第4章：多自由度系统的振动.ppt

1、第一篇 离散系统的线性振动,第4章 多自由度系统的振动,第4章 多自由度系统的振动,选择动力自由度的原则:,抓住要点，力求简单！,本章重点：,4-1 双自由度系统的振动,最简单的多自由度系统,研究多自由度系统振动的基础,工程实例,第4章 多自由度系统的振动,多自由度系统的动力特性，振型的概念！,第4章 多自由度系统的振动,4.1.1 运动方程的建立,平衡条件:,矩阵形式:,4.1.1 运动方程的建立,第4章 多自由度系统的振动,简记为:,K刚度矩阵,C阻尼矩阵，,M质量矩阵，,用粘滞阻尼系统的拉格朗日方程来建立系统的运动方程:,矢量形式 :,除阻尼力以外的非保守力。,代入式(4.1.4):,拉

2、格朗日方程建立运动方程,第4章 多自由度系统的振动,4.1.2 双自由度系统的无阻尼自由振动,运动方程:,一般形式:,设解:,齐次方程:,非零解条件 :,4.1.2 双自由度系统的无阻尼自由振动,第4章 多自由度系统的振动,频率方程:,特征根固有频率:, 1第一阶固有频率：,代入齐次方程组 (4.1.9)，得,2第二阶固有频率：,代入齐次方程组 (4.1.9)，得,频率方程与特征根,第4章 多自由度系统的振动,固有模态：,叠加法求多自由度系统的自由振动响应的通用方法,令 ：,矩阵形式：, 模态矩阵或振型矩阵，,q(t)广义位移矢量 。,固有模态与振型分解,第4章 多自由度系统的振动,四个待定常

3、数：,四个初始条件：,可以 定解！,图示双自由度系统， k1=k2= k3= k , m1=m2=m，求固有频率和固有振型。,解：,【例4.1.1】,例4.1.1,第4章 多自由度系统的振动,特征方程：,例4.1.1续,第4章 多自由度系统的振动,试求图示系统的固有频率与振型。,解:,【例4.1.2】,例4.1.2,第4章 多自由度系统的振动,4.1.2 双自由度系统的无阻尼受迫振动,运动方程:,图示系统，运动方程为：,设解:,4.1.2 双自由度系统的无阻尼受迫振动,第4章 多自由度系统的振动,设系统的固有频率为1和 2，系数矩阵可表示为：,解出：,频响函数：,(4.1.32),(4.1.3

4、1),频响函数,第4章 多自由度系统的振动,幅频响应曲线,全解 =齐次解 + 特解,四个待定常数仍由初始条件(4.1.17)确定！,幅频响应曲线,第4章 多自由度系统的振动,4.1.3 双自由度系统的有阻尼受迫振动 动力消振器,动力消振器模型,无阻尼情况：,稳态解：,系数行列式：,动力消振原理：,4.1.3 双自由度系统的有阻尼受迫振动 动力消振器,第4章 多自由度系统的振动,有阻尼情况：,稳态解 :,F1复激振力的力幅 ；,X1 , X2响应的复幅值 。,式(4.1.38)代入(4.1.37)，得,动力消振器,第4章 多自由度系统的振动,振幅 ：,动力消振器(续),第4章 多自由度系统的振动

5、,结论 :,起消振作用的频率范围很窄，在主系统的固有频率附近。,阻尼的存在，主质量的振幅不可能抑制到零，但可控制在一个较小的范围；,原系统只有一个固有频率和共振峰；现在有两个固有频率和两个共振峰；,动力消振器响应谱,第4章 多自由度系统的振动,4-2 多自由度系统自由振动的一般理论,4.2.1 运动方程的建立,建立运动方程的基本方法,直接平衡法:,适合于自由度较少的集中质量离散系统；,能量法：,适合任意的多自由度系统；,分布质量系统，离散化，有限单元法。,N质点 , 具有L个完整约束，n自由度系统,研究对象：,动能：,势能：,拉格朗日广义函数 ：,4-2 多自由度系统自由振动的一般理论,第4章

6、 多自由度系统的振动,4.2.2 固有频率和固有振型,自由振动解 ：,A振幅矢量,x 位移矢量,无阻尼固有频率,初相角,齐次方程组 ：, 无法确定A中的所有元素，但可确定其相对比值； A中的 n-1个未知元素和 , 可由方程(4.2.6)唯一确定。,特点：,特征值问题：,为特征值，A为特征矢量。,非零解条件 频率方程：,频率方程关于 2的n个根，即系统的固有频率。,4.2.2 固有频率和固有振型,第4章 多自由度系统的振动,性质1. 动能T正定，即M正定，且M和K对称，则 i2 必为实根；,证明：,设满足方程(4.2.6)的某个特征对= 2 和A为复数，则有,M和K为对称矩阵,以上二式相减 :

7、,M正定 :,证毕 #,性质2. 若势能V也是正定，即K正定，即系统具有足够的约束，不会发生刚体位移 ，则 i2 必为正的实根；,证略。,特征根性质,第4章 多自由度系统的振动,设系统的 n 个特征值互异:,系数矩阵奇异，矩阵的秩= n1。,计算A i 的具体过程 ：,任选 n1个方程; 取A i 中某个元素为单位1，化为 n1阶非齐次方程组; 求解得A i ，作归一化处理得归一化振型 i 。,n 个特征对：,特征矢量的计算过程,第4章 多自由度系统的振动,特征矢量的计算过程(续),第4章 多自由度系统的振动,例4.2.1 计算例3.4.3中三层框架的固有频率和固有振型。,解:,特征方程：,例

8、4.2.1,第4章 多自由度系统的振动,例4.2.1续,第4章 多自由度系统的振动,例4.2.2 求例3.4.4所述系统的固有频率和振型矩阵。,解:,特征方程：,例4.2.2,第4章 多自由度系统的振动,4.2.3 主坐标,在特定的初始条件下，系统可能以单一的振型振动主振动, ji ( j =1 , 2 , , n) 第i 阶归一化振型矢量的各元素,自由振动一般解:,主坐标:,坐标变换的矩阵形式 :,振型矩阵 ：由各归一化振型矢量 i 组成的矩阵；,x为物理坐标，X为振型坐标特殊形式的广义坐标。,4.2.3 主坐标,第4章 多自由度系统的振动,4.2.4 振型矢量的正交性,运动方程的特点：,耦

9、合，求解困难，费时！,解耦，变成 n 个独立的单自由度系统 。,措施：,前提：,坐标变换，基矢量具有正交和完备的性质。,第i 阶主振动 :,第j 阶主振动:,4.2.4 振型矢量的正交性,第4章 多自由度系统的振动,模态质量:,模态刚度:,等效模态单自由度:,正交性条件:,系统的动能和势能可以用主坐标表示 !,拉格朗日方程,主坐标表示系统的动能和势能,第4章 多自由度系统的振动,4.2.5 振型矢量的归一化,方法1:,令振型矢量中最大的元素等于单位1 ;,方法2:,关于质量矩阵归一化的振型矩阵：,4.2.6 初始条件,由物理坐标的初始条件确定模态坐标的初始条件：,4.2.5 振型矢量的归一化,

10、第4章 多自由度系统的振动,分量形式：,4.2.6 初始条件,第4章 多自由度系统的振动,4.2.7 关于特征根的重根问题,不失一般性，假定某一特征根为二重根：,系数矩阵的秩等于n2。,4.2.7 关于特征根的重根问题,第4章 多自由度系统的振动,4-3 多自由度系统的有阻尼自由振动,瑞雷耗散函数：,拉格朗日方程：,运动方程：,方程解耦的关键：阻尼矩阵 C的对角化！,4-3 多自由度系统的有阻尼自由振动,第4章 多自由度系统的振动,4.3.1 阻尼的处理,瑞雷阻尼:,振型折算阻尼系数:,通常利用前两阶振型的阻尼比来近似计算 和,1和2可通过实验方法测试，也可以根据经验来选定 !,4.3.1 阻

11、尼的处理,第4章 多自由度系统的振动,高阶的阻尼比:,瑞雷阻尼扩大了高阶阻尼，即抑制了高阶振型对响应的影响 !,振型叠加法:,模态截断求系统的响应:,瑞雷阻尼的振型阻尼比,第4章 多自由度系统的振动,4.3.2 响应的计算,坐标变换按振型分解:,根据正交性条件(4.2.28)和(4.3.5)以及关系(4.3.6),运动方程：,单自由度系统的运动方程，根据初始条件求解。,4.3.2 响应的计算,第4章 多自由度系统的振动,初始条件:,分量形式:,模态坐标 X i的自由振动响应:,按振型叠加求响应 :,模态坐标方程 :,模态坐标响应,第4章 多自由度系统的振动,4-4 多自由度系统的受迫振动分析,

12、4.4.1 概述,运动方程：,模态分析法：,运动方程解耦；,选用较少的低阶模态反映响应的总体特征 ；,直接用振型阻尼比 i 计算响应；,只能适用于线性系统；,选取振型的阶数与荷载的频谱特性有关。,选用较少的高阶模态反映响应的局部变形特征 ；,4-4 多自由度系统的受迫振动分析,第4章 多自由度系统的振动,在每个小区间内直接对运动方程进行积分;,适合于任意系统 ;,具有低通滤波的作用，f c=1/t,逐步积分法：,弹性阶段，先解耦，再求模态坐标的受迫振动响应。,4.4.2 无阻尼受迫振动的响应计算,运动方程 ：,(1) 简谐荷载引起的振动及系统的共振,共振法测固有频率。,4.4.2 无阻尼受迫振

13、动的响应计算,第4章 多自由度系统的振动,(2) 任意荷载引起的振动与模态分析法,正交性条件,初始条件 :,模态坐标的无阻尼受迫振动响应:,(2) 任意荷载引起的振动与模态分析法,第4章 多自由度系统的振动,4.4.3 有阻尼受迫振动的响应计算,(1) 简谐荷载引起的稳态响应,代入方程， 比较系数,周期荷载: 按富里叶展开;,一般荷载: 联合运用模态分析法和数值积分法。,运动方程 ：,4.4.3 有阻尼受迫振动的响应计算,第4章 多自由度系统的振动,(2) 模态分析法求任意荷载引起的稳态响应,初始条件 :,(2) 模态分析法求任意荷载引起的稳态响应,第4章 多自由度系统的振动,(3) 传递函数

14、,复数形式解:,运动方程：,(4.4.21),单点激振:,分量形式 :,(3) 传递函数,第4章 多自由度系统的振动,多输入和多输出离散系统,传递函数:,单点激振:,分量形式:,多输入多输出系统的传递函数,第4章 多自由度系统的振动,【例4.4.1】,四层剪切型框架结构，在结构的顶部作用水平简谐荷载：F=cos pt，求：,系统的固有频率，固有振型及各阶的模态质量和模态刚度；,(2) 用振型分析法分别求当 p=0, 0.5 1和1.3 2 时顶层的水平位移。,解：,(1) 选各层的水平位移为广义坐标,例4.4.1,第4章 多自由度系统的振动,特征值问题 :,图4.4.1 四层剪切型框架的振型图

15、,模态质量:,模态刚度:,四层剪切型框架的振型图,第4章 多自由度系统的振动,(2) 三个激振频率下分别计算顶层的水平位移响应,顶层水平位移响应 :,表4.4.1不同模态截断下的顶层水平位移响应 x 11/ F 1,前两种情况: N=2具有一定精度， N=3具有足够精度；,后一种情况: 振型不能截断，p3已接近 4 。,表4.4.1,第4章 多自由度系统的振动,4.4.4 模态加速度法,运动方程 ：,伪静态响应 ：,第二项为加速度的影响模态加速度法。,4.4.4 模态加速度法,第4章 多自由度系统的振动,第r个自由度的响应:,【例4.4.2】,同例4.4.1，用模态加速度法求解。,解：,先求

16、K 的逆,例4.4.2,第4章 多自由度系统的振动,表4.4.2 模态加速度法计算的顶层水平位移响应 x 11/ F 1,p1不需要振型叠加； p2取一阶振型就有足够的精度；,对于p3，第四阶振型仍为主模态，振型不能截断。,表4.4.2,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.1,4.1 图示伸臂梁上面有两个集中质量m1=m2=m，梁的抗弯刚度为EI，不计梁的质量，试建立系统的自由振动微分方程，并求系统的固有特性。,运动微分方程:,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.2,4.2 若习题4.1中的A为固定端，重新计算习题4.1。,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.3,4.3 图示三跨连续梁的

17、跨中各有一个集中质量，梁的抗弯刚度为EI，不计梁的质量，试建立系统的自由振动微分方程，并利用对称性求系统的固有特性。,运用位移法画单位荷载弯矩图.,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.3,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.3,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.4,4.4 求下列情况下系统的自由振动响应：(1) 例4.1 中分别在m1和m2处施加竖向集中力Fp，然后突然释放；(2) 两处同时施加竖向集中力Fp ，然后突然释放；(3) 分别在m1和m2处作用一个脉冲力使之产生初速度v0。,解：已求得柔度矩阵：,固有频率：,关于M 归一化振型矩阵：,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.4

18、(续),模态变换:,各模态坐标的响应:,模态叠加求响应:,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.4(续),(1) 在m1处施加竖向集中力FP引起的两质块的初始变形，初始条件为：,转化为模态坐标的初始条件:,模态坐标的响应:,系统响应:,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.5,4.5 按习题4.4的三种情况，分别求习题4.3中三跨连续梁的自由振动响应。,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.6,4.6 质点m在空间运动，固定m的三个弹簧刚度系数均为k，各固定点的坐标如图所示，当m在坐标原点时各弹簧处于自然位置。(1) 建立质点的运动方程；(2)将质点沿坐标轴方向各移动单位位移然后自由释放，分别

19、求质点自由振动的响应。,(0.6, 0.8, 0),(0, 0.5, 0.5),(0.5, 0, 0.5),题4.6图,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.7,4.7 图示简支梁上有三个质量m1=m2 =m3=m置于等分处，梁的抗弯刚度为EI，跨中有弹簧支承，k=EI / l3，不计梁的质量。(1) 求各质点自由振动的微分方程； (2) 求有弹簧支承和无弹簧支承两种情况下系统的自振频率和主振型；(3) 在质量块重力作用下的静平衡位置，突然撤去弹簧，求梁自由振动的响应。,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.8,4.8 图示结构，梁的抗弯刚度为EI，弹簧的刚度系数k=EI / l3 ，梁在跨受均布动荷载 q的作用，已知激振频率 p与系统的基频之比为1/2。(1) 建立系统的运动方程；(2) 求自振频率和主振型；(3) 求弹簧支座的最大动反力；(4) 求跨中点的最大动弯矩。,第4章 多自由度系统的振动,习题 4.9,4.9 图示L形杆，抗弯刚度为EI，A为刚结点。杆在A、B两点