第4节 统计与统计案例

1、2021新亮剑高考总复习计数原理、概率与统计第十章第4节统计与统计案例1磨剑课前自学2悟剑课堂精讲（课时1）目录CONTENTS3悟剑课堂精讲（课时2）3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲（课时1）悟剑课堂精讲（课时2）目 录4 最新考纲考向分析1. 理解随机抽样的必要性和重要性.2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样的方法.3. 了解分布的意义和作用,能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点.4. 理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.5. 能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数

2、,标准差),并做出合理的解释.6. 会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.从近三年高考情况来看,抽样方法与总体估计以选择题和填空题为主,考查系统抽样和分层抽样、茎叶 图、频率分布直方图的理解、均值、方差的计算;与概率相结合的解答题,一般还会考查以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征,如平均数, 中位数,频数,频率等,考查数据处理能力及运用概率知识解决实际问题的能力,回归分析,独立性检验主要考查回归方程,相关系数,利用回归方程进行预测,独立性检验的应用等高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录5最新考纲考向分析7. 会用随机

3、抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.8. 会作两个有关联变量的数据的散点图,并利用散点图认识变量间的相关关系.9. 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆).10. 了解独立性检验的思想方法,并能初步应用独立性检验的思想方法解决一些简单的实际问题.11. 通过典型案例了解回归分析的思想方法,并能初步应用回归分析的思想方法解决一些简单的实际问题高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、随机抽样1.简单随机抽样(1)定义:一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中 逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(nN),且每次抽取

4、时各个个体被抽到的(2)常用方法:,就称这样的抽样方法为简单随机抽样.机会都相等和抽签法随机数表法.2.系统抽样(1)步骤:先将总体的 n 个个体编号;根据样本容量 n,当 是整数时,取分段间隔 k= ; 简单随机抽样 确定第一个个体编号 l(lk);在第 1 段用按照一定的规则抽取样本.6高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录(2)适用范围:适用于总体中的个体数较多时.3.分层抽样互不交叉(1)定义:在抽样时,将总体分成的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.差异比较明显(2)适用范围:适用于总体由的几个部分组成时.

5、7高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、用样本估计总体1.作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中 最大值与 最小值的差); (2)决定组距与 组数;(3)将数据分组;频率分布表(4) 列(5) 画;频率分布直方图.2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点,就得到频率分布折线图.8高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录增加, 组距减所分的组数(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑的曲线,统计中称这条光滑的曲线为总体密度曲线.3.茎叶图的优点茎叶图的优点是不但可以保留所有信息,而且可以随

6、时记录,这对数据的 记录表示 都能带来方便.和茎叶图的画法步骤第一步,将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;第二步,将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列; 第三步,将各个数据的叶依次写在其茎的两侧.9高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录4.样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征概念优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数.但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按 从小到大 的顺序排列,处在 中间 位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数等分样本数据所占频率,它不受少数几个 值的影响,这在某些情况下

7、是优点,但它对 值的不敏感有时也会成为缺点10高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录（续表）11数字特征概念优点与缺点平均数如果有 n 个数据x1,x2,xn,那么这 n 个数的平均数1 +2 + = 平均数与每一个样本数据有关,可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的 值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录(2)标准差、方差标准差:样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表 示 ,s= 1 (-)+ (-)+ + (222-).12 方差:标准差的平方 s2,12222s =(x -) +(x2-) +(xn-) ,1 其中 x (i

8、=1,2,3,n)是样本数据,n 是样本容量,x是i样本平均数.12高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录三、变量间的相关关系、统计案例1.两个变量的线性相关(1)正相关左下角在散点图中,点散布在从将它称为正相关.(2)负相关到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们左上角到 右下角在散点图中,点散布在从的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在线性相关关系,这条直线叫作回归直线.一条直线附近,就称这两个变量之间具有13高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录2.回归方程(1) 最小二乘法求回归直线,使得样本数据的点到它的 距离的平方

9、和最小的方法叫作最小二乘法.(2) 回归方程方程y = x+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)的回归 ( -)(-y) - =1,=1 = -222 -() 方程,其中,是待定参数.i=1=1 = - .14高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录3.回归分析(1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x ,y ),(x ,y ),(x ,y ),其中(x,y)称为样本点的中心.1122nn(3)相关系数 =1 =1 -nxy(-x)(-x)r=. =1 =1 2222( -nx

10、 2 ) =1( -ny2 )(-x) (-y)=1 15高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录当 r0 时,表明两个变量正相关;.负相关当 r0 时,表明两个变量r 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性.r 的绝对值越接近于0,表明两个变越强几乎不存在线性相关关系量之间.4.独立性检验(1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量.频数表(2)列联表:列出的两个分类变量的,称为列联表.假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表(称为 22 列联表)为16高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录 ( - )2构造

11、一个随(3)独立性检验利用随量 K2=,其中 n= a+b+c+d为样本容量.(+)( + )(+ )(+ )无关系量”的方法称为独立性检验.17y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录1. 注意三种抽样的关键点(1) 随机数表法编号要求:应保证各号数的位数相同,而抽签法则无限制.(2)系统抽样是等距抽样,入样个体的编号相差 的整数倍. (3)分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.2. 会用三个关系频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1) 最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.(2) 中位数左

12、边和右边的小长方形的面积和是相等的.(3) 平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”)(1)在分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()(2) 茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记一次.( )(3) 频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式,前者准确,后者直观.(4)某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气()()之间的关系,得线性回归方程y =-2x+147,则气温为

13、 2 时,一定可卖出 143 杯热饮.()答案X,Y 关系越密切,则由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大.(5)19)目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【基础自测】1.从 300 名学生(其中男生 180 人,女生 120 人)中按性别用分层抽样的方法抽取 50人参加比赛,则应该抽取男生的人数为(B).A.27B.30C.33D.36解析因为男生与女生的比例为 180120=32,所以应该抽取男生的人数为 50 3=30.3+2答案解析20目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识2.样本本方差为(有五个个体,其值分别为 0,1,2,3,m.若该样本的平均值为 1,则其样D).C.A. 10B.

14、302D.255解析依题意得 m=51-(0+1+2+3)=-1,样本方差 s2=1(-51)2+02+12+22+(-2)2=2,即所求的样本方差为 2.答案解析21目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识3.已知 x,y 的取值如下表,从散点图可以看出 y 与 x 具有线性相关关系,且回归方程为2.6y =0.95x+ ,则 = . 解析程,得 =2.6.回归直线必过样本点的中心(,y),又=2,y=4.5,代入回归方答案解析22x0134y2.24.34.86.7目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识4.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 名学生,得到如下列联表:已知

15、 P(K23.841)0.05,P(K25.024)0.025.根据表中数据,得到 K22k=50(1320107) 4.844.则认为选修文科与性别有关系出23272030为 5%.解析K2 的观测值 k4.844,这表明小概率发生.根据假设检验的答案解析基本原理,应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立,并且这种判断出错的可能性约为 5%.23理科文科男1310女720目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【易错检测】5.某医疗机构通过抽样调查(样本容量 n=1000),利用 22 列联表和 K2 统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得 K2 的观测值 k=4.453,经查阅临界值表知P(

16、K23.841)0.05,现给出四个结论,其中正确的是(A.在 100 个吸烟的人中约有 95 个人患肺病B.若某人吸烟,则他有 95%的可能性患肺病C.有 95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D.只有 5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”C ).解析由已知数据可得,有 1-0.05=95%的把握认为“患肺病与吸烟有答案关”.解析2425目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲（课时1）悟剑课堂精讲（课时2）目 录考点 1随机抽样考向 1:简单随机抽样例 1(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为().A从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本.盒子里共有

17、80 个零件,从中选出 5 个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验.某班有 56 名同学,指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛.答案解析A.0B.1C.2D.326考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的;不是简单随机抽样,因为它是有放回抽样;不是简单随机抽样,因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;不是简单随机抽样,因为不是等可能抽样,故选A.27考点探究素养达成高考真题目 录(2)大型建筑企业的质监部门利用随机数表对

18、建筑工地某天送检的50 件水泥样品块进行抽样测试,先将 50 件水泥样品块进行编号,编号分别为 01,02,49,50,从中抽取10 个样本,如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行:第 4 行 :32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42第 5 行 :84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04第 6 行 :32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94

19、83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第 5 行第 6 列开始向右依次读取 2 个数据,可首先得到前 7 个样本的编号,其中编号小于 30 的概率为().BA.2B.3C.4D.5答案解析777728考点探究素养达成高考真题目 录解析(2)满足条件的 7 个编号为 25,33,13,45,28,34,36,则编号小于 30 的数有 3个,故概率为3.729考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:系统抽样例 2(1)(2020 届成都模拟)将参加冬季越野跑的 600 名选手编号为001,002,600,采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,把编号分

20、为 50 组后,在第一组的 001 到 012 这 12 个编号中随机抽得的号码为 004,这 600 名选手穿着三种颜色的衣服,从 001 到 301 穿红色衣服,从 302 到 496 穿白色衣服,从 497 到 600 穿黄色衣服,则抽到穿白色衣服的选手人数为 17.(2)已知某商场新进 3000 袋奶粉,为检查其三聚胺是否,现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查,若第一组抽出的号码是 11,则第六十一组抽出的号码为 1211.答案解析30考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由题意及系统抽样的定义可知,将这 600 名选手按编号依次分成 50组,每一组各有 12 名选手,第 k

21、(kN*)组抽中的号码是 4+12(k-1).令 3024+12(k-1)496,得 255k42,因此抽到穿白色衣服的选手人数为 42-25=17.6(2)每组袋数为3000=20,由题意知这些号码是以 11 为首项,20 为公差的等差数150列,a61=11+(61-1)20=1211.31考点探究素养达成高考真题目 录考向 3:分层抽样例 3(1)(2020 届四川成都七中一模)某学校初中部共 120 名教师,高中部共 180名教师,其性别比例如图所示.已知按分层抽样的方法得到的工会代表中,高中部女教师有 6 人,则抽取初中人数为 10;工会代表中男教师的总人数为 12.解析(1)高中部

22、女教师有6 人,占40%,设高中部人数为x,则x40%=6,解得x=15人,抽取高中人数 15 人,则抽取初中人数为 15 120=10 人.男教师有180答案解析1560%+1030%=9+3=12 人 .32考点探究素养达成高考真题目 录(2) 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为 357,现用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本,其中甲种产品有 18 件,则样本容量 n= 90.(3) 某企业三月中旬生产 A,B,C 三种产品共 3000 件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:由于不小心,表格中 A,C 产品的有关数据已被损坏,统计员记得 A 产品的样本容

23、量比 C 产品的样本容量多 10,根据以上信息,可得 C 产品的数量是 800.解析答案33产品类别ABC产品数量(件)1300样本容量(件)130考点探究素养达成高考真题目 录解析(2)依题意得 3n=18,解得 n=90,即样本容量为 90.3+5+7(3)设样本的总容量为 x,则1300=130,所以 x=300.所以 A 产品和 C 产品在3000样本有 300-130=170(件).设 C 产品的样本容量为 y,则 y+y+10=170,解得 y=80.所以 C 产品的数量为300080=800.30034考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：三种抽样方法的注意事项:35简单随机抽

24、样系统抽样分层抽样抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中个体数较多的情况使用系统抽样时,如果总体中的个数不能被样本容量整除时,可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,然后按系统抽样进行分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解,其中“抽样比样本容量各层样本数量=”总体容量各层个体数量考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】1.利用简单随机抽样,从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为1,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到3的概率为(C ).A.1B.1C. 5D.10431427解析由题意知 9 =1,解得 n=28,所

25、以整个抽样过程中每个个体被抽到的概 -13率为10= 5 ,故选 C.2814答案解析36考点探究素养达成高考真题目 录2.从 2020 名学生中选取 50 名学生参加全国数赛,若采用以下方法选取先用简单随机抽样法从 2020 名学生中剔除 20 名学生,剩下的 2000 名学生再按系统抽样的方法抽取,则每名学生入选的概率().CA.不全相等C.都相等,且为B.均不相等5D.都相等,且为 120240解析从 N 个个体中抽取 M 个个体,则每个个体被抽到的概率都等于即 50= 5.2020202答案解析37考点探究素养达成高考真题目 录3.牡丹花品种繁多,山东菏泽某牡丹种植基地,培育 A,B,

26、C 三个品种的红牡丹分别有 1200 株、1000 株、800 株,现用分层抽样的方法,从三个品种中抽取C150 株参加节日展览,则应从 C 品种中抽取()株.A.60B.50C.40D.30应从 C 品种中抽取的红牡丹株数为 800150=40.解析1200+1000 +800答案解析38考点探究素养达成高考真题目 录考点 2茎叶图及其应用例 4(1)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分如茎叶图所示.下列结论错误的是().CA. 乙运动员得分的中位数是 36B. 甲运动员发挥的稳定性比乙运动员发挥的稳定性差C.甲运动员的平均分为 27 分D.乙运动员的得分有 6 集中在茎 3 上13(2

27、)(2020 届山东济南模拟)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为().AA.3,5B.5,5C.3,7D.5,7答案解析39考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)从茎叶图知,A,D 是正确的;乙运动员的得分较集中,甲运动员的得分较分散,故 B 是正确的;甲运动员得分的平均分为29027,故选 C.11(2)由茎叶图,可得甲组数据的中位数为 65,从而乙组数据的中位数也是 65,所以 y=5.由乙组数据 59,61,67,65,78,可得乙组数据的平均值为 66,故甲组数据的平均值也为

28、66,从而有56+62+65+74+70+=66,解得 x=3.540考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：茎叶图的使用策略(1) 茎叶图的绘制需注意: “叶”的位置只有一个“数字”,而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一; 重复出现的数据要重复记录,不能遗漏,特别是“叶”的位置上的数据.(2) 茎叶图通常用来记录两位数的数据,可以用来分析单组数据,也可以用来比较两组数据.通过茎叶图可以确定数据的中位数,数据大致集中在哪个茎,数据是否关于该茎对称,数据分布是否均匀等.41考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】1.山东省某地农科院玉米实验田,两种玉米品种甲和乙各种植了 25 亩,所得亩

29、产数据(单位:千克)如下,据此估计,下列结论成立的是(品种甲的亩产均值比品种乙高;品种甲的亩产标准差比品种乙小;品种甲的亩产均值比品种乙低;品种甲的亩产标准差比品种乙大.B ).A.B.C.D.答案解析42考点探究素养达成高考真题目 录解析从茎叶图可以看出,品种甲的亩产数集中在茎为 41,42,43 左右,品种乙的亩产数集中在茎为 39,40 左右,品种甲的亩产均值比品种乙高;品种甲的数据比较分散,品种乙的数据比较集中,所以品种甲的亩产标准差比品种乙大.43考点探究素养达成高考真题目 录2.某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数茎叶图如图所示,则此学生该B门功课考试分数的极差与中位数之和

30、为().A.117B.118C.118.5D.119.5解析22 次考试中,所得分数最高的为 98,最低的为 56,所以极差为 98-56=42,将分数从小到大排列,中间两数为 76,76,所以中位数为 76,所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 42+76=118.答案解析44考点探究素养达成高考真题目 录考点 3频率分布直方图及其应用考向 1:利用频率分布直方图求频率、频数例 5(2020 届北京房山模拟)某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生,记录他们的分数,将数据分成 7组:20,30),30,40)

31、,80,90,并整理得到如下频率分布直方图:45考点探究素养达成高考真题目 录(1) 从总体的 400 名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 70 的概率.(2) 已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数.(3) 已知样本中有一半男生的分数不小于 70,且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解析46考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于 70 的频率为(0.02+0.04)10=0.6,所以样本中分数小于 70 的频率为 1-0.6=0.4.所以从总体的 400 名学

32、生中随机抽取一人,其分数小于 70 的概率估计值为 0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于 50 的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9,故样本中分数小于 50 的频率为 0.1,故分数在区间40,50)内的人数为 1000.1-5=5.所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为400 5=20.10047考点探究素养达成高考真题目 录(3)由题意可知,样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.02+0.04)10100=60,所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 601=30,2所以样本中的男生人数为 302=60,女生人数为 100-60=40,男生和女生

33、人数的比例为 6040=32.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为 32.48考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:利用频率分布直方图估计总体例 6(2020 届内蒙古包头模拟)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1) 求直方图中 a 的值;(2) 设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,说明理由; (3)估计居民月均用水量的中位数.解析4

34、9考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由频率分布直方图可知,月均用水量在0,0.5)的频率为 0.080.5=0.04.同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由 1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a,解得 a=0.30.(2)估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万,理由如下:由(1)知,100 位居民中月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率

35、分布,可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为3000000.12=36000.50考点探究素养达成高考真题目 录(3)设中位数为 x 吨.因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73,前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.48,所以 2x2.5.由 0.50(x-2)=0.5-0.48,解得 x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨.51考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.频率分布直方图的特点:(1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频率,所有小长方形的面积的和

36、等于 1;频率组距=频率;(2)组距频数频数=频率,此关系式的变形为=样本容量,样本容量频率=频数.(3)样本容量频率2.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系:(1) 最高的小长方形底边中点的横坐标为众数;(2) 中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;(3) 平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.52考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】1.(2020 届贵阳模拟)在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、

37、第四、第五小组,已知第二小组的频数是 40,则成绩在 80100 分的学生人数是().AA.15B.18C.20D.25答案解析53考点探究素养达成高考真题目 录解析根据频率分布直方图,得第二小组的频率是 0.0410=0.4,因为频数是40,所以样本容量是40 =100,又成绩在 80100 分的频率是(0.01+0.005)10=0.15,所0.4以成绩在 80100 分的学生人数是 1000.15=15.故选 A.54考点探究素养达成高考真题目 录2.某高三年级随机抽取部分考生的第一次模拟考试的数学成绩,分成 6 组制成如下频率分布直方图,若图中数据 x,y,z 构成公差为 0.004

38、的等差数列,则参加考试的 2000 名同学中数学成绩不低于 130 分的学生有(D )人.A. 40B. 160C. 240D.400答案解析55考点探究素养达成高考真题目 录解析由题意,x+(x+0.004)+2(x+20.004)10+0.02410+0.0410=1,解得 x=0.004,所以 y=0.008,z=0.012,所以数学成绩不低于 130 分的频率为(0.012+0.008)10=0.2,故数学成绩不低于 130 分的学生有 0.22000=400(人).56考点探究素养达成高考真题目 录考点 4 样本数字特征的求解与应用考向 1:样本数字特征的计算例 7(2020 届四川

39、绵阳二诊)某体校甲、乙两个运动队各有 6 名编号为 1,2,3,4,5,6 的队员进行实弹射击比赛,每人射击 1 次,击中的环数如表:则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2=().BA.1B.1C.1D.1632答案解析57学生1 号2 号3 号4 号5 号6 号甲队677877乙队676797考点探究素养达成高考真题目 录解析甲组数据为 6,7,7,8,7,7,乙组数据为 6,7,6,7,9,7,所以甲组数据波动较小,方差也较小,计算它的平均数为x=7,方差为 s2=1(-1)2+0+0+12+0+0=1.6358考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:样本数字特征的决策作用例 8(202

40、0 届河南周口调研)甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次,每次中靶环数情况如图所示:(1)请填写下表(写出计算过程):(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析:从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定);从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);从折线图上两人射击命数的走势看(分析谁更有潜力).解析59平均数方差命中 9 环及 9 环以上的次数甲乙考点探究素养达成高考真题目 录解析由题图知,甲射击 10 次中靶环数分别为 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,将它们由小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,乙射击 10 次中靶环数分别为

41、 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,将它们由小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.11=(5+62+74+82+9)=7(环),x=(2+4+6+72+82+92+10)=7(环),(1)x甲乙1010= 1 (5-7)2+(6-7)22+(7-7)24+(8-7)22+(9-7)2= 1 (4+2+0+2+4)=1.2,2甲1010= 1 (2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)22+(8-7)22+(9-7)22+(10-2乙107)2= 1 (25+9+1+0+2+8+9)=5.4.1060考点探究素养达成高考真题目 录填表如下:(2)平均数相同,2

42、,说明甲、乙的平均水平一样,但乙的方差小,即乙发挥更稳定,故可22甲乙选择学生乙参加知识竞赛.66考点探究素养达成高考真题目 录数算巧解平均数和方差方差反映的是数据组偏离平均值的程度,因此把数据组中的每一个数据都加上或者都减去一个相同的数不影响方差的大小,当我们计算的数据较大时,这个方法能有效地简化运算.(1)在计算平均数时,如果这些数字都在某个数字左右摆动,就选取一个数字作为标准进行找齐.(2)方差的一个简化公式是 s2=1(2+2+2 )-nx=-(x)其中22212 2=1(2+2+2) ,只要把方差公式展开进行重组即可证明. 12 67考点探究素养达成高考真题目 录例(1) 计算数据 87,86,90,82,83,85,88,80,