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第二节 留 数,一、留数的引入,二、利用留数求积分,三、在无穷远点的留数,四、典型例题,五、小结与思考,2,一、留数的引入,.,的某去心邻域,3,4,定义,5,二、利用留数求积分,说明:,2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在,C内各孤立奇点处的留数.,1.留数定理,1.柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数 公式都是留数定理的特殊情形；,6,证,证毕,两边同时除以 且,如图,7,2.留数的计算方法,如果 为 的一级极点, 那末,规则1,成洛朗级数求,8,如果 为 的 级极点,规则2,证,那末,9,+(含有 正幂的项),证毕,得,10,规则3,如果,证,的一级极点,且有,11,因此,其中 在 解析且,为 的一级极点,12,四、典型例题,解,13,分析,由规则2得,计算较麻烦.,14,解,15,说明:,如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,2. 在应用规则2时,取得比实际的级数高.,级数高反而使计算方便.,1. 在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般不要将m,但有时把m取得比实际的,如上例取,16,解,17,解,为一级极点,为二级极点,18,19,由规则3,解,20,21,五、小结与思考,本节我们学习了留数的概念、计算以及留数 定理. 应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极 点处留数的求法, 并会应用留数定理计算闭路复 积分.
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