第一章乘法公式与多项式 - 当两条线段(或直线)相交成直角时.ppt

1、當兩條線段(或直線)相交成直角時，我們稱這兩線段(或直線)互相垂直。習慣上，我們以符號來表示垂直。如圖中，AOB 為一直角，即表示BO 與 AO 垂直，可把它記為BOAO，讀作BO 垂直於 AO。同樣的，圖中，直線 L 與直線 M 交角成 90 度(直角)，也可以記為LM。,互相垂直的兩線段(或直線)的交點稱為垂足，如圖、圖中的 O 點；而與一線段(或直線)垂直的直線稱為該線段(或直線)的垂線，如圖中，直線 M是直線 L 的垂線，也可以說，直線 L 是直線 M 的垂線。,接著來討論線段與角的平分。 在摺紙時，我們通常利用對摺的方法將圖形平分，如圖，將 AB 對摺，使兩個端點 A、B 疊合在一起

2、，此時，N 點將 AB 分成兩個等長的線段，即 ANBN，我們就說 N 為 AB 的中點，也就是 N 點平分 AB。而通過 N 點且與 AB 垂直的直線(摺線 L)，就稱為 AB 的垂直平分線(或中垂線)。,同樣的，我們也可以利用對摺的方式平分一個角，如圖，將AOB 對摺，使 OA 與 OB 疊合在一起，此時，摺線 OE 把AOB 平分成兩個相等的角，也就是AOEBOE，我們就稱直線 OE (或 OE )為AOB 的角平分線(或分角線)，也就是 OE 平分AOB。,如右圖，已知 ABBC，BE 平分ABD，BF 平分 CBD，則EBF？,如右圖，若 A、O、B 三點共線，且 OD 是AOC 的

3、角平分線，OE 是BOC 的角平分線，求DOE？,剪紙不只是臺灣的傳統藝術，它也蘊含了數學知識呵！讓我們透過下面剪紙的圖案一起來探討線對稱圖形吧！,將一個圖形沿著某一條直線對摺，如果直線兩側的部分能完全重疊，這樣的圖形稱為線對稱圖形，而這條對摺線就稱為該圖形的對稱軸，疊合的點稱為對稱點，疊合的角稱為對稱角，疊合的線段稱為對稱線段。,如圖，拿出附件，沿虛線將紙張對摺，並用剪刀沿著黑色線剪開，再將剪下來的圖形攤開，即得星形的線對稱圖形，如圖。,在圖中，對摺線 AF 就是圖形的對稱軸。C 點的對稱點是 I 點，D 點的對稱點是 H 點；C 的對稱角為I，E 的對稱角為G；AB 的對稱線段為AJ，CB

4、 的對稱線段為 IJ 等等。,對稱軸,對稱線段,C點, I點為對稱點 C, I為對稱角,觀察下列圖形是不是線對稱圖形。如果是，請畫出它所有的對稱軸。 等腰三角形 正方形 菱形 箏形, 等腰三角形是線對稱圖形，有 1 條對稱軸。 正方形是線對稱圖形，有 4 條對稱軸。 菱形是線對稱圖形，有 2 條對稱軸。 箏形是線對稱圖形，有 1 條對稱軸。,圓形是不是線對稱圖形？如果是，有幾條對稱軸？,圓形是線對稱圖形，且每一條直徑都是對稱軸， 所以圓形有無線多條對稱軸。,畫出下列圖形的所有的對稱軸。 等腰梯形 長方形 正五邊形 正六邊形,觀察前面附件所剪下來的星形線對稱圖形，如圖，並回答下列問題。 連接 B

5、J、DH，分別與 AF 交於 P、Q 兩點， 如圖，則： BP 和 JP 相等嗎？ DQ 和 HQ 相等嗎？ APB 和APJ 相等嗎？ AQD 和AQH 相等嗎？ 1 和2 相等嗎？ AF 是否為 BJ 及 DH 的中垂線？ I、G 分別是 C、E 的對稱點，若連接 CE 及 IG，則 IG 是否為 CE 的對稱線段？,相等。,相等。,相等。,相等。,相等。,是。,是。,線對稱圖形的對稱軸必垂直平分任意兩對稱點連接的線段。,從問題探索 1 我們知道，將圖的對稱點連接起來的線段，如：BJ、DH，會與對稱軸 AF 互相垂直，且被對稱軸平分，即：,圖中，對稱軸 AF 上的點 A、F，它們的對稱點各

6、是哪個點？,在對稱軸上的點，其對稱點即為本身， 也就是 A 的對稱點為 A，F 的對稱點為 F。,由例題 2 可知，等腰三角形、正方形、菱形、箏形都是線對稱圖形。接下來，我們就來看看這些多邊形還有哪些對稱的性質？ 等腰三角形： 如圖，等腰ABC 中，CD 為對稱軸，A、B 為對稱點， 所以 CD 垂直平分 AB，且 CD 平分ACB， 即 CDAB，ADBD，且12。, 正方形： 如圖，正方形 ABCD 中，BD 為對稱軸，A、C 為對稱點， 所以 BD 垂直平分 AC，即 BDAC，且 OAOC； 同樣的，因為 AC 也為對稱軸，B、D 為對稱點， 所以 AC 垂直平分 BD，即 ACBD，

7、且 OBOD。, 菱形： 如圖，菱形 ABCD 中，BD 為對稱軸，A、C 為對稱點， 所以 BD 垂直平分 AC，即 BDAC，且 OAOC； 同樣的，因為 AC 也為對稱軸，B、D 為對稱點， 所以 AC 垂直平分 BD，即 ACBD，且 OBOD。, 箏形： 如圖，箏形 ABCD 中，AC 為對稱軸，B、D 為對稱點， 所以 AC 垂直平分 BD，且 AC 平分BAD 與BCD， 即 ACBD，OBOD，且12，34。, 等腰三角形：對稱軸垂直平分底邊，且平分頂角。 正方形：兩對角線互相垂直平分。 菱形：兩對角線互相垂直平分。 箏形：一對角線垂直平分另一對角線，且平分兩個內角。,如右圖，

8、已知五邊形 ABCDE 是以 直線 L 為對稱軸的線對稱圖形，其 中CD90，AE10cm、 DE12cm、DF6cm，求五邊形 ABCDE 面積。,如右圖，四邊形 ABCD 是以 BD 為對稱軸的線對稱圖形，若 AB6 公分，OC4 公分，ADB45，則： ACD？ ABC 的面積？,利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的 線對稱圖形。,利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。,如圖，四邊形 ABCD 為正方形，因為正方形的對角線 AC 是對稱軸，因此 B 點和 D 點互為對稱點，即正方形對角的頂點互為對稱點。利用這個結論，我們可以在方格中完成較複雜的線對稱圖形。,利用方格，完成以直線

9、 L 為對稱軸的 線對稱圖形。,利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。,由前面的介紹我們可以知道，要判斷一個圖形是否為線對稱圖形，我們可以利用對摺的方式，如果對摺後，摺線兩側的部分完全重疊，那麼這圖形就是線對稱圖形，而且摺線就是對稱軸。接下來，我們就利用摺紙來剪出線對稱圖形。,依照下圖指示，先將紅色的正方形色紙對摺兩次後，在右上角沿 AB 剪一刀(其中 OAOB)，請問： 剪下ABO後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？ 承，展開後的圖形是否為線對稱圖形？如果是，有幾條對稱軸？, 其展開的過程與原紙張摺疊的過程剛好相反， 所以只要逆推回去即可找出展開圖形。 故選 B 是；摺痕就是對稱軸

10、，所以共有 2 條對稱軸。,承例題 6，若依照下圖指示對摺兩次，剪下三角形後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？ 。,(C),依照下圖指示，先將紫色的正方形色紙對摺兩次後，在右方剪一刀，如下圖所示，請問剪下三角形後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？,其展開的過程與原紙張摺疊的過程剛好相反， 所以只要逆推回去即可找出展開圖形。 故選 (C),承例題 7，若依照下圖指示對摺三次，剪下三角形後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？ 。,(A),過已知線段中點且與該線段垂直的直線。 已知線段 AB，D 為 AB 中點，若直線 L 過 D 點， 且垂直 AB，則直線 L 即為 AB 的垂直平分線。,將已知角平

11、分為兩個等角的直線(或線段)。 已知ABC，若直線 BD(或 BD)平分ABC，即 ABDCBD，則直線 BD(或 BD)即為ABC 的 角平分線。,將一個圖形沿著一條直線對摺，如果直線兩側的部分 能完全疊合，則此圖形稱為線對稱圖形，而這條直線 就稱為該圖形的對稱軸。 如右圖，因為ABC 可以完全疊合到ADC，所 以右圖是一個線對稱圖形，且直線 L 為此圖形的對 稱軸。,對稱軸為任意兩對稱點連接線段的垂直平分線。 右圖為線對稱圖形，B、D 為對稱點，則直線 L 會 垂直平分 BD。, 等腰三角形：對稱軸會垂直平分底邊，且平分頂角。 如圖，ABC 為等腰三角形，則 ADBC，BDCD， 且12。

12、 正方形：兩對角線互相垂直平分。 如圖，四邊形 ABCD 為正方形，則 ACBD、且 OAOC、OBOD。, 菱形：兩對角線互相垂直平分。 如圖，四邊形 ABCD 為菱形，則 ACBD、且 OAOC、OBOD。 箏形：一對角線垂直平分另一對角線，且平分兩個內角。 如圖，四邊形 ABCD 為箏形，則 ACBD、OBOD， 且 AC 平分BAD 和BCD，即12，34。,判斷下列各圖形是否為線對稱圖形，是的打，並畫出該圖形的對稱軸；不是的打。,利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。,在下面的方格中： 畫出以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 繼續以直線 M 為對稱軸，畫出線對稱圖形。,已知坐標平面上一點 A(4 , 3)，試根據下圖回答問題。 若以 x