高二数学教案：圆锥曲线方程

1、圆锥曲线方程灵溪一高林秀川专题设计立意及思路：高考试题中，解析几何试题的分值一般占 20左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在 14左右，选择、填空、解答三种题型均有选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、 基本技能和基本方法的运用； 以圆锥曲线为载体的解答题设计中， 重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热解答题的题型设计主要有三类：（1） 圆锥曲线的有关元素计算关系证明或范围的确定；（2） 涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；（3） 求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降 随着高

2、考的逐步完善， 结合上述考题特点分析， 预测今后高考的命题趋势是： 将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查， 加强对于分析和解决问题能力的考查 因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用高考第二阶段的复习， 应在继续作好知识结构调整的同时， 抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼， 进行专题复习； 做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、 从纵向知识到横向方法 . 这一复习过程， 要充分体现分类指导、 分类要求的原则， 内容的选取一定要有明确的目的性和针对性， 要充分发挥教师的创造性， 更要充分考虑学生的实际，

3、 要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担 . 因此，在圆锥曲线这一章的复习中，设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤.一、高考考点回顾0104 四年高考圆锥曲线试题回顾：年次题题型内容类别分值总分百分率号01 年 全文7选择概念、性质类5 分21分140%国科题14填空概念、性质类4 分题20解答直线和圆锥曲线关系类12分题第1页共19页理7选择概念、性质类5 分21分140%科题14填空概念、性质类4 分题19解答直线和圆锥曲线关系类12分题02年 全文7选择概念、性质类5 分28分187%国科题11选择概念、性质类5 分题16填空概念、性质类4 分题21解答与圆锥曲线有关的

4、轨迹14分题类理6选择概念、性质类5 分21分140%科题14填空概念、性质类4 分题19解答概念、性质类12分题03年 全文3选择概念、性质类5 分24分160%国科题5选择概念、性质类5 分题22解答与圆锥曲线有关的轨迹14分题类理2选择概念、性质类5 分24分160%科题8选择概念、性质类5 分题21解答与圆锥曲线有关的轨迹14分题类04年 全文7选择概念、性质类5 分24分160%国科题第2页共19页8选择直线和圆锥曲线关系类5 分题22解答直线和圆锥曲线关系类14分题理7选择概念、性质类5 分22分147%科题8选择直线和圆锥曲线关系类5 分题21解答直线和圆锥曲线关系类12分题04

5、 年 浙文6选择直线和圆锥曲线关系类5 分24分160%江科题11选择概念、性质类5 分题22解答与圆锥曲线有关的轨迹14分题类理4选择直线和圆锥曲线关系类5 分22分147%科题9选择概念、性质类5 分题21解答与圆锥曲线有关的轨迹12分题类从以上四年的高考题中可以看出选择、填空题主要考察圆锥曲线有关的概念和性质问题； 而解答题则是以直线和圆锥曲线关系、 求轨迹类问题为主， 当然也是圆锥曲线的概念性质为前提 . 所以在复习中，要求学生掌握一些直线和圆锥曲线关系和求轨迹问题的一般解题思路及思想方法， 同时加强对圆锥曲线的概念和性质的理解和灵活应用的训练 .二、基础知识梳理（一）概念及性质1椭圆

6、及其标准方程第一定义、第二定义；标准方程（注意焦点在哪个轴上）；椭圆的简单几何性质（ a、b、c、e 的几何意义，准线方程，焦半径）；第3页共19页椭圆的参数方程 x=acos,y=bsin , 当点 p 在椭圆上时，可用参数方程设点的坐标，把问题转化为三角函数问题 .2双曲线及其标准方程：第一定义、第二定义（注意与椭圆类比）；标准方程（注意焦点在哪个轴上）；双曲线的简单几何性质（ a、 b、 c、e 的几何意义、准线方程、焦半径、渐近线） .3抛物线及其标准方程：定义以及定义在解题中的灵活应用 （抛物线上的点到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离）；标准方程（注意焦点在哪个轴上、开口方向、p

7、 的几何意义）四种形式；抛物线的简单几何性质（焦点坐标、准线方程、与焦点有关的结论）.（二）常见结论、题型归类及应对思路：1中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为ax2+bx2 1.2共渐近线 yb x 的双曲线标准方程为x2y 2( 为参数，0）.aa 2b 23焦半径、焦点弦问题（1）椭圆焦半径公式：在椭圆x 2y2中， f 、f 分别左右焦点， p(x ，y ) 是椭圆是一点， 则：22ab00|pf1|=a+ex 0 |pf 2|=a-ex 0过椭圆 x2y 21（ ab0）左焦点的焦点弦为ab，则ab2(x 2) ，a 2b 2ae x1过右焦点的弦 ab2a e( x1

8、 x2 ) .（2）双曲线焦半径公式：设 p（x ,y）为双曲线x2y 21（a0,b0 ）上00a2b 2任一点，焦点为 f1 (-c ，0) ， f2(c ，0),则：当 p 点在右支上时， pf1aex0 , pf2aex0 ；当 p 点在左支上时， pf1aex0, pf2aex0 ；（ e 为离心率）（3）抛物线焦半径公式： 设 p（x0，y0）为抛物线 y2=2px(p0) 上任意一点，f 为焦点，则 pfx0p ； y2=2px （p0）的焦点弦（过焦点的弦）为ab，a（x 1， y1）、 b(x 2 ，第4页共19页y2) ，则有如下结论：ab x1+x2+p； y1y2=p2

9、，x1x2= p 2 .42，焦准距为 p=b2，抛物线的（4）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 2bac2y 21（a0， b0）的焦点到渐进线的通径为 2p，焦准距为 p； 双曲线 xb 2a 2距离为 b.4直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为ab， a 、b 两点分别为a(x 1，y1 ) 、b(x 2，y2) ，则弦长ab1k2x2x1(1 k2 )( x1 x2 )24 x1 x2 11y2y1(11) ( yy2) 24 y y , 这里体现了解析几何“设k2k2112而不求”的解题思想 .5中点弦问题处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问

10、题常用代点相减法，设 a(x 1 ，y1) 、b(x 2 ,y 2) 为椭圆 x2y2 1（ab0）上不同的两点， m(x0， y0 ) 是 ab 的中点，a 2b2则 kabkom=b2 ；对于双曲线 x2y21（a0，b0），类似可得： kabkom= b 2；a2a 2b 2a 2对于 y2=2px（p0）抛物线有kab2 p ；另外，也可以用韦达定理来处理 .y1y26求与圆锥曲线有关的轨迹问题的常用方法（1）直接法：直接通过建立x、y 之间的关系，构成f(x ，y) 0，是求轨迹的最基本的方法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（

11、3）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（4）代入法（相关点法或转移法）：若动点p(x ，y) 依赖于另一动点q(x1，y1) 的变化而变化，并且q(x1，y1) 又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示 x1 、y1，再将 x1、y1 带入已知曲线得要求的轨迹方程；（5）参数法：当动点 p（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.第5页共19页三、重点、难点分析重点圆锥曲线的概念、性质难点圆锥曲线的

12、概念、性质等的综合应用四、课时安排第一课时圆锥曲线的概念、性质类问题第二课时直线和圆锥曲线关系类问题第三课时与圆锥曲线有关的轨迹类问题说明：问题的类别、知识是相互联系的，因此课时分类也不是绝对的.五、分课时讲解例题第一课时圆锥曲线概念、性质类问题例 1. （ 02北京）已知椭圆x2y21和双曲线 x2y21 有公共的焦点，3m25n22m23n2那么双曲线的渐近线方程是（）( a)x15 y(b) y15 x(c )x3 y(d ) y3 x2244分析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，即椭圆、双曲线焦点求法和双曲线渐近线方程求法 . 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，椭圆焦点 ( 3m2

13、5n2 ,0) ，双曲线第6页共19页焦点( 2m23n2 ,0) ， 3m25n22m23n2 ， m28n2 ，又双曲线渐近线为 y6 n2 mx .代入 m28n2 ， m 22 n ，得 y3 x ，选 d.4例 2（ 02 全国文 11）设(0,) ，则二次曲线 x2cot -y 2tan =1 的离心率的4取值范围为（）( a)(0, 1 )( b)( 1,2 )(c )( 2 ,2)(d )( 2, )2222分析：本题主要考察三角函数和二次曲线的基本知识以及基本的推理计算技能.有一定的综合性，涉及的知识面比较大.解一：因为(0,) ，所以 cot 0，tan 0，方程所表示的二

14、次曲线是双曲线，4离心率必然大于 1. 从而排除 a、 b、 c，得 d.解二： 依题 设知 二次 曲线是 双曲 线， 半实 轴长 a 和半 虚轴 长 b分别为a1tan，b1cot . 所以半焦距 ca2 b2tancot ，cottan离心率为 ec1 cot 2，因为(0, ) ，所以 e 的取值范围为 ( 2,) ，选a4d.第二课时直线和圆锥曲线关系类问题第7页共19页直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、主要涉及弦长、弦中点、 对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题 .压轴题出现 .解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为 “联

15、立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 .例 3椭圆的中心是原点o，它的短轴长为2 2，相应于焦点 （ ，）f c 0（ c 0 ）的准线 l 与 x 轴相交于点 a，|of|=2|fa|，过点 a 的直线与椭圆相交于p、q两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若 op oq0 ，求直线 pq的方程；（3理工类考生做）设 apaq （1），过点 p 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 m，证明 fmfq

16、.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程， 平面向量的计算， 曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(i) 解：由题意，可设椭圆的方程为x2y21(a2).a2b2由已知得a2c22,c2(a2c).c解得 a6, c2.所以椭圆的方程为 x2y21，离心率 e6 .623(ii) 解： 由 (i) 可得 a(3,0).设直线 pq的方程为 yk( x3). 由方程组第8页共19页x2y2162yk( x3)得(3k 2 1)x2 18k2 x 27k 26 0.依题意12(23k 2 )0, 得6k6 .33设 p( x1 , y1), q ( x2 , y2 )

17、, 则x1x218k23k2,1x1.x227 k263k2.1由直线 pq的方程得y1k( x13), y2k (x23). 于是y1 y2k 2 (x13)( x23)k 2 x1x23( x1x2 ) 9.opoq.0,x1 x2y1 y20.由得 5k 21,从而 k5(6 ,6 ).533所以直线 pq的方程为x5 y 3 0 或 x5 y 3 0.(iii)证明： ap(x13, y1), aq(x23, y2 ). 由已知得方程组x13( x23),y1y2 ,x12y1262122x2y2621.注意1, 解得x2512.因 f (2,0), m ( x1 ,y1), 故第9页

18、共19页fm ( x1 2, y1 ) ( ( x23) 1, y1 )(1, y1 )(1, y2 ).22而 fq (x22, y2 )(1 , y2 ), 所以2fmfq.例 4已知双曲线 g的中心在原点，它的渐近线与圆 x2y2 10 x 20 0 相切过点 p 4,0作斜率为 1 的直线 l ，使得 l 和 g 交于 a, b 两点，和 y 轴交于点 c ，并4且点 p 在线段 ab 上，又满足 papb2pc （）求双曲线 g 的渐近线的方程；（）求双曲线 g 的方程；（）椭圆 s 的中心在原点，它的短轴是g 的实轴如果 s 中垂直于 l 的平行弦的中点的轨迹恰好是g 的渐近线截在

19、 s 内的部分，求椭圆 s 的方程讲解： （ ）设双曲 线 g 的渐 近线的方程为： ykx ，则由渐近线 与圆x2y210x200相切可得：5k5k 2 1所以， k1 21 x 双曲线 g 的渐近线的方程为： y2（）由（）可设双曲线 g 的方程为： x24 y2m 把直线 l的方程 y1 x4 代入双曲线方程，整理得 3x28x 16 4m 0 xb 8 ,416 4m则 xaxa xb（）33 papbpc2 ， p, a, b, c 共线且 p 在线段 ab 上，xpxaxbxpxp xc2，即： xb44xa16 ，整理得： 4 xaxbxa xb 320将（）代入上式可解得： m

20、28 第 10页共 19页所以，双曲线的方程为 x2y21287（）由题可设椭圆 s 的方程为： x2y21 a 2 7 下面我们来求出 s28a2中垂直于 l 的平行弦中点的轨迹设弦的两个端点分别为 m x1, y1, nx2 , y2， mn 的中点为 p x0 , y0，则x12y12128a2x22y22128a2x1 x2x1x2y1y2y1y20两式作差得：28a2由于 y1y24 ， x1x22x0 , y1y2 2y0x1x2所以， x04 y00 ，28a2所以，垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线x4y0截在椭圆 s 内的部分28a2又由题，这个轨迹恰好是 g 的渐近线截在

21、 s 内的部分，所以，a21 所1122以， a256 ，椭圆 s的方程为： x2y21 2856点评：解决直线与圆锥曲线的问题时， 把直线投影到坐标轴上 （也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）第三课时与圆锥曲线有关的轨迹类问题解析几何主要研究两大类问题： 一是根据题设条件， 求出表示平面曲线的方程；二是通过方程， 研究平面曲线的性质 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 . 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将

22、其转化为寻求变量间的关系 . 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义， 性质等基础知识的掌握， 还充分考查了各种数学思想方法及一第 11页共 19页定的推理能力和运算能力， 因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 . 解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程例 5（ 2004. 福建理）（本小题满分12 分）如图， p 是抛物线 c： y= 1 x2 上一点，直线l 过点 p 且与抛物线 c交于另一点 q.2（）若直线 l 与过点 p 的切线垂直，求线段pq中点 m的轨迹方程；| st | st |（）若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 s，与 y 轴交于点

23、 t，试求 | sp | sq |的取值范围 .本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力 .解：（）设 p(x 1，y1) ，q(x2 ，y2) ，m(x0， y0) ，依题意 x10，y10， y20.12由 y=x ，2得 y =x.过点 p 的切线的斜率 k切= x 1，直线 l11的斜率 kl=，k切x1直线 l的方程为 y 1x12=1( xx1)，2x1方法一：联立消去 y，得 x2+2x x12 2=0.x1 m是 pq的中点x0 =x1x21=-，2x1y0= 1 x1 2 1 (x0 x1).2x1第 12页共 19页消去

24、 x1，021 0)，00得 y =x +2 +1( x2x0pq中点 m的轨迹方程为 y=x2+12 +1(x 0).2x0方法二：112， y21x1x2由 y1=22， x0，= xx=222得 y1 y2= 1 x12 1 x22 = 1 (x1+x2)( x1 x2)=x0(x1 x2)，222y1y2l1则 x0，=x2=k =-x1x11 x1=，x0将上式代入并整理，得1y0=x02+ 2x0 2 +1( x0 0)，1pq中点 m的轨迹方程为 y=x2+ 2x0 2 +1(x 0).（）设直线 l:y=kx+b ，依题意 k0，b0，则 t(0 ， b).分别过 p、q作 p

25、p x 轴， qq y 轴，垂足分别为p、 q，则| st | st | ot | ot | b | b |.| sp | sq | p p | q q | y1 | y2 |1 2y=x由消 去 x，得 y2 2(k 2+b)y+b 2=0.y=kx+by1+y 2=2(k 2+b) ，则y1y2=b2.方法一：| st | | st |1111|b|(y2) 2|b|=2|b|2 =2.| sp | | sq|y1y1 y2b y1 、 y2 可取一切不相等的正数 ，第 13页共 19页 | st | st |的取值范围是（，+）.| sp | sq |2方法二：| st | st |=|

26、b|y1 y22(k 2b)| sp | | sq |y1 y2=|b|b2.当 b0 时， | st | st | =b2(k 2b) = 2(k 2b) =2k 2+22 ；| sp | sq |b 2bb当 b0 ，于是 k2+2b0 ，即 k2 2b.所以 | st | st | 2( 2bb) =2.| sp | sq |b22k 当 b0 时，可取一切正数， | st | st |的取值范围是（，+）.| sp | sq |2方法三：由 p、 q、t 三点共线得 ktq =k tp，y2 by1b即=.x2x1则 x1y2 bx1=x2y1 bx2， 即 b(x2 x1)=( x2

27、y1x1y2).x21 x12x1于是 b2=x2x1 | st | | st | = | b | | sp | | sq | | y1 |12x221=x1x2.2|1x1 x2 | |1x1x2 |x2x1| b |22| +| 2.=+= | y2 |2 12 1x1x2 | x2 | 可取一切不等于 1 的正数， x1 | st | st | 的取值范围是（ 2，+）.| sp | sq |第 14页共 19页下面是探究型的存在性 ：例 6（ 2004 湖北理）（本小 分 12 分）直 l : ykx1与双曲线 c : 2x2y21的右支交于不同的两点a、 b.（ i ）求 数 k 的

28、取 范 ；（ ii ）是否存在 数 k，使得以 段 ab 直径的 双曲 c 的右焦点 f？若存在，求出 k 的 ；若不存在， 明理由 .本小 主要考 直 、 双曲 的方程和性 ， 曲 与方程的关系， 及其 合 用能力 .解：（）将直 l的方程 ykx1代入双曲线 c的方程 2x2y21后,整理得( k22) x22kx20. 依 意，直 l与双曲 c 的右支交于不同两点，故k 220,(2k ) 28(k 22)0,2k0k 2 220.k 22解得 k的取值范围是2 k2.（） a、b 两点的坐 分 ( x1 , y1) 、 ( x2 , y2 ) ， 由式得x1x22k,2k 2x2x22

29、k 2.2假 存在 数 k，使得以 段 ab 直径的 双曲 c 的右焦点 f（c,0 ）. 由 fafb 得：( x1c)(x2c)y1 y20.即c)( x2c)(kx11)( kx21)0.( x1整理得(k 21)x1x2(kc)( x1x2 )c21 0. 把式及 c6 代入式化 得25k 22 6k60.第 15页共 19页解得 k66 或 k6 6( 2, 2)( 舍去 )55可知 k66c 的右焦点 .使得以线段 ab为直径的圆经过双曲线5高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径， 解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求

30、考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.四、思维能力训练（一）选择题1（04 年天津理 4、文 5）设 p 是双曲线 x2y21上一点，双曲线的一条渐近a29线方程为3x 2 y0,f1 、f2 分别是双曲线的左、 右焦点，若 | pf1 |3 ，则 | pf2 |( )a. 1或 5b. 6c. 7d. 92（ 04 重庆高考理10、文 10）已知双曲线 x2y2 1,( a0, b0) 的左，右焦a2b2点分别为 f1 , f2 , 点 p 在双曲线的右支上，且 | pf1| 4 | pf2 |, 则此双曲线的离心率e 的最大值为（）a 4b 5c2d 73333（ 04

31、湖北理）已知椭圆x2y2f 、 f ，点 p 在椭圆1的左、右焦点分别为16912上，若 p、f1、 f2是一个直角三角形的三个顶点，则点p 到 x 轴的距离为（）a 9b 3c 9 7d 95744（ 04 福建理）如图， b 地在 a 地的正东方向4 km 处， c地在 b 地的北偏东 30方向 2 km 处，河流的没岸 pq（曲线）上任意一点到 a 的距离比到 b 的距离远 2 km. 现要在曲线 pq上选一处 m建一座码头，向 b、c 两地转运第 16页共 19页 物 . 算，从 m到 b、m到 c 修建公路的 用分 是 a 万元 /km、2a 万元 /km，那么修建 两条公路的 用最

32、低是（）a(27 2)a 万元b5a 万元c(27 +1) a 万元d(23 +3) a 万5（ 04 宁卷）已知点 a(2,0) 、 b(3,0)， 点 p(x, y)满足 pa pbx2 ， 点p 的 迹是（）a b c双曲 d抛物 604 全国（山 山西河南河北江西安徽）理8、文 8 抛物 y2=8x 的准 与 x 交于点 q，若 点 q的直 l 与抛物 有公共点， 直 l 的斜率的取 范 是（）a 1 ， 1 b 2，2c 1， 1d 4，422（二）填空 1（ 2004 年重 高考理工 第16 ） 任意 数 k，直 ： y kx b 与 x32 cos(02 ) ： y14 sin恒

33、有公共点， b 取 范 是 _2（2004 年湖南高考理工 第16 ） f 是 x2y21 的右焦点，且 76 上至少有 21 个不同的点 pi （ i=1 ，2，3，），使 |fp1| ，|fp2| ，|fp3| ， 成公差 d 的等差数列， d 的取 范 .（三）解答 1 抛物 定点 a 1,0，且以直 x1 准 （）求抛物 点的 迹 c 的方程；（）若直 l 与 迹 c 交于不同的两点1m , n ，且 段 mn 恰被直 x2平分， 弦 mn 的垂直平分 的方程 ykx m ， 求 m 的取 范 2. （2004. 宁卷）（本小 分12 分）第 17页共 19页设椭圆方程为 x2 y21，过点 m（ 0， 1）的直线 l 交椭