初等几何研究第一章习题的答案(3)

1、3、 关于比例相似形从 ABCD的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为E、F、G、H,求证：DACBEFGGH()EFGH是 ;() EFGH ABCD.证明:(1)AEBD DHAC A、D、E、H四点共圆（视角相等） OEH=OAD同理 OGF=OCB 又ADBC OAD=OCB OEH=OGF EHGF 同理 EFGH 四边形EFGH为平行四边形 （）OEHOAD . EFGH与 ABCD对角线夹角相等且对角线又成比例 EFGH ABCD 3.已知：AD是ABC的中线，过C的一直线分别交AD、AB与E、F。 求证：AEBF=2AFED证明：延长CF至点H，使得CE=EH连结BH 点D是B

2、C上的中点 DE是CBH的中位线 即DEBH且DE= BH DEBH CED=CHB=AEF AFE=BFH AFEBFH,且BH=2ED AEBF=2AFED4.直线l与ABCD的边AB、AD和对角线AC依次相交于E、F和G。求证：证明：连结BF、BE、CF和CE， FADGEB C HDCAB5.AB、CD是等腰梯形ABCD的二底，求证：证明：作CD的延长线到点H，使得AH垂直CH 作点C的延长线，使得CP垂直AB CFDBAE6.AD是RtABC斜边上的高,作DEAB于E,DFAC于F.求证：AD3=BCBECF证明: AD2=BDDC, BD2=BEBA, CD2=CFCA, AD4=

3、BECFABAC=BECFBCAD约去AD,得AD3=BCBECF7.在ABC中，A=60，B=80。求证：ACAB=AB BC。ACBD证明：AC=AB(AB+BC),延长AB至D，使得BD=BC。 如图,于是，容易得出ACB=40=ADC。ACDABC =AC=ABAD=AB(AB+BC)8.ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB于D、E、F，P在ABC内，若PD平分BPC， PE平分CPA，求证：PF平分APB证明：因为PD平分BPC，所以由角平分线定理有(1) 同理，（2），(1) *(2)得 则PF平分9.直径为d1、d2的O1、O2外切于T，A1、A2是它们一条外公O13T142

4、O2MA1A2切线的切点.求证：A1A22=d1d2.证明： 过切点T作内公切线交A1A2于M，如图所示，连接O1A1，O2A2，O1O2，设O1、O2的半径分别为r1、r2 又 CBAD10.在ABC中，已知=2.求证： BC2=AC (AC+BC)证明；延长CA至D,使AD=AB，如图所示 AD=AB D=ABD 又A=2B=D+ABD D=ABD=B ABD的外接圆切BC于B BC2=CA CD=AC(AC+AB)11、过C作射线CE交BA的延长线于E，使设 3、 关于比例相似形12. 在ABC中，A1B1C1分别在BC、CA、AB上使得且BAC=B1A1C1，求证：A1BC1ABC.证

5、明:在BC上去一点A2，使得 B1A2AC1，A2C1AB1 AB1A2C1是平行四边形A=C1A2B1，B=B1A2A1 C1A2B1=B1A1C1 B1C1A2A1四点共圆B1C1A1=B1A2A1=B(共弦) A1BC1ABC13.在非菱形的平行四边形ABCD中，AC:BD=k,M是这样的点：射线AM与射线AD关于AC对称，射线BM与射线BC关于BD对称，求AM:BM.证明：1+2=1+2=AOB 1+2+AOB+AMB=360 2AOB+AMB=2(AOB+AOD)AOD=AMB 作O到ADAMMBBC的 高分别为H1H2H3H4 OA平分DAM.OB平分MBC h1=h2 h3=h

6、又O是ABCD的中心h1=h4 h1=h2=h3=h4 OM平分AMB M是D关于AC的对称点AMOAOD 综上有OMBAM 有=,=()2=()2=k2 13.把ABC绕其外接圆圆心小于180的某一角度旋转得A1B1C1，对应边AB、A1B1交于C2，BC、B1C1交于A2，CA、C1A1交于B2，求证：A2B2C2ABC .证明：ABC绕其外接圆圆心旋转度，得到A1B1C1 连接BB1,CC1 ABC=A1B1C1 C2A2B1B四点共圆 即1=1A1C1B1=ACB C1B2A2C四点共圆 3=3= 2=2 C2A2B2=180(1+2+3)C2A2B2=180(ACB+ABC+) C2

7、A2B2=180(ACB+ABC)C2A2B2=A 同理可得，B2C2A2=ACB A2B2C2ABC 15.四边形ABCD内接于O,将它绕圆心O旋转小于180的某一角度而得四边形A1B1C1D1.求证：四边形对应边AB、A1B1;BC、B1C1;CD、C1D1;DA、D1A1;的交点是平行四边形之顶点。证：MOA2=NOB2故A2OB2+D=180 于是有O、A2、D、B2四点共圆因此1=ODB2，5=ODA2同理：O、A2、C、D2四点共圆因此3=OCD2，4=ACO同理：O、D2、B、C2四点共圆因此6=OBC2，7=OBD2 同理：O、C2、A、B2四点共圆 因此8=OAB2，9=OA

8、C2又因为：ODB2=OAB2，ODA2=ACO,OCD2=OBD2，OBC2=OAC27+8=OBD2+OAB2,1+3=ODB2+OCD2所以：7+8=1+3，即：B2C2D2=B2A2D2又：9+5=OAC2+ODA2，6+4=OBC2+ACO所以：9+5=6+4，即：C2B2A2=C2D2A2所以：四边形A2B2C2D2为平行四边形，四边形对应边AB、A1B1，BC、B1C1，CDC1D1，DA、D1A1的交点是一平行四边形之顶点。16已知：I是ABC的内心，延长AI交BC于D,ABC中三顶点A，B，C的对边为a，b，c.求证：AI:ID =(b+c):a证明：利用角平分线的性质。 I

9、是内心，BI平分B, AI:ID=AB:BD AI:ID=AB:BD=AC:DC 由等比性质得：=17.在下图中，用阴影标出的4个三角形面积相等。求证：没有阴影的3个四边形之面积也相等。如果一个三角形的面积为1，那么一个四边形的面积等于多少？A2C2B2AB1CBA1C1S1S7S3S6S4S5S2证明：如图所示，连接AA2，C1C2。假设，=a, =b, =c, C1C2/AA2 B2C1C2B2A2A a=1+(2). C1C2/AA2 由已知 可得 CA2A2B2B2C1=a1 A2是CC1的中点 同理，B2，C2分别是AA1，BB1的中点。(3) A2是CC1的中点 S5+S4=S6+S2 S5=S6（已知S2=S4） 同理，S6=S7 即，S5=S6=S7(4)由C1C2/AA2 知 故当S1=1时，S5=S6=S7=18.已知：R、r分别为ABC之外接圆