试验设计与数据处理 Experiment design and data processing 第1章 误差分析.ppt

1、1,第1章 试验数据的误差分析,2,主要内容及重点和难点,本章主要内容包括：真值与平均值，误差的基本概念，试验数据误差的来源及分类，试验数据的精准度，试验数据误差的估计与检验，有效数字和试验结果的表示，误差的传递。 通过本章的学习，要求了解误差的基本概念，试验数据误差的来源及分类；掌握精密度、正确度、准确度的含义，随机误差的估计，系统误差的检验和过失误差的检验。 重点和难点：误差的基本概念，精密度，正确度，准确度。,3,误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进行客观的评定 误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致 试验结果都具有误差，误差

2、自始至终存在于一切科学实验过程中 客观真实值真值,4,1.1 真值与平均值,1.1.1 真值（true value） 真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 平面三角形三内角之和恒为180（理论值） 长度的单位，质量的单位，时间的单位等（约定的真值） 国家标准样品的标称值（实际值） 国际上公认的计量值 （实际值） 高精度仪器所测之值（实际值） 多次试验值的平均值（实际值）,5,1.1.2 平均值（mean）,（1）算术平均值（arithmetic mean）,等精度试验值,适合：,试验值服从正态分布,6,（2）加权平均值(weig

3、hted mean),适合不同试验值的精度或可靠性不一致时,wi权重,加权和,一个同学的某一科的考试成绩：平时测验 80， 期中 90， 期末 95 。学校规的科目成绩的计算方式是： 平时测验占 20%；期中成绩占 30%；期末成绩占 50%；这里，每个成绩所占的比重叫做权数或权重。那么， 加权平均值 = 80*20% + 90*30% + 95*50% = 90.5 算术平均值 = (80 + 90 + 95)/3 = 88.3,7,（3）对数平均值（logarithmic mean）,说明： 若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值 对数平均值算术平均值 如果1/2x1/x22 时，可

4、用算术平均值代替,设两个数：x10，x2 0 ，则,8,（4）几何平均值（geometric mean）,当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。 几何平均值算术平均值,设有n个正试验值：x1，x2，xn，则,9,（5）调和平均值（harmonic mean）,调和平均值是试验值倒数的算术平均值的倒数 常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值几何平均值算术平均值,设有n个正试验值：x1，x2，xn，则：,10,1.2 误差的基本概念,1.2.1 绝对误差（absolute error） （1）定义 绝对误差试验值真值 或,（2）说明,真值未知，绝对误差也未知

5、,可以估计出绝对误差的范围：,绝对误差限或绝对误差上界,或,11,绝对误差估算方法： 最小刻度的一半为绝对误差； 最小刻度为最大绝对误差； 根据仪表精度等级计算： 绝对误差=量程精度等级%,12,1.2.2 相对误差（relative error）,（1）定义：,或,或,（2）说明：,真值未知，常将x与试验值或平均值之比作为相对误差：,或,13,可以估计出相对误差的大小范围：,相对误差限或相对误差上界,相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（）,14,1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy),定义式：,可以反映一组试验数据的误差大小,15,1.2.4 标准误差 (s

6、tandard error),当试验次数n无穷大时，总体标准差：,试验次数为有限次时，样本标准差：,表示试验值的精密度，标准差，试验数据精密度,16,（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小 （2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律 小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的,1.3.1 随机误差 （random error ）,1.3 试验数据误差的来源及分类,17,1.3.2 系统误差（systematic error）,（1）定义： 一

7、定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差 （2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正，或设法消除。,18,1.3.3 过失误差 （mistake ）,（1）定义： 一种显然与事实不符的误差 （2）产生的原因： 实验人员粗心大意造成 （3）特点： 可以完全避免 没有一定的规律,19,1.4.1 精密度（precision）,（1）含义： 反映了随机误差大小的程度 在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 例：

8、甲：11.45，11.46，11.45，11.44 乙：11.39，11.45，11.48，11.50 （2）说明： 可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的 试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的 试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求,1.4 试验数据的精准度,20,（3）精密度判断,极差（range）,标准差（standard error）（若随机误差符合正态分布）,R，精密度,标准差，精密度,21,方差（variance）,标准差的平方： 样本方差（ s2 ） 总体方差（2 ） 方差，精密度,22,1.4.2 正确度（correctness）,（1）含义：反映系统误

9、差的大小 （2）正确度与精密度的关系：,精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度,精密度高并不意味着正确度也高,（a）精密度好，正确度不好,（b）精密度不好，正确度好,（c）精密度正确度好,23,1.4.3 准确度（accuracy）,（1）含义： 反映了系统误差和随机误差的综合 表示了试验结果与真值的一致程度 （2）三者关系 无系统误差的试验,精密度 ：ABC 正确度： ABC 准确度： ABC,24,有系统误差的试验,精密度 ：A B C 准确度： A B C ，A B，C,25,1.5.1 随机误差的检验,1.5 试验数据误差的统计假设检验,（1）目的：,对试验数据的随机

10、误差或精密度进行检验。,（2）检验步骤：,计算统计量,26,查临界值,一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率,双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ：P215,检验,若,则判断两方差无显著差异，否则有显著差异,27,单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ： 左侧（尾）检验 ：,则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小,右侧（尾）检验,则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大,若,若,28,1.5.1.2 F检验(F-test),（1）目的： 对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较 （2）检验步骤 计算统计量,

11、设有两组试验数据：,都服从正态分布，样本方差分别为,和,和,，则,第一自由度为,第二自由度为,服从F分布，,29,查临界值 给定的显著水平,查F分布表,临界值,双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ：,检验,若,则判断两方差无显著差异，否则有显著差异,30,单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ： 左侧（尾）检验 ：,则判断该判断方差1比方差2无显著减小，否则有显著减小,右侧（尾）检验,则判断该方差1比方差2无显著增大，否则有显著增大,若,若,（3）Excel在,F检验中的应用,31,1.5.2 系统误差的检验,1.5.2.1 t检验法 （1）平

12、均值与给定值比较 目的：检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给定值有显著差异 检验步骤： 计算统计量：,给定值（可以是真值、期望值或标准值如标准样品）,32,双侧检验 ：,若,则可判断该平均值与给定值无显著差异，否则就有显著差异,单侧检验,左侧检验,若,且,则判断该平均值与给定值无显著减小，否则有显著减小,右侧检验,若,且,则判断该平均值与给定值无显著增大，否则有显著增大,33,（2）两个平均值的比较 目的：判断两组服从正态分布数据的算术平均值有无显著差异 计算统计量： 两组数据的方差无显著差异时,s合并标准差：,34,两组数据的精密度或方差有显著差异时,服从t分布，其自由度为：, t检验,

13、35,双侧检验 ：,若,则可判断两平均值无显著差异，否则就有显著差异,单侧检验,左侧检验,若,且,则判断该平均值1较平均值2无显著减小，否则有显著减小,右侧检验,若,且,则判断该平均值1较平均值2无显著增大，否则有显著增大,例题1-9 P13,36,（3）成对数据的比较 目的：试验数据是成对出现，判断两种方法、两种仪器或两分析人员的测定结果之间是否存在系统误差 计算统计量：,成对测定值之差的算术平均值：,零或其他指定值, n对试验值之差值的样本标准差：,37, t检验 若,否则两组数据之间存在显著的系统误差,，则成对数据之间不存在显著的系统误差，,（4）Excel在,t检验中的应用,38,1.

14、5.2.2 秩和检验法（rank sum test）,（1）目的：两组数据或两种试验方法之间是否存在系统误差、两种方法是否等效等 ，不要求数据具有正态分布 （2）内容： 设有两组试验数据，相互独立 ，n1，n2分别是两组数据的个数 ，总假定 n1n2； 将这个试验数据混在一起，按从小到大的次序排列 每个试验值在序列中的次序叫作该值的秩（rank） 将属于第1组数据的秩相加，其和记为R1 R1第1组数据的秩和（rank sum） 如果两组数据之间无显著差异，则R1就不应该太大或太小,39,查秩和临界值表： 根据显著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1 检验： 如果R1T2 或R1 T

15、1，则认为两组数据有显著差异，另一组数据有系统误差 如果T1R1T2，则两组数据无显著差异，另一组数据也无系统误差,40,（3）例：,设甲、乙两组测定值为： 甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1 乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8已知甲组数据无系统误差，试用秩和检验法检验乙组测定值是否有系统误差。（0.05）,解:（1）排序：,41,（2）求秩和R1 R1=7911.511.5141568 （3）查秩和临界值表 对于0.05， n1=6，n2=9 得 T1=33，T263， R1T2 故：两组数据有显著差异，乙组测定值有系统误差,42,1

16、.5.3 异常值的检验,可疑数据、离群值、异常值 一般处理原则为： 在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，及时纠正错误 试验结束后，在分析试验结果时，如发现异常数据，则应先找出产生差异的原因，再对其进行取舍 在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因，则应对数据进行统计处理；若数据较少，则可重做一组数据 对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选用的统计方法,43,1.5.3.1 拉依达（ ）检验法,内容： 可疑数据xp ，若,则应将该试验值剔除。,说明：,计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内,3s相当于显著水平0.01，2s相当于显著水平0.05,44,可疑

17、数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数 剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平均值及标准偏差 方法简单，无须查表 该检验法适用于试验次数较多或要求不高时 3s为界时，要求n10 2s为界时，要求n5,45,有一组分析测试数据：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，问其中偏差较大的0.167这一数据是否应被舍去? （0.01）,解：（1）计算,例：,（2）计算偏差,（3）比较,3s30.011160.03350.027,故按拉依达准则，当0.01时，0.167这一可疑值不

18、应舍去,46,（2）格拉布斯（Grubbs）检验法,内容： 可疑数据xp ，若,则应将该值剔除。,Grubbs检验临界值,47,格拉布斯（Grubbs）检验临界值G( ,n)表,48,说明：,计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内 可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数 剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平均值及标准偏差 能适用于试验数据较少时 格拉布斯准则也可以用于检验两个数据偏小，或两个数据偏大的情况 例：例1-13,49,（3）狄克逊（Dixon）检验法,单侧情形 将n个试验数据按从小到大的顺序排列： x1x2xn-1xn 如果有异常值存在，必

19、然出现在两端，即x1 或xn 计算出统计量D或D 查单侧临界值,检验,50,双侧情形 计算D和 D 查双侧临界值,检验,51,说明,适用于试验数据较少时的检验，计算量较小 单侧检验时，可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新排序 例：例1-14,52,1.6.1 有效数字（significance figure）,能够代表一定物理量的数字 有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度 数据中小数点的位置不影响有效数字的位数 例如：50，0.050m，5.0104m 第一个非0数前的数字都不是有效数字，而第一个非0数后的数字都是有效数字 例如： 29和29.00 第一位数字等于或大于8，则可以多计一位 例如：9.99,1.6 有效数字和试验结果的表示,53,1.6.2 有效数字的运算,（1）加、减运算： 与其中小数点后位数最少的相同 （2）乘、除运算 以各乘、除数中有效数字位数最少的为准 （3）