西电射频微波教程24

1、第24章,介质格林函数法(),Dielectric Greens Function Method,先归纳一下前面有关方法论的工作,图 24-1 研究问题的方法,一、Green函数的基本概念,1. 函数 函数是广义函数,(24-1),(24-3),(24-2),函数有各种物理解释，其中之一是“概率论”中必然事件的概率密度。 2. Green函数 Green函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，而且在力学、流体、空气动力诸方面都有应用，其问题提法是：复杂区域V，在内部有任意源g，已知场u服从,(24-4),一、Green函数的基本概念,图 24-2 (x)函数,一、Green函数的基本概念,图 24

2、-3 Green函数问题,一、Green函数的基本概念,对于 (r/r)特殊源所对应的是Green函数，有 (24-5) 为了普遍化，我们把 函数的归一性积分写成 (24-6) Dirac内积符号，表示积分或，注意 对 起作用。 L对 起作用，可以建立恒等式,一、Green函数的基本概念,(24-7) 根据Operater的线性有 (24-8) 对比 可以得到 (24-9),一、Green函数的基本概念,归结出：只要求出某一类(特定支配方程和边界条件)问题的Green函数，那么，这一类问题中任意源 在点 造成的场 只需由 和 函数的广义内积求得。 最简单的如三维静场 (24-10) 若简洁写成

3、,一、Green函数的基本概念,可知对应的Green函数是 (24-11),一、Green函数的基本概念,从更广义的物理方法论来理解：式(24-5)可以看成是(24-4)即原问题的伴随问题，若令 且La=L(术语上称之为自伴)，也即 (24-12),按这一观点,一、Green函数的基本概念,由于 函数的特殊性质，实际上式(24-13)可进一步写成 (24-14) 而式(24-14)正是互易定理的表达形式。,(24-13),如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出Green函数。 采用镜象法的基础是Maxwell方程组的唯一性定理。 它可以叙述为：在给定区域符合微分方程和边界条件的解是唯一的。

4、因此，也可以反过来说，只要符合方程和边界条件，则这个解必定正确。 所谓镜像法，其第一要点是分区求解；第二要,二、镜象法,点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符合求解区域之内的方程及边界条件。 例1 半无限空间导体前的点电荷(也即 源)。 解 先写出分区解和分区边界条件 支配方程 (24-15),二、镜象法,边界条件,图 24-4 导体镜像法分区求解,二、镜象法,其中， 为导体面电荷。很明确：解是分区的。 现在采用镜像法 根据图24-5，很易看出： (24-17) 式(24-17)满足支配方程(24-15)是显然的。,二、镜象法,下边考察其边界条件情况。 (1)当x=0,二、镜象法,(2

5、)再研究导数条件,求解时，在Region加镜像电荷(q) 求解时，在Region加镜像电荷(q) 图 24-5 镜像电荷均加在求解区域之外,二、镜象法,对比边界条件式(24-16)，易知 (24-18) 为了验证的面电荷密度性质，验证下列积分，采用yoz的极坐标，即dydz=rdrd (24-19),二、镜象法,作为副产品易知，这种问题的Green函数 于是 (24-21) 上面整个过程即采用镜像法求取Green函数。,二、镜象法,图 24-6 yoz的极坐标,二、镜象法,二维问题的介质Green函数的一般模型如图24-7。在右半空间d处放一无限长线电荷，密度为。,三、二维介质Green函数,

6、图 24-7 介质镜像法,同样，分区域求解 支配方程 (24-22) 边界条件 (24-23),三、二维介质Green函数,求解Regiou 在假设 求解Region 在假设镜像 图 24-8 介质分区域求解，,三、二维介质Green函数,所有镜像均在求解区域外。 Note：在我们假设中，两空间均是0，当然也可以 是0r。 求解Region时，实际上包括真实电荷 和镜像。 这样模型满足支配方程是没有问题的，现写出 (24-24),三、二维介质Green函数,也可以改写为 (24-25) 式中 (24-26),三、二维介质Green函数,现在，让我们考察解与边界条件的关系。 于是由函数边界条件有 (24-27),三、二维介质Green函数,导数边界条件,三、二维介质Green函数,又得到 (24-28)