圆中最定值(修订版)(1)

1、.圆中最定值类型一、圆中将军饮马例 1、如图， ab 是 o 的直径， ab=10cm ，m 是半圆 ab 的一个三等分点， n 是半圆 ab 的一个六等分点， p 是直径 ab 上一动点，连接 mp 、np ，则 mp+np 的最小值是 _1、已知圆 o的面积为 3 ，ab为直径，弧 ac的度数为 80 度，弧 bd的度数为 20 度，点 p 为直径 ab上任一点，则 pc+cd的最小值为 _2、如图，菱形 abc中， a=60度， ab=3,e a、 e b 的半径为 2 和 1,p 、e、f 分别是 cd， e a和 e b 上的动点，则 pe+pf的最小值为 _类型二、折叠隐圆【基本原

2、理】（一箭穿心）点 a 为圆外一点， p 为圆 o上动点，连接 ao并延长交圆于 p1、p2，则 ap的最小值为 ap2, , 最大值为 a p1;.例、如图 4，在 边长为边上 一动 点，将 amn 长度 的最 小值 2 的菱 形 abcd 中， a=60 ， m 是 ad 边的 中点 ， n 是 ab 沿 mn 所在 的直 线翻 折得 到 amn，连接 ac，请 求出 ab1、已知一个矩形纸片oacb，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点 a（11，0），点 b（ 0，6），点 p 为 bc边上的动点（点 p 不与点 b、c重合），经过点 o、p 折叠该纸片，则 cb的最小值为 _2、四边形

3、 abcd中， ad bc，a=90,ad=1，ab=2,bc=3,p是线段 ad上一动点，将 abp沿 bp 所在直线翻折得到 qbp，则 cqd的面积最小值为 _类型三、随动位似隐圆例、在 rt abc 中， acb=90 ， bac=30 ，bc=6 点 d是边 ac上一点 d且 ad=23 ， 将线段ad绕点a旋转得线段，点f始终为的中点，则将线段cf最大值为adbd_分析 ：易知 d轨迹为以 a 为圆心 ad 为半径的圆，则在运动过程中ad为定值 23 ，故取ab 中点 g，则 fg为中位线， fg=1 ad= 3 ,故 f 点轨迹为以 g 为圆心， 3 为半径的圆。问题2实质为已知

4、圆外一点 c 和圆 g 上一点 f，求 cf的最大值。思路 2：倍长 bc到 b，则 cf为 bdb的中位线， cf=1 当, 最大时，也取最大值，2b d bdcf问题实质为 d 在圆 a 上运动至何处时， bd 取最大。;.【方法归纳】 1 、如图，点 a 和点 o1 为定点，圆 o1 半径为定值， p 为圆 o1 上动点， m 为 ap 中点 ? 点 m 运动轨迹为圆 o2，且 o2 为 ao1 中点。 2 、构造中位线1、如图，在 rtabc中， acb= 90，d 是 ac的中点， m 是 bd 的中点，将线段 ad 绕 a 点任意旋转（旋转过程中始终保持点 m 是 bd 的中点），

5、若 ac = 4， bc= 3，那么在旋转过程中，线段 cm 长度的取值范围是 _2、如图， abc是边长为 2 的等边三角形，以 ac为直径作半圆， p 为半圆上任意一点， m为bp中点，则在点 p 由 a 到 c运动过程中，点 m运动路径长为 _;.类型四、定性分析垂线段最短例、如图，半 圆 o 的半径 为 1， ac ab ， bd ab ，且 ac=1 ， bd=3 ， p 是半 圆 上任意 一点 ，则 封闭 图 形 abdpc 面积的 最大值 是 _【分析】：思路 1、连接 cd、梯形 abcd面积为定值，要使 封闭 图形 abdpc 面 积取 最大值， 则使 cpd面积取最小即可，

6、 cpd中，底边 cd为定值，则当高取最小值时，面积有最小值，故问题变成当点 p 在圆上运动至何处时，点 p 到 cd 距离最小。 c、d、 o为定点，则点 o到 cd距离为定值 , 计算 cd、oc、od长，由勾逆知 occd，设点 p到 cd距离为 h，则 h+r oc， h oc-r，即当 o、p、m三点共线时， h 有最小值，此时 m与点 c 重合，故 oc与圆 o交点即为所求点 p。思路 2：p 点的确定也可以这样想，平移 cd，设平移后的直线为 m，则直线 m与 cd 间的距离即为 cd边上的高，显然，当直线 m与圆 o相切时，高 h 有最小值。1、如图， p 为圆 o 内一个定点

7、， a 为圆 o 上一个动点，射线 ap,ao分别与圆 o 交于 b，c 两点，若圆 o 的半径为 3， op= 3 ，则弦 bc的最大值为 _2、如图， ab 为 o 的直径， c 为半圆的中点， c 的半径为 2，ab=8，点 p 是直径 ab 上的一动点， pm 与 c 切于点 m ，则 pm 的取值范围为 _;.类型五、定弦定角【基本原理】如图 o 中， a、b 为定点，则 ab 为定弦，点 c 为优弧上任一点，在 c 点运动过程中则 acb的度数不变 ? 逆运用 ? 如图 2、点 a、b 为定点，点 c 为线段 ab 外一点，且 acb= （为固定值） ? 点 c 在以 ab 为弦的

8、圆上运动（不与 a、b 重合）图 1图2例、如图， ab为定长，点 c为线段 ab外一点，且满足 acb=60度，请在图中画出点 c 的运动轨迹，简要说明作图步骤步骤 1、_步骤 2、_练习、如图， ab为定长，点 c 为线段 ab外一点，且满足 acb=120度，请在图中画出点 c 的运动轨迹 , 并写出圆心角 aob=_【实战应用】例、如图， o 的半径为 1，弦 ab=1，点 p 为优弧 ab 上一动点， acap 交直线 pb 于点 c，则 abc的最大面积是 _;.1、如图， abc是边长为 2 的等边三角形， d 是边 bc上的动点， be ad 于 e，则 ce的最小值为 _2、

9、如图， rt abc中， ab bc，ab=6，bc=4，p 是 abc内部的一个动点，且满足pab=pbc，则线段 cp长的最小值为 _类型六、定弦定角反客为主例、如图， xoy= 45 ，一把直角三角尺 abc的两个顶点 a、 b 分别在 ox、 oy上移动，其中 ab = 10，那么点 o 到顶点 a 的距离最大值为 _点 o 到 ab 的距离的最大值为 _【分析】：题意中 ab为定长线段在角的两边滑动， o为定点，滑动中 c为动点， ab两点位置发生变化，点 o到 ab距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借助物理中运动的相对性可知，若将 abc固定，将 xoy的两边绕 ab 滑动，与

10、原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。问题则变为当点 o 在圆上运动至何处时，点 o 到 ab 距离最大。1、如图， d,e分别为等腰直角三角形 abc的边 ac、ab 上的点，且 de=2 2 ,以 de 为边向外作正方形 defg，则 af的最大值为 _;.2、如图， abc中， abc= 45 ，ac=2，半径为5 的圆 o 始终过 a、c 两点，连接 ob，则线段 ob 长的的最大值为 _类型七、定弦定角条件的确定例、如图，扇形 aod中，aod=90，oa=6，点 p 为弧 ad 上任意一点（不与点 a 和 d重合），pqod于点 q，点 i 为 opq的内心，则当点 p

11、在弧 ad 上运动时，求 i 点运动路径长。 分析 ：由内心的基本结论知pio=90o1oop并非定弦，+pho=135为定角，但其所对的边2连 id，易证 aio oid， oid= pio=135o, 且其所对的边为 od，符合定弦定角条件，故 i 点轨迹为圆弧，问题易解。1、如图，边长为 3 的等边 abc，d、e 分别为边 bc、ac上的点，且 bd ce，ad、be交于 p 点，则 cp的最小值为 _;.2、如图， ac3，bc 5，且 bac90， d为 ac上一动点，以 ad为直径作圆，连接bd交圆于 e 点，连 ce，则 ce的最小值为（）类型八、隐切线例、已知 a（2，0），

12、 b（ 4， 0）是 x 轴上的两点，点 c 是 y 轴上的动点，当 acb最大时，则点 c 的坐标为 _分析 ：将 acb看作以 ab为弦的圆上的角， 则圆心在 ab 的垂直平分线上， 当圆心运动时， acb的大小也随之改变，又因为点 c 为为 y 轴上的点，所以可将点 c 理解为圆 o 与 y 轴交点。y 轴与圆 o 的位置关系有两种：相交或相切，当圆o 与 y 轴相交时，记交点为 c1，当圆 o与 y 轴相切时，记交点为 c，如图所示， ac1 2 由圆上的角大于圆外的角可知， acbb= ac b, ac2 ，故当圆o 于 y轴相切时，acb有最大值。考虑对称性可知， 点 c 的位置有

13、两个，by 轴正半轴和 y 轴负轴上各有一个点。;.1、已知点 a、b 的坐标分别是（ 0，1）、（0，3），点 c 是 x 轴正半轴上一动点，当 acb最大时，点 c 的坐标为 _在 rtabc中， bac=30，斜边 ab=2 3 ，动点 p 在 ab边上，动点 q在 ac边上，且 cpq=90，则线段 cq长的最小值 =_类型九、捆绑旋转例、已知 a（2，0）， b（5，0），点 p 为圆 a 上一动点，圆 a 半径为 2，以 pb为边作等边 pmb，求线段 am的取值范围。 分析 ：思路 1：要求 am的取值范围，则先确定 m点运动轨迹。由等边三角形联想共顶点的双等边结构，可构造和 p

14、bm共顶点 b 的等边 abh，则 apb hbm? hm=pa=2 ，所以点 m 运动轨迹为以 h 为圆心，半径为 2 的圆 h 上的点。am 过圆心时取得相应最大和最小值。思路 2：线段 bm 可看作由线段 pb 绕点 b 顺时针旋转 60 度得到，当点 p 在圆 a 上运动时，作出其绕点 b 顺时针旋转 60 度后的每一个对应点， 则其应点的集合就是点 m 运动轨迹。显然其轨迹为圆。因为每个对应点都是点 p 绕点 b 顺时针旋转 60 度得到，所以点 m 所在圆的圆心即为将 p 点所在圆圆心 a 绕点 b 顺时针旋转 60 度得到。 想象成钟摆绕点 b 顺时针旋转 60 度;.1、如图，

15、已知 a（2，0），圆 o半径为 1，点 b 为圆 o上一动点，点 c 在第一象限，且 abc为等腰直角三角形， bac=90度，求线段 oc的最大值 _2、如图，ab为 o的直径，ab=4，点 c为半圆 ab上动点，以 bc为边在 o外作正方形 bcde，（点 d 在直线 ab的上方）连接 od当点 c运动时，则线段 od的最大值为 _类型十、半径不确定的处理策略例、在 abc中,ab=4,bc=6,acb=30 ,将 abc绕点 b 按逆时针方向旋转 ,得到 a1bc1点. e 为线段 ab 中点 ,点 p 是线段 ac上的动点 ,在 abc绕点 b 按逆时针方向旋转的过程中 ,点 p 的对应点是点 p1,则线段 ep1长度的最大值为 _最,小值为 _ 分析 : 显然 bp=bp1,p1点轨迹为以 b 为圆心，bp为半径的圆，半径是多少呢？好象无法确定，因为点 p 为 ac上动点，则 bp长度有最小值和最大值。如图当 bp垂直 ac时，半径最小，当 p与 c 重合时，半径最大，由图可知 p1 点轨迹为以 b 为圆心的无数个同心圆。