线性代数课本课件51

1、第五章向量空间初步,向量空间的理论起源对线性代数方程组解的研究，由其进一步抽象及一般化而发展起来的理论和方法，使解决一大类应用数学问题的方法得以系统化.,本章主要内容,5.1 基本概念,5.2 向量组的线性相关性,5.3 向量空间的基和维,5.4 向量的内积,5.1 向量空间基本概念,对给定的带任意自由项 b 的 m n 线性方程组,Ax = b,问自由项b应满足怎样的条件，方程组才相容?,定理表明,Ax = b 相容,该如何理解或解释这个条件？,写成,对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方程组,从而得到方程组的向量形式,则方程组有解的条件是 b 可作为,的线性组合,a1 ，a2 ， ，an,

2、定义 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集 合称为向量组,注 含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵,有限向量组,定义 给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数,定义 给定向量组A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一组实数 l1, l2, , lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示,例 设

3、,那么,线性组合的系数,e1, e2, e3的 线性组合,注 任何一个n维向量,都可由 n维基本,向量组,1 = (1, 0, , 0), 2 = (0, 1, 0), , n = (0, 0 ,1),线性表示.,线性表示的系数恰好是向量 b 的各个分量.,向量的线性表示与方程组有解之间的关系,因为,所以,向量b 能由向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,方程组的一个解就是一组表示系数,.,例 设,判定向量 是否可由向量组,解,设 = k11+k22+k33 , 即,由矩阵相等的定义, 得,如果可以, 写出他们的线性表示式.,解此方程组, 得唯一解,向量 可以由向量组,例 设a

4、1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求出表示式,设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b),因为,所以r(A)r(B) 因此向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示,由上列行最简形 可得方程(a1 a2 a3)xb的通解为,从而得表示式 b(a1 a2 a3)x (3c2)a1(2c1)a2ca3 其中c可任意取值,试问对怎样的自由项 b 方程组相容.,例 对给定的线性代数方程组,解,这是个32的线性代数方程组，由于方程个数大于未知数个数，一般讲，这样的方程组会

5、是不相容的.,记为,为讨论，先将方程组改写成向量形式,若 b=a1, 则,是方程的一个解，,也是方程的一个解，,方程组都相容.,一般地, 若b是a1, a2的某一线性组合 1a1+ 2a2时，,方程组的一个解, 反之, 当b不能表,示成a1, a2的线性组合，,方程组是不会有解的.,若将向量a1, a2的一切线性组合成集合记为S:,则 方程组有解的充要条件是 bS.,向量集合S具有性质,这两条性质统称为集合S对向量的线性运算封闭,定义 对n维向量(n 1矩阵)的集合V,若V,对向量的线性运算封闭，则称V是向量空间或线性空间(vector space, lineal space).,全体n维向量

6、的集合Rn是向量空间；,当Rn的子集V构成向量空间时, 常称V是 Rn的向量子空间，简称子空间.,由例1知，S是向量空间，且是R3的子空间，而使方程有解的自由项向量必须在这个空间之中.,几何解释 当且仅当自由项向量b的对应径向量落在平面S上时, 方程组有解.,定义 设a1, a2, ak是Rn中的向量，称由其一切,线性组合所构成的向量空间为a1, a2, ak的生成空间，,记作span(a1, a2, ak),即,例 对m n矩阵A=aij按列分块，成,A=a1 a2 an,Rm的子空间，常记作R(A)，并称为矩阵A的列空间或,A的值域(rang)，即,则A的全体列向量a1 , a2 , , an所生成的向量空间是,可等价写成,对一般线性代数方程组成立如下定理,条件是,因此,例 试证m n齐次线性代数方程组Ax=0,的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间.,解,已知齐次线性代数方程组的解集非空，,若记此