2014年数学竞赛试题及答案

1、广 东 金 融 学 院 数 学 竞 赛 试 题系别_ 班 级_ 学号_ 姓名_ 考场_考号_一、（20分）计算:(1)已知,求(6分)解:因为,所以.所以(2) 求极限(8分)解: (3)求不定积分 (6分)解:二、（10分）设一袋中装有10个球,其中4个红球、3个白球、3个黑球，这些球除颜色不同外，其他完全一样，现有一个从袋中无放回摸球，每次摸一个，直到某各颜色的球都出现为止。如果4个红球都出现，则一等奖，奖金8960元；如果3个白球都出现，则获二等奖，奖金427元；如果3个黑球都出现，则获三等奖，奖金3.15元，以X表示该人获得奖金数，求X的分布律和平均获得的奖金数。解：用A表示红球，B表

2、示白球，C表示黑球，红球、白球、黑球都出现的概率分别用P1、P2、P3表示，用表示4个红球都出现时的摸球次数，则有P=4=，P=5=，故4个红球都出现的概率为而3个白球都出现与3个黑球都出现的概率相等,其值为故X的分布律为X89604273.15P9/3513/3513/35平均获奖数为三、（10分）已知线性方程组(1) 满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) 满足何种关系时,方程组有无穷多组解,并用基础解系表示全部解.解:系数行列式为(1)当时,方程组仅有零解;(2)下面分四种情况讨论:当时, 同解方程组为方程组有无穷多组解,全部解为:当时, 同解方程组为方程组有无穷多组解,全部解为:当时,

3、 同解方程组为方程组有无穷多组解,全部解为:当时, 同解方程组为方程组有无穷多组解,全部解为:四、（10分）已知,问:(1) 取何值时, 不能由线性表示?(2) 取何值时, 可由线性表示?并写出此表示式.解:因为所以(1)当时,线性方程组无解,此时不能由线性表示;(2) 当时,线性方程组有唯一解:于是可由唯一线性表示为: (3)当时,线性方程组有无穷多个解:其中k为任意常数,这时可由线性表示为:五、（10分）作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时，其体积V最小，并求出该最小值。解：设圆锥底面贺半径为R,如图所示, ,因为所以从而有于是圆锥的体积为其中因为由解得,由于圆锥的最小体积一

4、定存在,且是在内的唯一驻点,所以当时圆锥的体积最小,最小体积为:.六、（20分）一架敌机正以匀速v沿y轴正向飞近我国东海防空识别区,当飞机行至东海防空识别区边缘(即为坐标原点O)被我国雷达发现,此时在x轴上点(x0,0)( x00)处有我国的052D型驱逐舰,该舰接到命令向敌机发射导弹进行攻击,设导弹的速度方向始终指向敌机,其速度大小为常数2v,(1)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件;(2)求导弹运行轨迹方程及导弹自发射到击中敌机所需的时间T.解:(1)设导弹运行轨迹方程为y=y(x),在某时刻t0,敌机的位置为B(0,vt),导弹的位置为A(x,y(x),因导弹的速度方向始终指向敌机,

5、从而在时间t, 导弹运行轨迹的切线斜率等于线段AB的斜率,即两边对x求导得: (1)又导弹的速度大小为常数2v,得这里取负号的原因是x随t的增大而减少,代入(1)式,得y=y(x)满足的初始条件(2)令,方程变为 解得,即有于是求得导弹的轨迹为当导弹击中飞机时,其横坐标x=0,代入即得令求得.导弹自发射到击中敌机所需的时间为.七、（10分）设函数.其中x0,求解:法1. ,令得,所以有法2.设,则有所以有,由于和,所以有八、（10分）讨论无穷级数的敛散性,如果收敛求其和解:因为对任意正整数有而等比级数收敛,由比较判别法,原级数也收敛.又因为所以有无穷级数的前n项的部分和为:所以无穷级数的和为.

6、九、（10分）设某种商品每周的需求量X服从区间10,30上均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间10,30中的某一整数,商店每销售1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品公获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.解: 因为需求量X服从区间10,30上均匀分布,所以其概率密度为设进货数量为a,则利润为期望利润为依题意,有 即 解得 为使商店所获利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位.十、（10分）如图所示,两个相互外切的小贺同时内切于半径为R的大圆,三圆的圆心均在y轴上,大圆圆心到x轴的距离为2R,求阴影部分图形绕x轴旋转所得体积当两小圆半径为何值时达到最大?解:圆绕x轴旋转的体积为设小圆半径为r,则另一小圆半径R-r,从而三个圆的半径依次为R,r,R-r, 三个圆的圆心分别依次在y轴上的坐标为(0，2R)、（0，r+R）、(0，2R+r).则所述旋转休的体积为对上式关于r求导令其为0得解得只唯一驻点,所以当两个小圆的半径分别为时阴影部分图形绕x轴旋转所得体积达到最大十一、（10分）广东数学建模组委会历年文件里都提到如下三个组队注意事项： 1）、大赛以小组为单位进行，自由组队；2）、建议团队中最好一人擅长数学，一人擅