第三讲有效前沿与最优证券组合

1、.,第三讲,有效前沿与最优证券组合,.,有效前沿的定义： 定义3.1 设s是n种证券的选择集，如果其中存在一个子集f(p)，具有如下性质： 1.在给定的标准差（或方差）中，f(p)中的证券组合在s中具有最大的期望收益率。 2.在给定的期望收益率中，f(p)中的证券组合在s中具有最小的标准差（或方差）。 则称f(p)为有效前沿（efficient frontier），简称前沿（边界）。,.,3.1 n种风险证券组合的有效前沿,（一）两种风险证券组合的有效前沿 两种风险证券a和b，a和b的期望收益率为 a 和 b，方差和协方差分别为 对任一组合p= (x，1-x)，x0，1 ，证券组合p的期望收益

2、率和方差如下：,.,讨论证券组合p的有效前沿形状,1） 2） 3）,.,2种和3种风险证券的有效前沿,p b,p c,ab=-1 2 ab=1 4 3,c d 1 b,a a,o p o p 图3.1 图3.2,.,例题,两种风险证券a和b，a和b的期望收益率为 a=4.6% 和 b=8.5% ，方差和协方差分别为 求这两种风险资产的有效前沿。,.,n种风险证券的有效前沿,p,o p 图3.3,e,.,（二)n中风险证券组合泽的有效前沿,设市场上有n种风险证券，它们的收益率和方差为有限值 ，这些收益率的方差-协方差矩阵v为正定矩阵 ，n种证券的期望收益率为： n种证券组合p表示为： 证券组合期

3、望收益率和方差分别为,.,按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下规划问题：,.,构造拉格朗日函数 一阶条件：,.,由于v为正定阵，v的逆矩阵存在。,求解得,.,对于另一个指定的 ，在前沿上的证券组合为：,.,两个证券组合的协方差为 令 ，则得前沿上的证券组合方差为：,.,a/c mvp,o (1/c)1/2 p,.,32 允许对无风险证券投资的有效前沿,无风险证券（例如国库券等）的期末收入是确定的。 因此这种证券的方差为零，从而它和任何一种股票的协方差也为零。我们把无风险证券简称为债券。,.,一种风险证券和一种无风险证券,股票a和债券 以 记投入债券的比例，则 是购买股票的比例。 证券组合的期

4、望收益率和标准差分别为：,.,一种风险证券和一种无风险证券,得证券组合的期望收益率 和标准差的关系：,.,图3.5,b,a,c,。,o,.,两种股票a和b，及一种债券,有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线ab相切的射线,c,a,d,b,o,e,.,n 种股票及一种债券,问题 s.t 构造拉格朗日函数：,.,一阶条件：,.,得证券组合的投资比例 其中 证券组合的方差为 或,.,切点证券组合(tangency portfolio),切点证券组合e的投资比例,.,切点的证券组合,.,3.3 最优证券组合,n种风险证券的情形 设投资者的效用函数为 ，并设 和 ，下标1，2分别表示对u的第1，2个变元

5、求导。 意味着对给定的风险 ，投资者认为期望回报率越大越好。 意味着对给定的期望回报率 ，投资者认为风险 越小越好。,.,这时投资者的问题可表述为 s.t,.,构造拉格朗日函数 一阶条件,.,一阶条件变形得： 从而得出：,.,把代回x中可得最优投资比例 ：,.,定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合构成的。 又最优证券组合o*是投资者的无差异曲线和有效前沿的切点，故有： 推论1 任何效用无差异曲线和有效前沿的切点都是由 和 的凸组合构成的。 有效前沿又可以看成由所有切点组成，因而有： 推论2 有效前沿上任何一点都是 和 的凸组合。,.,最优证券组合,存在无风险证券的情形 设 n种风险证券和一种债券，在风险证券上的投资比例为x，在无风险证券上的投资比例为（1 xi），从而证券组合的期望收益率,.,证券组合的期望收益率 投资者的问题可表示为：,.,一阶条件 最优投资比例为 在债券上的投资比例为(1 x*i),.,定理3.2 (两资金分离定理，two-fund separation),当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切点证券组合构成。,.,计算方法与例题,切点e证券组合的计算方法,.,例3.1 设风险证券a和b