条件应用王新敞教学难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题王新敞授课类型：练习课王新敞课时安排： 2 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程：一、知识点汇总：1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0 时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角

2、为0，两直线互相垂直王新敞2斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1 / l 2k1 = k2 且 b1b2王新敞已知直线 l1 、 l 2 的方程为 l1 ： a1 xb1 yc10，l 2 ： a2 x b2 y c 20 ( a1 b1c10, a2 b2c20)a1b1c1l1 l 2 的充要条件是a2b2c 2王新敞两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1 和 k2 ，则这两条直线垂直的充要条件是 k1 k 2 1 已知直线 l1 和 l 2 的一般式方程为l1 ： a1 xb1 yc

3、10 ，l 2 ： a2 x b2 y c 20 ，则 l1l2a1 a2b1 b203.直线 l1 到 l2 的角的定义及公式：直线 l1 按逆时针方向旋转到与l 2 重合时所转的角 ,叫做 l 1 到 l 2的角 .l1 到 l 2 的角： 01 k1k2 0, 即 k1k21,则.tank2k11k1 k20 ，1k2 k1 王新敞180， 如果2 如果4直线 l1 与 l 2 的夹角定义及公式:第1页共11页l1 到 l 2 的角是1 , l 2 到 l1 的角是 - 1 ,当 l1 与 l 2 相交但不垂直时,1 和 - 1 仅有一个角是锐角 ,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直

4、线 l1 l 2时 ,直线 l1 与 l 2 的夹角是2 .夹角：0 90 王新敞k2k11 k1k2 0,即 k1k 21, 则.tan1 k1k20 ，1k2 k1如果2 如果王新敞5两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：a1 xb1 yc10a2 xb2 yc20 是否有惟一解 王新敞6点到直线距离公式：dax0by0 c点 p(x0 , y0 ) 到直线 l : ax by ca2b20 的距离为：7两平行线间的距离公式已知两条平行线直线l1 和 l2 的一般式方程为l1 ： axbyc10 ，c1c2l 2 ： ax0 ，则 l1 与 l 2

5、的距离为dbyc2a2b 2王新敞二、直线系方程8直线系方程若两条直线 l 1 ： a1 xb1 y c10 ， l 2 ： a2 xb2 yc20 有交点，则过 l1 与 l2 交点的直 线 系 方 程 为 ( a1 xb1 yc1 ) (a2 x b2 yc2 ) 0 或 ( a2 x b2 y c2 ) +( a1 x b1 yc1 )0(为常数 )三、讲解范例：例 1两条直线 ykx2k 1和 x 2 y40 的交点在第四象限，则k 的取值范围是()1111a.（ 6， 2）b.（ 6 ， 0）c.（ 2， 6） d.（2 ， )解法一：解方程组此点在第四象限x2 y404k2 , 6

6、k1ykx2k1得交点为 ( 2k1 2k1 ）yp(-2,1)第2页共11页a(4,0)oxbq4k201k12k12,即26k111 .0k 2k1261k1 26 ，故选 c.解法二：如图，直线 x2y4 0 与 x 轴的交点是 a（ 4，0），方程 y kx 2k 1表示的是过定点 p（ 2， 1）的一组直线，其中pb为过点 p 且与 x2 y 4 0 平行的直线由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线pb 与 pa 之间，其余率 kpb k kpa王新敞1111而 kpa 6 ， kpb 2 ，所以2 k 6故选 c.评述： 有关直线的交点问题，可以通过方程用代数

7、的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会例 2 求证：不论 m 为什么实数，直线 (m 1)x (2m 1) y m5都通过一定点1证法一：取 m 1，得直线方程y ；再取 m 2 ，得直线方程为 x 9.从而得两条直线的交点为(9，），又当 x 9， y 时，有9(m 1)(4)(2m 1) ym5即点 (9，）在直线(m1)x (2m1) y m5 上，故直线 (m 1) x (2m1) ym5 都通过定点 (9，）证法二： (m 1) x(2m1) ym5， m （ x 2 y 1）（ x y 5） 0，则直线 (m1) x(2m1) ym5 都通过直线 x 2 y 10

8、 与 x y 5 0 的交点 .x2 y1 0由方程组xy50 ，解得 x 9， y ，即过点 (9，）所以直线 ( m1) x(2m1) ym5经过定点 (9， ).证法三：（ (m1) x(2m1) ym5 ，第3页共11页 m （ x 2 y 1） x y 5由 m 为任意实数，知关于m 的一元一次方程 m （ x 2 y 1 ） x y 5 的解集为 r，x2 y10 xy 50 ，解得 x 9， y 所以直线 ( m1) x(2m1) ym5都通过定点 (9，） 王新敞例 3 若 a bc0 ，求证直线 axbyc 0 必经过一个定点 .证明：由 abc0 ，且 a,b 不同时为0，

9、设 b 0，则 a(bc)c代入直线方程 axby c0 ，得 ( x y ） b （ x 1） 0.此方程可视为过直线x y 0与 x 1 0的交点的直线系方程 .xy0解方程组 x10 得 x 1， y 1即两直线交点为 (1，1），故直线 axbyc0 过定点 (1， 1).点评：以上例题是直线系的应用问题王新敞例 4 已知点 a 的坐标为 (，），直线 l 的方程为 3 x y 20，求：(1)点 a 关于直线 l 的对称点 a的坐标；(2)直线 l 关于点 a 的对称直线 l的方程 .解： (1)设点 a的坐标为（ x ， y ） .因为点 a 与 a关于直线 l 对称，所以aa l

10、 ，且 aa的中点在 l 上，而直线 l 的斜率是13，所以 ka a 3 .y4 , 所以 y41又因为 k aa x4x43王新敞l 的方程为3 x y 2 0 ， aa的中点坐标是x 4 , y4再因为直线(22 ) ，所以第4页共11页x4 y43 22 2 0 王新敞由和，解得x 2， y 6.所以 a点的坐标为 (2， 6) 王新敞(2)关于点 a 对称的两直线 l 与 l 互相平行，于是可设 l 的方程为3 x y c 0.在直线 l 上任取一点m(0 ，2），其关于点 a 对称的点为 m（ x ， y ），于是 m 点在 l 上，且mm 的中点为点 a，由此得x04, y242

11、2，即： x ， y 6.于是有 m（，6） .因为 m 点在 l上，所以 3（） 6 c 0， c 18王新敞故直线 l 的方程为3 x y 18 0王新敞62)例 5 光线由点 a(1,4) 射出，遇到直线 l： 2x 3 y6b(3,0 后被反射，已知其13，求反射光线所在直线的方程 .y 0a3x01,2x01y040解：设点 a 关于 l的对称点为 a ( x0 , y0 )22326，则3x02 y0 110x029 ,13解得2 x03y02 0y028 .即13626228y13 13 ( x 3)13329，即 13x26 y 850所求直线方程为13王新敞点评：以上例题是点

12、关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题.例 6求直线 l1 :2 x + y -5=0, l 2 : x +3y -4=0 的夹角， l1 到 l 2 的角1 ， l2 到 l1的角2 王新敞1解：由两条直线的斜率k1 =-2, k2 =- 3，得第5页共11页k 2k11231.1k1 k243123， tan1 1， 1 4 ，2 = - 4 4 .tan =点评 :夹角是指两条直线所夹的锐角，不用考虑顺序 .一条直线到另一条直线的角(简称为 “到角” )有直线的先后顺序问题，其范围应大于0 且小于 .例 7 已知点 a(-1,1),b(1,1),点 p 是直线 y = x -2

13、 上的一点，满足 apb 最大，求点 p 的坐标及 apb 的最大值 .t3 ,k bpt3，解：设 p（ t ， t 2），则 kap t1t1当 t 3时， apb 0；当 t 3时，ya(-1,1)b(1,1)kapkbp11 kapk bp( 3 t)43tanapb3 t14当且仅当 3 t 3t ，即 t 1 时等号成立，o123xpp 是 (1,-1)时， apb 有最大值4 ；1当 t 3 时，同法可求 apb 的最大值是arctan 7王新敞结论：当 p 点的坐标是（ 1， 1）时， apb有最大值 4王新敞说明： p 点在直线 y= x -2 上，将点 p 坐标可设成 (

14、t , t -2)，而 ab x 轴，所以需分p 在直线ab 上、在直线 ap 的上方、下方三种情况讨论 .例 8 已知等腰直角三角形 abc 中， c 90，直角边 bc在直线 2 x +3y-6=0 上，顶点 a 的坐标是 (5，4)，求边 ab 和 ac所在的直线方程 .2解：直线bc 的斜率 kbc 3 ，直线 ac 与直线 bc 垂直，3直线 ac 的方程为 y 4 2 （ x 5）即 3 x 2y70 abc 45，第6页共11页kabk bckab21,3121kabk bc1k ab31kab 5 或 kab 5 .1ab 边所在的直线方程为:y 4 5（ x 5）或 y 4

15、5 （ x 5）即 x 5y 150 或 5 x y 29 0王新敞说明： 此题利用等腰直角三角形的性质，得出 abc45， 再利用夹角公式， 求得直线 ab的斜率，进而求得了直线ab 的方程 .例 9 求经过点 (2， 3)且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l1:x+3y-4=0,l2:5x+2y+6=0.解法一：解方程组x3 y40, 得 x25x2 y60y2,所以 l1与 l 2的交点是 (-2,2) ，由两点式得所求直线的方程为y3x22 32 2 ,即 x -4y+10=0.解法二 :可设所求直线方程为x +3y-4+ (5 x +2y+6)=0( r），点 (2， 3)在直线

16、上 .72 3 3 4（ 5 2 2 3） 0， 22 .7所求直线方程为x +3y-4+(- 22 )(5 x +2y+6)=0. 即 x -4y+10=0.例 10 k 为何值时，直线l1 ： yk x 3k 2 与直线 l 2 ： x 4y 4 0 的交点在第一象限 .ykx3k2x1212k4k1得x4 y407k2y解：由4k11212k04k127k274k10两直线的交点在第一象限 k 1.第7页共11页2即当 7 k 1 时，两直线的交点在第一象限说明： k 为何值时，两直线的交点在第一象限，可以解两直线的方程组成的方程组，求出交点坐标，让横坐标大于 0，纵坐标大于 0，而后解

17、不等式组即得 k 的范围 .例 11 求点 p（3， 2）到下列直线的距离：3 x1(1)y 44 ；（ 2）y6；（ 3） y 轴 .3 x1解： (1)把方程 y 44 写成 3 x 4y 1 0334( 2)118225由点到直线的距离公式得d3(4)王新敞(2)因为直线 y=6 平行于 x 轴，所以d 6（ 2） 8.（3） d 3 3.x说明：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线，=a 或 y=b，求点到它们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成d x0 a或 d y0 b .例 12 求与直线 l： 5 x -12y+6=0 平行且到 l的

18、距离为 2 的直线的方程 .1解：设所求直线的方程为5 x -12y+c=0.在直线 5 x -12y+6=0 上取一点 p0（ 0， 2 ），点 p0 到直线 5 x -12y+c=0 的距离为1c12c62c652(12) 213，由题意得13=2.所以 c=32 或 c=-20.d=所以所求直线的方程为5 x -12y+32=0 和 5 x -12y-20=0.说明： 求两条平行线之间的距离， 可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离 .即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离.x 3y 5 0，求其他三例 13已知正方形的中心为g（ 1， 0），一边所在直线的方程为边

19、所在直线方程 .156解：正方形中心g(1， 0)到四边距离均为123210 .设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x 3y c1 0.1c16则 1010 ，即 c1 1 .解得 c1 5 或 c1 7.故与已知边平行的直线方程为x +3y+7=0.设正方形另一组对边所在直线方程为3 x y c2 0第8页共11页3( 1) c26则1010 ，即 c2 3 6. 解得 c2 9 或 c2 3.所以正方形另两边所在直线的方程为3 x -y+9=0 和 3 x -y-3=0综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：x +3y+7=0、3 x -y+9=0、3 x -y-3=0 王新敞

20、说明： 本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程王新敞四、课堂练习：51.到直线 2x+y+1=0 的距离为5的点的集合是 ()a.直线 2x+y 2=0b.直线 2x+y=0c.直线 2x+y=0 或直线 2x+y 2=0d.直线 2x+y=0 或直线 2x+2y+2=0xy2.点 p(m n, m)到直线 mn =1 的距离等于 ()a. m2n2b.m2n2c.m2n2d. m 2n 23.若 a(sin，cos）、b（ cos，sin）到直线 xcos +ysin +p=0(p 1)的距离分别为m、n，则 m、 n 的大小关系是 ()a.

21、m nb.m nc.m nd.m n4.已知点 (3，m)到直线 x+ 3 y4=0 的距离等于1，则 m 等于 ()33a.3b.3c. 3d.3 或 35.直线 l 过点 p(1， 2)，且 m(2 ， 3)，n(4， 5)到 l的距离相等，则直线l 的方程是 ()a.4x+y 6=0b.x+4y 6=0c.3x+2y7=0 或 4x+y 6=0d.2x+3y 7=0 或 x+4y 6=06.点 p(x,y)到直线5x 12y+13=0 和直线3x 4y+5=0 的距离相等，则点p 的坐标应满足的是()a.32x56y+65=0 或 7x+4y=0b.x 4y+4=0 或 4x 8y+9=

22、0c.7x+4y=0d.x 4y+4=07.已知直线 l1 ：y=x 与 l23p，过 p 分别作 l1 、l 2 的垂线，：y=3x，在两直线的上方有一点垂足为 a、 b.已知 pa 22 ， pb 23 .求 (1)p 点坐标； (2) ab的值 王新敞8.三角形的三个顶点坐标分别是a(4， 1)、b(7， 5)、 c( 4,7)，求角 a 的平分线方程 王新敞9.已知一直线 l 被两直线 l 1 ： 3x+4y7=0 和 l 2 ： 3x+4y+8=0 截得的线段长为154 且 l 过点 p(2，第9页共11页3)，求直线 l 的方程王新敞参考答案： 1.d2.a 3.a 4.d 5.c

23、 6.a7.(1)(0 ， 4)（ 2） 628.7x+y 29=09.x=2 或 7x 24y+58=0王新敞四、小结：两条直线平行与垂直的条件；两条直线的夹角和点到直线的距离公式；直线的方程判断两条直线的位置关系；直线系方程的应用王新敞五、课后作业：1.已知直线 l1 ：a1x+b1y+c1 0 与直线 l 2 ：a2x+b2y+c2 0 相交，则方程 1（ a1x b1y c1）22 2（ a2x+b2y+c2）=0,( 12 0)表示 ()a.过 l1 与 l 2 交点的一切直线b.过 l1 与 l 2 的交点，但不包括l1 可包括 l 2 的一切直线c.过 l1 与 l 2 的交点，但包括l1 不包括 l 2的一切直线d.过 l1 与 l 2 的交点，但既不包括 l1 又不包括 l 2的一切直线2.方程 (a 1)xy+2a+1=0(a r)所表示的直线 ()a.恒过定点 (2,3)b.恒过定点 (2， 3)c.恒过点 ( 2,3)和点 (2，3)d.都是平行直线3.点(3， 9