第6章 抽样分布.ppt

1、第6章 抽样分布,从本章起,我们转入课程的第二部分数理统计学.概率论和数理统计都是研究随机现象统计规律性的学科,但是它们在研究问题的方法上又有其自身的特点.,在概率论中,所研究的随机变量,它的分布通常是已知的或者是假设为已知的,在这一前提下,我们去研究它的性质,特点和规律性.例如求出它的数字特征,讨论随机变量函数的分布等.,在数理统计中,所研究的随机变量,它的分布是未知的,或者是分布已知,但当中的参数未知.我们是通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察,得到许多观察值,对这些数据进行分析,从而对所研究的随机变量的分布做出种种的推断.,数理统计的内容十分丰富,大体上可分为收集数据和统计推断两个方

2、面:,(1) 收集数据 研究如何对随机现象进行观察或试验,以便获得能够很好地反映整体情况的局部数据.其内容包括抽样技术、试验设计等.,(2) 统计推断 研究如何对收集到的局部数据进行整理、分析,并对所考察的对象的整体特性做出尽可能准确可信的推测和判断.其内容包括参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等.统计推断是数理统计的主体.,数理统计具有“部分推断整体”的特征 .,一、总体,在统计学中,我们将问题所涉及的研究对象的全体称为总体(或母体),而把组成总体的每个研究对象称为个体.,例如,在研究某批灯泡的平均使用寿命时,该批灯泡的全体就组成了总体,而其中每只灯泡就是个体.,总体,个体,6.1 总体

3、与样本,但是在统计学里,我们关心的不是个体的种种具体特征,而仅仅是它的某一项(或某几项)数量指标X以及X的分布情况. 例如上述例子中研究的是灯泡的寿命.此时,总体X是全体灯泡的使用寿命,个体是每个灯泡的使用寿命.,这样,若抛开实际背景,总体X就是一些数.由于个体的抽取是随机的,所以总体X中有大有小,有的出现的机会多,有的出现的机会少,因此用一个概率分布去描述和归纳总体是恰当的.从这个意义上看,总体就是一个分布,而其数量指标就是服从这个分布的随机变量.因此在理论上可以把总体与随机变量的概率分布等同起来.,某批灯泡的寿命,例如:研究某批灯泡的寿命时,关心的数量指标就是寿命,那么,此总体就可以用随机

4、变量X表示,或用其分布函数F(x)表示.,寿命 X 可用一概率(指数)分布来刻划.,统计中,总体这个概念 的要旨是:总体就是一个概 率分布.,类似地,在研究某地区中学生的营养状况时, 若关心的数量指标是身高和体重, 我们用X 和Y 分别表示身高和体重,那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示.,二、样本,总体分布一般是未知,或只知道是包含未知参数的分布.为推断总体分布及各种特征,一般情况下,对总体的每一个个体都进行观察或试验是不可能的,这是因为经济上、时间上不允许(如个体的数量很大),或观察试验是带破坏性的(如灯泡的寿命、炮弹的射程).因此,必须对总体进行抽样

5、观察.,按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息,这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量n.,2. 独立性: X1,X2,Xn是相互独立的随机变量.,由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统计推断,为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息,必须考虑抽样方法.,最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”,它要求抽取的样本满足下面两点:,1. 代表性: 样本具有随机性,即要求总体中每一个体都有同等机会被选入样本,因此 X1,X2,Xn中的每一个与所考察的总体有相同的分布.,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本.,今后如不加声

6、明,均指简单随机样本.,简单随机样本可以用与总体同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示.,=F(x1) F(x2) F(xn),若总体的概率密度函数为f(x)、分布函数为F(x),则其简单随机样本的联合概率密度函数为,=f(x1) f(x2) f(xn),其简单随机样本的联合分布函数为,统计是从手中已有的资料样本值，去推断总体的情况总体分布F(x)的性质.,总体、样本、样本值的关系,6.2 统计量与抽样分布,一、统计量,样本是总体的代表和反映,但我们在抽取样本后,并不直接利用样本进行推断,而需要对样本进行一番“加工”和“提炼”,把样本中所包含的关于我们所关心的事物的信息集中起来,这

7、便是针对不同的问题构造样本的某个函数,称之为统计量.,样本均值,样本方差,推导:,下面列出一些常用的统计量,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,k=1,2,k=1,2,比较:,顺序统计量,最小顺序统计量:,最大顺序统计量:,以上定义的各个统计量的观察值分别为:,证,所以,n 次随机取值的平均值的期望不变,而,但偏差比任一次取值的偏差缩小了n 倍,这是取多次测量均值的理论依据.,作为样本的函数,统计量是随机变量,因此它有自己的分布.称统计量的分布为抽样分布.,二、统计三大分布,定义,记为,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,分布的密度函数为,分布具有可加性,证,定理,(1) 可加性：,(2),标准正态分布的分位点:,查表，,分布的分位点:,例如，,记为Tt(n).,2、t 分布,定义,独立,则称随机变量,服从自由度为n的t分布，,偶函数,关于x=0对称.,当较大时,t分布接近于标准正态分布.,t分布的分位点:,查表，,3.上 分位点,若,则有,可查书后附表4,由对称性知,有,t分布性质与正态分布类似.,记为FF(m, n).,3、F 分布,定义,独立,则称随机变量,服从自由度为(m,n)的F分布，,F(n1,n2) 的