普通物理学力学部分电子教案090316修改上网.ppt

1、普 通 物 理 学,吉首大学大学物理教学改革课题组,唐世洪,设计制作,绪 论,约法三章,在课堂上难免对个别视我们的协议如儿戏的同学，我除了严格协议办事外，也许会出现言语过激的批评，这是我的过错，请你或你们原凉。也随时欢迎以任何方式对我的课堂教学提出批评和建议，我将万分感谢。,但愿我的讲课能为你们日后的学习、工作、成才有较大的参考价值。,一、为什么要学物理（开设本课程的目的）,通过本课程的学习，使大家比较系统地了解、掌握物理学的基本概念和基本规律、分析问题和解决问题的基本方法，为进一步学习专业知识和解决实际工程问题打下必要的物理基础。,二、物理学研究的对象,也正是物理学所研究的是物质运动最基本、

2、最普遍的形态，所以，它在自然科学中占有很重要的地位，成为其它自然科学和工程科学的基础。可以说没有物理学基础，想在其它自然科学和技术领域中取得成功是不可能的。,物理学所研究的是物质运动的最基本、最普遍的形态，它包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子及其内部的运动等等。,三、掌握物理学的研究方法,简单地说它的研究程序是,1、观察、实验,2、抽象、假说,3、理论,抽象、假说,新的理论,上述规律可以以下实例说明,观 察 、 实 验,四、什么样学好物理？,从零做起，勤思苦练,从零做起,弄清大学物理不是中学物理的简单重复， 看清初中物理、高中物理、大学物理之间 的差别与联系，不要产生轻敌情绪，要从 零做

3、起,通过研究得到了什么结论？某个概念是怎样定义的？某个规律是怎样叙述的，它的数学表达式怎样？它是属于基本规律还是导出规律？,思些什么？,勤思苦练,1弄清概念的来龙去脉,这里包括以下几点,问题是怎样提出来的，为什么要弄清某个概念和研究某个问题。,这个问题是怎样进行研究的？应用了那些方法和手段？,弄清概念、规律有什么重要应用？其适用范围、条件怎样？应用它们有哪些要注意的问题。,读书就是一个由薄到厚、内容由少到多，然后再由厚到薄的过程。如果你能及时总结所学的内容，并注意各概念的联系与差别，就可以实现由薄到厚再由厚变薄的转换过程。,着重弄清各概念、规律的物理含义、实质及它们之间的区别,及时复习，做到温

4、故而知新（方法：目录学习法）,3、要想学好物理学必须有牢固的高等数学基础，建议大家有空时多回头看一看高等数学。,2、苦练,苦练包括下列2个方面的问题。,尽可能多做点习题，从做习题的过程中，查看自己对哪些概念、规律还没有弄清楚,预 备 知 识,一.矢量代数的基本知识,二.正交坐标系,一.矢量代数的基本知识,标量只有大小，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。 矢量既有大小又有方向，并且满足平行四边形运算法则的量，例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电场强度等。,几何表示 有指向的线段,大小,3、矢量单位：长度为一个单位的矢量,1、矢量的几种表示方式,解析表示,2、矢量相等： 大小相同，

5、方向相同,4、矢量与标量的函数关系：,标量的矢量函数,5、矢量的运算法则：,(1) 加法 含平行四边形法则、三角形法则、多边形法则,矢量的标量函数,平行四边形法则,三角形法则,交换律：,零矢量的定义：,加法满足：,结合律：,(2) 数乘,结合律： 分配律：,(3)矢量的分解,若,称为正交分解,三维空间中用3个不共面的矢量来描写一个矢量,在一个平面内，若存在两个不共线的单位矢量 则平面内的任一矢量可以分解为：,最常用的是用直角坐标系中的三个单位矢量 、来表示三维空间中的一个矢量如,(4)矢量的标积（点积、数积）,标积适用 交换律： 分配律：,是A与B的夹角,特别注意：,若,可能,(5)矢量的矢积

6、（叉积）,是一个矢量,方向：,右手螺旋法则,大小：平行四边形面积,矢积的性质：,(6)矢量的混合积,结果为平行六面体的体积,(7)矢量的非法运算包括,*矢量与标量不能相等 ！,解：设 为x方向的单位矢,例1、求下列矢量之和：,二.正交坐标系,一个坐标系需要由基矢量组成的基，基矢量相互正交的坐标系称为正交坐标系。直角坐标系是正交坐标系，它的基为：,(均为单位矢量),一个矢量可以用基矢展开(即按基矢分解，也称向坐标轴投影),、的大小,cos=Ax/A; cos=Ay/A; cos=Aa/A,、 的方向,利用分量式，可以将矢量运算简化。,dA/dt=dAx/dti+dAy/dtj+dAz/dtk d

7、(AB)/dt= dA/dt B+ AdB /dt d(AB)/dt= dA/dtB+ AdB/dt,四、矢量的坐标运算,五、矢量的微商,AB=(AxBx)i+(AyBy)j+(AzBz)k AB=AxBx+AyBy+AzBz AB= = (AyBzAyBz) i+(AzBxAxBz)j+(AxByAyBx)k,六、 矢量的积分,第一章,质点运动学,学 习 要 求,1.深刻理解描述质点运动的四个基本物理量-位置矢量、位移、速度和加速度。,2.掌握自然坐标系下描写曲线运动的切向加速度和法向加速度的计算。,3.掌握由运动方程求质点在任一时刻的位置、速度、加速度和由初始条件建立运动方程的方法。,4.

8、熟练掌握和运用匀变速直线运动及变速曲线运动的规律，及运动叠加原理。,第一节 描写质点的四个物理量,第二节 切向加速度、法向加速度,第三节 匀变速直线运动公式,第四节 常见的几种平面曲线运动,力学是研究物体机械运动的规律及其应用的科学,研究力学要明确两个基本概念,1.物体运动是绝对的,但运动的描写是相对的。,参照系:描写物体运动所选择的标准物。,坐标系:为精确描写物体运动所需。,解决物理问题时，一般要将复杂的实际问题进行简化,建立理想化的物理模型。例如:,物体平动：物体上所有点的运动轨迹都相同,用一个点的运动来代替整个物体运动。,质点:,物体运动范围物体本身线度。,2.建立理想化的模型,例如：地

9、球绕太阳公转时地球可视一个质点。,1.定义： 描写质点空间位置的物理量。,y,P(x,y),x,o,x,y,r,r=x i+y j,i、j为单位矢量。,R的大小为：,一、位置矢量r,单位：米, m,方向：从坐标原点指向终点。,2.运动方程 r(t),质点位矢随时间的函数关系。,3.轨迹方程,将运动方程中消去 t :,其中：,1.物理意义：描写质点位置变化的物理量。,x,O,y,rA,A,B,rB,由矢量关系：,质点从A点运动到B点，,二、位移,2.单位：米，m,3.大小：,4.方向：,从起点指向终点。,1.位矢与位移的区别：,位矢为从坐标原点指向质点所在位置的有向线段；,位移为从起点指向终点的

10、有向线段。,方向,时间,位矢与某一时刻对应；,位移与某一段时间对应。,只有位移的始点从坐标点计起时两者才重合。,2.位移与路程的区别：,路程： 为物体经过路径总的长度，是标量；,A,B,位移： 从起点指向终点的有向线段，为矢量。,只有在直线直进运动中两者才大小相等。,1. 物理意义：描写物体运动快慢和方向的物理量。,2.平均速度,x,O,y,rA,A,B,rB,定义：,物体的位移与发生这段位移所用的时间之比。,三、速度,对于变速曲线运动的物体，速度大小与方向都在随时间改变，,.无限分割路径；,.以直代曲；,以不变代变；用平均速度代替变速度；,令,取极限。,A,B,3、速度,速度,单位：米/秒，

11、m/s,方向：沿运动轨迹的切线方向。,x,O,y,A,B,vA,vB,由于 r = x i + y j,大小：,x,O,y,v,x、y方向的分量。,1.平均速度与平均速率的区别,平均速度为物体发生的位移与时间之比；为矢量。,平均速率为物体经过的路程与时间之比；为标量。,A,B,两者只有 在直线直进运动中才量值相等,2. 速度与速率的区别,速度为位矢r对时间的一次导数，为矢量：,速率为速度的大小，为标量：,1.物理意义：描写质点速度变化快慢和方向的物理量。,x,O,y,A,B,vA,vB,vA,在图中物体速度矢量满足关系为：,速度变化为,四、加速度a,2. 平均加速度：,用平均加速度描写物体的运

12、动是不精确的，要想精确地描写物体的加速度，令,取极限。,由,3.加速度,加速度为速度对时间的一次导数。,可得,加速度是描写速度变化快慢的物理量；,质点的速度大，加速度不一定大；,质点的加速度大，速度不一定大。,6.方向：,加速度方向为速度变化的方向，指向运动轨迹的凹的一侧。,a,单位：米/秒2，m/s2,4.分量式：,由,ax、ay 为加速度在 x、y 方向的分量。,5.大小：,第二节,切向加速度,法向加速度,问题的提出：,1.自然坐标系,自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上。某时刻质点在空间的位置，由质点所在位置相对曲线上某参考点（坐标原点）的弧长来描写，质点的运动方向，由两个单位矢量即切向单

13、位矢量和法向单位矢量来描述。,在直角坐标系中，我们无法直接从加速度表达式看出， 哪一部分是由速度大小变化产生的加速度，哪一部分是由 速度方向变化引起的加速度，为了看出速度大小变化引起 的速度和速度方向变化引起的加速度，我们引入自然坐标 系的概念。并用它来描述做曲线运动质点的运动。,一、自然坐标系,切向单位矢量 沿运动轨迹的切线方向；,法向单位矢量n 沿运动轨迹的法线方向。,这两个单位矢量 和 n 始终与质点梱挷在一起，随质点一起运动，所以大小虽然不变但其方向却时时在变化,n,n,物体作平面曲线运动时，其速度为,将上式对时间求导数得：,下面来考察上式各项的意义,二、切向加速度、法向加速度,vA,

14、叫法向加速度,d大小为| | d= d，所以V d= V d n,第一项表示速度大小变化引起的加速度，大小为,叫切线加速度。,因为当dt0时B点无限靠近A点，dV 就无限地趋于A点切线故记,第二项表示仅由方向变化引的加速度，（因为 是单位矢量，其大 小不变），当dt0 时，B点无限靠近A点时，d 垂直于，A 点的法线方向，即n的方向。,现在考察,故过B点做前图B 、 A的反向延长线分别交nA 、nB 延长线于D、C两点,C,D,O,由图可见，弧AB 所对的圆心角也 是d,显见，,叫瞬时圆的 曲率半径,若设,因为B点无限靠近A点，所以AB弧就无限接近一段圆弧。,所以（1）式为,因为A是曲线上任取

15、的一点，所以，可以将脚标去掉后得,令其中：,A的大小为：,方向：总是偏向曲线凹的一侧,由于速度大小变化产生的加速度；,由于速度方向变化产生的加速度。,对于圆周运动：,式中r 为圆周的半径。,可见对于曲线运动,大小,讨论下列几种运动情况：,1.,匀速直线运动；,2.,匀变速直线运动；,例：一质点作半径为R的圆周运动，其速率满足 ， k为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。,解：,切向加速度,法向加速度,加速度,1.,匀速直线运动；,若取方向为X方向，则有,2.,匀变速运动；,（1）匀变速直线运动，即V与a共线,同样选方向为X正方向,这里包括 匀变速直线运动 匀变速曲线运动,这就是中学

16、学过的速度时间关系式、速度 位移关系式和速度位移关系式,（2）与a不共线的匀变速的曲线运动，这里主要 特例有平抛和斜抛类的抛体运动,质点在x方向做匀速直线 运动，在Y方向做初速为0的 匀加速直线运动，质点的合运 动就是这两种分运动的迭加,（）与垂直（平抛运动）,即此运动可以看为沿V0方向的匀速运动与竖 直方向的自由落体运动的叠加,（二）与成（如斜上抛运动）,质点的合运动是水平方向上初速为匀速运动和在 竖直方向上初速为做加速度为g的匀变速直线 运动叠加的结果。,质点的运动方程为：,即此运动可以看为沿V0方向的匀速运动与竖 直方向的自由落体运动的叠加,这是一条抛物线方程，令上式中y0，求得抛物线与

17、x轴 的一个交点坐标，叫射程,显见，最大射程发生在,消去参数t后得质点的轨道方程为：,3.,有最大飞行高度为,物体同时参与几种运动时，各运动之间互不干扰，相互矢量叠加。,1.竖直上抛,自由落体,2.竖直下抛,竖直向下的匀速直线运动,运动方程,+自由落体,竖直向上的匀速直线运动 +,3.平抛,水平方向上的匀速直线运动,y,x,o,运动方程,+自由落体,运动方程,y,x,o,运动方程,4.斜上抛,斜上方向上的匀速直线运动,+自由落体,分析：设子弹以初速V0击发后，若无重力作用，且猴子不动，t时间可以到达猴子处。但由于子弹出膛后实际上做斜上抛运动，猴子则做自由落体运动。子弹击中猴子的条件是：若子弹t

18、时刻的位置矢量与猴子的相对子弹射出点位置矢量相同，则能击中，否则不能。,例12一只猴子看到猎人对准它的枪管发出火光时，立即松手从树上落下来，试图避开猎人射出的子弹，问此狡猾的猴子能否死里逃生？,子弹t时刻的位置矢量 r子弹xiyj vocontiv0sintj1/2gt2j vot1/2gt2j,可见，子弹t时刻的位置矢量是由初始瞄准方向的以速度V0的匀速运动，与垂直地面方向的自由落体运动两者叠加而成。,r猴子=r01/2gt2jvot1/2gt2j,猴子t时刻的位置矢量为：,可见，子弹t时刻的位置矢量与猴子t时刻的位置矢量相同，猴子如此运动是难逃猎人子弹追击的。若要想逃脱子弹的追击，绝对不能

19、沿竖直方向做自由落体运动。,14 运动学中的两类问题,运动学的基本问题可以归结为两类：一类是已知质点的运动方程，求质点任意时刻的速度和加速度；另一类是已知质点的加速度和初值条件(即t质点的速度和位置)，求质点在任意时刻的速度和运动学方程。前者使用的数学手段是求导，后者则需要积分。即,一、第一类基本问题,例13如图19，在离水平面高度为h的岸边，绞车以匀速率V0均匀收绳拉船，求船离岸边x远处的速度。,故船速度,由于r是减小的，所以，所以有,负号说明船速度与所选的x轴正方向相反。,解：建立坐标系如图，由图可知，绳长r与x的关系为,由可以进一步求出入船的加速度为,注意，本题及易范的错误是将船速度想当

20、然地看成绳子的速度在水面上的投影。,例14某轮船停机后，其速率按v=voe-t的规律衰减，其中Vo为停机时的速率，大小为12ms1，为常量，其大小为0.258s-1。为节省燃料，轮船靠岸时应在离岸多远处停机最为合适?,二、第二类基本问题,解速度是时间的显函数，这是第二类问题中较为简单的一种情形。,此题的实质是求出停机后轮船还能行驶的最大距离。以轮船停机后的位置为原点建立x轴，使其正方向与船的前进方向一致。,由速度的定义式,v=dx/dt=voe-t,两边积分,事实上，t=30s时，可得x=47.97m48m,即轮船应该在离岸48m处停机合适。,得,dx= voe-tdt,解之得,选小球下落方向

21、为x轴正方向，小球下落的起点为坐标原点和计时起点，因而小球运动始条件为t=0，x=0,vo=0。根据加速度的定义有,例15一小球在粘性的油液中同静止开始下落，已知其加速度a=ABV，式中A、B为常量，试求小球的速度和运动方程。,解加速度为速度的函数，应使用分离变量积分方法来求速度。,分离变量后得,对上式两边积分，并应用初始条件得,所以,这就是小球下落速度随时间t的变化规律。由此可知，当t时，,小球的速度将达到最大值，如图110所示，我们常称为终极速度。事实上，只要B足够大，则在一个不太长的时间(大体为1/B的35倍)之后，就接近以此速度做匀速直线运动了，小球蓖麻油中下落或细砂在水中的沉降，就是

22、两个实例。由此可见，在物理学上t是可以有其实际意义的。,为求小球的运动方程，可由速度的定义得,积分上式，并应用初始条件确定积分上下限得,这就是小球下落的运动方程。,例16一质点沿x轴运动，其加速度为a =cx,设当t=0时，质点静止不动，离原点的距离为A，求质点的运动方程。,为求解这一方程，利用速度的定义式v=dxdt，可将其改写成,解当加速度是位置的函数，要求速度或运动方程时，因为方程中有3个变量不可直接分离变量进行积分，而应先利用某种关系进行变量变换，把其中的一个变量消除，然后再进行分离变量积分。由加速度的定义有,上式分离变量，进行积分，并考虑初始条件得,完成此积分，得到质点的运动方程为,

23、可见，质点是在x=A与x =A之间做周期运动，在振动学中将会看到这种运动是简谐振动。,对上式积分，并考虑初始条件,于是方程（1）可写为 vdv=cxdx（2）,第五节,相对运动,同一物体的运动，在不同参考系中，对其描述并不相同，即运动描述的相对性。,例如：研究一只行进的船上上升的国旗的运动,研究对象（旗）相对静止参照系（岸）的运动,研究对象（旗）相对运动参照系（船）的运动,运动参照系（船）相对静止参照系（岸）的运动,两边取增量得,叫绝对运动,叫牵连运动,表示为,表示为,叫相对运动,表示为,（1）式两边对时间求一阶导数得参照系之间的速度变换关系,质点相对于静止参照系的速度等于它相对于运动参照系的

24、速度与运动参照系相对于静止参照系的速度的矢量和。,（1）式两边对时间求二阶导数得参照系之间的加速度变换关系,质点相对于静止参照系的加速度等于它相对于运动参照系的加速度与运动参照系相对于静止参照系的加速度的矢量和。,研究对象相对于静止参照系的位移等于它相对于运动参照系的位移与运动参照系相对于静止参照系的位移的矢量和。,图112,解取公路为静止参照系，卡车为运动参照系（V牵连=15kmh1）,则显见，本题的题意就是要求雨滴相对于地面V绝对和相对于卡车的速度V相对，由速度变换公式 V绝对V相对V牵连 和已知条件，可知V的方向与地面的夹角为,例17一辆带蓬的卡车，蓬高h=2m，当它停在公路上时，雨点可

25、落入车内1m处，如图所示。现在卡车以15kmh1的速度沿平直公路匀速行驶，雨滴正好不能落入车内，求雨滴相对于地面的速度和雨滴相对于卡车的速度。,V的大小为,图113,V相对与V牵连垂直，V相对的大小为,例18一条船与海岸相距为D，平行于岸边航行，速率为V，一艘匀速行驶的速率为V(VV)的小艇从港口出发拦截该船，如图所示。（1）小艇必须在船沿海岸距港口多远时出发才能拦截成功？（2）小艇尽可能迟出发，离港口多远处才能拦截该船？,解（1）如图所示，建立坐标系oxy，并以艇为研究对象，船为运动参照系，则船速度V为牵连速度，艇对地面的速度V为绝对速度，艇对船的速度为相对速度u。即 u= VV,X方向：

26、ux= VcosV Y方向： uy= Vsin 设经过了时间t后，艇拦截住船，则有 uxt= (VcosV)t=x uyt= Vtsin=D,将以上两式相除，可得,艇相对船沿x轴行驶x距离，沿y方向行驶D距离就能拦截成功。设艇的速度V与岸边（x轴）的夹角为，则有,解得,从而有,于是解得,欲使x为最小，可以对上式求极值。因为,故x是极大值；又由于x是负值，所以这就是最小距离。,（2）小艇尽可能迟出发，即意味着x的最小值为多少小艇可以拦截成功。,考虑到沿y方向有uyt= Vtsin=D，故得,因此，船恰好被小艇拦截时，小艇离港口距离为,第二章 质点力学的基本定律,一、牛顿运动定律 二、惯性系与非惯

27、性系惯性力 三、功动能动能定理 四、质心质心运动定理动量守恒火箭飞行 五、质点的角动量和角动量守恒定律,本章重点：,1、掌握牛顿运动定律能熟练地应用牛顿定律分析和解决基本的力学问题，包括波及弹簧和动、静摩擦力等问题；,2、正确理解功、动能和动能定理；,3、正确理解动量、冲量和动量定理；,4、学会用非惯性系中的牛顿定律物体运动的规律。,本章难点：惯性力及非惯性系中的牛顿定律物体运动的规律,1、掌握常见的几种力（如重力、弹力、摩擦力及万有引力）及其计算方法；,2.1 牛顿运动定律,（一） 、第一定律（惯性定律） 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。,（二

28、）、第二定律 在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力的矢量和的方向相同。,（三）、第三定律 两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，而且指向相反的方向。,注意： (1) 、第一定律: A 指明了力是物体与物体间的相互作用; B 指明了力是使物体速度改变的原因，而不是维持速度的原因。 C：指明了任何物体都具有惯性，即具有保持原有运动状态不变的特性。,(2)、第二定律 A 指明了物体在合外力作用下所获得的加速度与所受合外力的关系; B 质量是量度物体惯性的物理量。,(3)、对第三定律 A 作用力和反作用力是作用在相互作用的不同 物体上力;

29、 B 作用力和反作用力是同一性质的力。 C 注意与平衡力的区别。,第二定律：,（四)、几种常见的力,1、万有引力,式中G称为引力常量,对地面上的物体，其线度总比它到地球中心的距离小得多，所以不论物体是什么形状，都可看成是质点，于是可直接应用（26）式计算物体受到的地球引力，r是指物体到地球中心的距离。 重力Gmg（27） 设物体位于地面附近高度为h处，则由式(26)和（27）有,式中m、me、re分别是物体、地表面到地心的距离。 因为hre,故有,将me5.9771024kg、re6370km代入上式，可算出重力加速度g9.8ms2。,（28）,2、弹性力,物体在外力作用下因发生形变而产生的欲

30、使其恢复原来形状的力称为弹性力，其方向要根据物体形变的情况来决定。,（1）弹簧的弹性力 f=kx（210）,弹簧的弹性力，绳子的张力，物体间相互挤压引起的力都是弹性力。,、串联 特征：各伸长量可以不同，但受力相同，可等效成弹性系数为K的弹簧。,即 f=kl l=f/k l=l1+l1+,（2）弹簧的串并联,Ff1+f2+f3 =k1l+k2l+ =(k1+k2+k3+)l k=k1+k2+.（212）,、并联 特征：各弹簧的形变量相等，但各根弹簧的受力不同。,大小分别为fk= kN及fsmax=sN,注意：摩擦力方向的判断，其方向总是与相对滑动的趋势方向相反,3、摩擦力,物体运动时，由于接触面

31、粗糙而受到的阻碍运动的力。分滑动摩擦力和静摩擦力。,4、电磁力：（库仑力）f=kq1q2/r2 k=9 109Nm2/C2,注意：在微观领域电磁力远远大于万有引力！,如两个质子之间的电磁力是万有引力的1036倍,氢原子核与电子间的电磁力是它们间万有引力的1039倍,5、强力：粒子之间的一种相互作用，作用范围在0.410-15米至10-15米。如原子核中质子与中子就是靠这种力束缚在一起的,6、弱力：粒子之间的另一种作用力，力程短、力弱（102牛顿）.如发生衰变时就出现这种力.,四种基本自然力的特征和比较,力的种类 相互作用的物体 力的强度 力 程,万有引力 一切质点 1034N 无限远 弱力 大

32、多数粒子 102N 小于1017m 电磁力 电荷 102N 无限远 强力 核子、介子等 104N 1015m,(四)、应用牛顿定律解题,用牛顿运动定律解题的五步曲： 1、选对象 2、看运动 3、分析受力 4、列、解方程 5、作讨论,例21质量为m 的小球在水中由静止开始下沉。设水对小球的粘滞阻力与其运动速率成正比，即，k 为比例系数，水对小球的浮力为B。求小球在水中任一时刻的沉降速度。（设 t=0 时，v = 0）,图24小球在液体中下沉,解：小球受力为如图所示。建立坐标系，设小球的加速度为，则由牛顿第二定律得：,投影到y方向有：,即,或,当时， ，当时，这时小 球以终极速度匀速下降。,两边积

33、分,得,讨论,例22、设电梯中有一质量可以忽略的滑轮,在滑轮的两侧用轻绳悬挂着质量分别为 m1 、 m2的重物A和B ,已知m1 m2当电梯(1)匀速上升(2)匀加速上升时,求绳中的张力和物体A相对于电梯的加速度 a.,解：建立固结于地面的坐标系并作受力分析如图：,列方程：,电梯(1)匀速上升,电梯相对于地面匀加速a上升时,A相对于地面的 加速度为 a绝=a牵+ a相 a1=a- a,B相对于地面的加速度为 a2=a+a,电梯(2)匀加速上升,显然,如果a=0时,显然,如果以-a代a得电梯以a下降的结果,a=g,质点都做 自由落体 运动,两个 物体之间 没有加速 度,二、惯性系与非惯性系,问题

34、：,车的a=0时单摆和小球的状态符合牛顿定律,结论：在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。,a0时单摆和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？,如果要求牛顿定律在非惯性系中也成立，则必须人为地引入一种假想的力，此力就叫惯性力，其大小等于ma牵连 ，a牵连是非惯性参照系相对于惯性参照系的加速度，方向与运动参照系的加速度方向相反。,故在非惯性参照系中牛顿第二定律成为,下面来考察刚才提到的问题.,注意：若F真不为零，a相对既有F真产生的加速度，也有研究对象相对于惯性参照系的加速度的贡献。,解：取地面为参考系，以滑

35、块B和三棱柱A为研究对象，分别作出力图，如图所示。B受重力P1、A的支持力FN1；A受重力P2、B的压力FN1、地面支持力FN2。,放在三棱柱的光滑斜面上。试求： （1）三棱柱相对于地面的加速度； （2）滑块相对地面的加速度； （3）滑块与三棱柱之间的正压力。,A的运动方向为Ox轴的正向，Oy轴的正向垂直地面向上。设aA为A对地的加速度，aB为B对地的加速度。,由牛顿定律得,（3）,（2）,（1）,（4）,设B相对A的加速度为aBA，则由题意aB、aBA、aA三者的矢量关系如图28（c）所示。据此可得,（5）,（6）,解上述方程组可得三棱柱对地面的加速度为,滑块相对地面地加速度aB在x、y轴上

36、的分量分别为,则滑块相对地面的加速度aB的大小为,其方向与y轴负向的夹角为,A与B之间的正压力,1.质量为 m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用.比例系数为 k , k 为正常数.该下落物体的收尾速度(即最后物体做匀速直线的速度)将是:, A ,2.用一根细线吊一重物，重物质量为 5kg，重物下再系一根同样的细线（细线只能经受 70N 的拉力）。现在突然用力向下拉一下下面的线。设此力最大值为 50N，则,(A)下面的线先断。,(B)上面的线先断。,(C)两根线一起断。,(D)两根线都不断。, D ,三 功动能动能定理,（一）、功 （二）、功率 （三）、几种

37、常见力的功 （四）、单质点的动能定理 （五）、质点系的动能定理 （六）、势能,（一）、功,1、恒力的功,位移无限小时：,dA称为元功,功等于质点受的力和它的位移的点积,2、变力的功,如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲线运动，则功的计算如下：,单位：J 量纲：ML2T2,A=Fcos r,元功：dA 元位移：,在元位移中将力视为恒力，力沿ab的功为所有无限小段位移上的元功之和。,注意：1、功是过程量，与路径有关。2、功是标量，但有正负。3、合力的功为各分力的功的代数和。,解析式：,（二）、功率,单位：W或Js-1 量纲：ML2T3,功的其它单位：1eV=1.610-19J,因为随水的不

38、断漏去，则让桶作匀速运动的动力就越小，所以这是一个变力在直线运动过程中作功的问题。,例24 一个人从10米深度的井中，把重量为20公斤的水匀速地提上来。由于水桶漏水，每升高1米，要漏去0.2公斤的水。问把水从井水水面提到井口，人要作多少功?,解：以井水水面坐标原点作x轴，向上为正。,设桶离水面x处，剩下的质量为m，则下一个dx内移动m的功为,dAFdx=mgdx,因为 m=m0kx k为漏水率,dA（m0kx）gdx,所以,所以,例25一地下蓄水池面积为50m2，贮水深度为1.5m，假定水面低于地面高度5米，问将这池水全部抽到地面上，需要做多少功？若抽水机的效率为80（输出功率与输入功率之比）

39、，输入功率为3.5KW，问需要多少时间可以抽完？,解：分析 因为在抽水过程中，水面不断下降，所以从地下将同一体积的水抽到地上来，各个时刻所要作的功是不同的，要求总功，必须先求出将任一深度的一层水抽到地面来所需要作的功然后求和即可。,dA=xd(mg)=Sgxdx,选坐标如图,在距原点为x处的水面上任取厚度为dx薄层，则把dx层抽到O点，重力的功为,所以,4226250（J）,这说明把水抽完抽水机所做的功为 A抽水机4226250（J）,又因为已知 N35kW ，N有350.8103W,所以,t=A抽水机/N有150.9(S),图2-11,(三 ) 、几种常见力的功,重力的功,设质量为m的质点，

40、在重力场中由a沿任意路径移到b点，取z轴垂直向上，地面为原点。,因为 FxFy=0 Fymg。,dA=mgdr=mgdrcos =mgdrcos=mgdz,上式表示，重力的功只与质点的始末位置有关，与通过的路径无关,2弹簧弹性力的功,可见弹性力的功也由质点的始末的位置决定，与质点经过的具体路径无关。,取平衡位置为坐标原点O（自由伸长处），弹簧对物体 的作用力为f=kx,设xa xb为初、末位置弹簧的形变量， 则在xa xb的过程中,3万有引力的功,FGMm/r2,当m移动dr时，力F的元功为,所以,设有质量为m、M的两质点，一个在另一个的引力场中从A点沿任意路径移到了B点，以M为坐标原点，m在

41、r处的引力为,因为,可见，它也是只与始末位置有关，与路径无关。,上面三种力作功的共同特点是：,力所作的功与具体路径无关，只与起始位置有关。,（四）、单质点的动能定理,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,动能EK与功A都与参照系的选择有关； 动能EK是状态量，功A是过程量（一般情况下）； 动能的变化 EK是通过做功来实现的。,注意：功与动能的区别和联系,解在物体从A到B的下滑过程中，不仅有重力G的作用，而且还有摩擦力ft、压力N的作用，两者都是变力，压力N处处和物体运动方向相垂直，所以它是不作功的，但摩擦力所作的功却因它是变力而使计算复杂起来，不能直接用来计算。这时，比较方便的方法是采用动

42、能定理进行计算,。,例26在图216中，一个质量m=2 kg的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从A滑到B。己知圆的半径R=4m，设物体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。,图216物体沿圆轨道下滑,负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功42.4J,5、质点系的动能定理,质点：m1 m2,内力：,外力：,Aimi vi2 /2mi vi02 /2 Ai内+Ai外,将单质点的动能定理用于第i个质点，有,对N个质点都使用动能定理后再两边求和得,用 、分别表示所有外力的功的内力的功，即,令系统的终态动能和初态动能分别为,所以（242）式可写为 A外A内EKEK0（244

43、）,即：作用于质点系所有外力与内力的功的代数和等于系统动能的增量，此结论称为质点系的动能定理,三、保守力和势能,它们的共同点是：作功与路径无关，只由系统的起、始状态决定,所以我们引入保守力与非保守力的概念。,1、保守力 A：所作功与路径无关，只由系统始、末相对位置决定的力； B：也可以说：沿闭合回路一周力所作的功等于零的力叫保守力，即。,3、势能：在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决定的能量称为势能。,2、非保守力 不属于保守力定义范畴的力都是非保守力。,可见，若A保0，势能减小，反之势能增加。,势能的定义式：保守力的功等于势能增量的负值。即,A保 EP,（247）,如选计算保

44、守力做功的始点为零势点，则EpA0，那么，终止位置的势能为：,Ep=A保（248）,即：一定位置的势能在数值上等于从势能为零的点到此位置保守力所作的功的负值。,势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的;,势能具有相对性，即某点势能的大小与零势点的选择有关;,重力势能是引力势能在hR下的近似值（以地面为零势点）;,引入势能的目的是为了简化保守力作功的计算，所以，如果在一个问题中，若考虑了保守力的功，就不要考虑相关势能的变化，反之亦然。,注意,势能曲线:势能随位置变化的曲线。,重力势能曲线,弹性势能曲线,万有引力势能曲线,曲线斜率为保守力的大小。从曲线可见零势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量

45、的转化。,利用势能曲线，还可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。我们知道，保守力的功等于势能增量的负值，即,A（Ep2Ep1）Ep,写成微分形式就是,dA=dEp （258）,当系统内的物体在保守力F作用下，沿发生位移dl时，保守力所作的功为,dA=Fcosdl=Fldl,式中为F与dl方向的夹角。比较上面两个式子，得,FldEp/dl （259）,上式表明，保守力沿某方向l的分量等于势能对此方向的导数的负值。,四、功能原理,1、质点系的功能原理,质点系的动能定理：A外+A内=EkB - EkA 因为 A内=A保内A非保内 所以 A外+ A保内A非保内= EkB - EkA 又因为 A

46、保内EPAEPB 所以 A外 A非保内 (EkB+EPB )-(EkA +EPA) 即 A外 A非保内EB - EA,质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守力的功的总和等于它的机械能的增量。称功能原理。,2、机械能守恒定律,A外0,A非保内0,则EB EA常量,如果,在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。,注意A外0，系统能量转换的几种情况和质点系的机械能守恒的充分必要条件：A非保0，A外0；, 选势能零点，求出各状态的E值，再用功能原理求解。,3、应用功能原理和机械能守恒定律解题的四步曲,选对象、选体系、分析受力 选体系的原则：把保守力变为系统的内力。如有重力时，把地

47、球包括在系统之内，有弹性力时，将弹性体包括在系统内。,选过程 题目中已知状态瞬间作为初态（或终态），待求状态为终态（或初态），构成研究过程。,计算各外力非保守内力的功。,例27如图217所示，一水平面上放一块木板，板上放一个质量m=l.0kg的物体，物体又被悬挂的轻弹簧系系住，弹簧在竖直时原长l0=40 cm,物体与板间的摩擦系数=0.20.现向右缓慢地抽动木板，直到弹簧与竖直方向成=30时，物体才开始在木板上滑动，试计算在这过程中摩擦力对物体做的功。,解 当m随木板一起向右移动过程中，弹簧的拉力FT随之增大，而木板对物体的静摩擦力Ff当然也是变化的。直接计算摩擦力的功较复杂一些。但按功能原理

48、，摩擦力对物体做的功必等于物体与弹簧系统的势能的增量，即弹簧的弹性势能的增量。计算中的关键一步是求出弹簧的倔强系数k。 由物体的受力图得到下列运动方程(=30时) :,图217,FTcos+FNmg=0， FTsin+Ff=0 Ff =FN,解得,所以弹性系数,再由功能原理得,弹簧伸长,例28用一弹簧将质量分别为ml和m2的上下两块水平木板A和B连接，如图218所示，B放在地面上。试求,图2,解 (1)参见图a，取A的平衡位置为x轴的原点，并设弹簧原长时A处在x0位置。则ml在任一位置x处时体系的弹性势能,(1)若以A在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零点，试写出系统(A、弹簧、地球

49、)的总势能表达式； (2)对A加多大的向下压力F，才能因突然撤去力F，使A跳起而拉起B？,体系的重力势能,总势能,考虑到A在弹簧上静止时有kx0=m1g，代入上式得,可见，若选A在弹簧上静止时的平衡位置为坐标原点和势能零点，则系统的总势能只以弹性势能单一形势出现。 参见图b，以加力F时为初态，撤去F力后弹簧伸长最大为未态，则,未态：,初态：,据机械能守恒定律(A、弹簧、地球构成的系统)应有,又因为刚提起B时k(x2-x0)=m2g,而kx0=m1g,，代入解得 F（ml十m2)g,可见，当F（ml十m2)g时 就能被提起。,例29若从地面以一定的初速度V0发射一质量为m的地球卫星,并通过轨道调

50、整使卫星进入距地心为r的圆轨道。设地球的质量和半径分别为me和Re，空气阻力不计，调整轨道时对卫星做的功亦可略去，则Vo应为多大?,在半径为r的圆轨道上运转时（终态）的机械能,解选取地心坐标系，卫星在发射时系统的初态机械能,而稳定的圆轨道要求,即,例如若在地面将卫星以，垂直地球半径方向发射，卫星将贴近地面沿圆轨道飞行,在题设条件下，机械能守恒,将V代入解出,，称为第二宇宙速度，以此速度发射的卫星将飞离地球。,而当 r时，,三、能量守恒定律,孤立系统：孤立系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。,一个孤立系统内经历任何变化时，该系统的所有能量的总和保持不变

51、。这是普遍的能量守恒定律。,系统分类,孤立系统：不受外界作用。,非孤立系统：与外界有能量交换的系统。,四、一对作用力和反作用力的功,m1、m2组成一个封闭系统 在t时间内,五质心、 质心运动定律,质心的位矢：(M为总质量),质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质心的位置是固定的。,1、质心：质点系的质量分布中心 质点系 N个质点 质量：m1 m2 m3 mi mN 位矢：r1 r2 r3 ri rN,直角坐标系中的分量式为：,质量连续分布时：,注意1、当物体线度不是很大时，质心与重心重合； 2、对称物体（密度均匀）的质心就是物体的对称中心。,由两个质点组成的质点系，常取质心处xc=

52、0以便于 分析和计算。,解因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心位于此分角线上.以此分角线为x轴，作坐标轴如图222所示.,应用式(249) ，求出此三角形质心坐标Xc是,这个结果和熟知的三角形重心位置一致。,例210求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。,在离原点x处，取宽度为dx的面积元，由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设薄板每单位面积的质量为，则此面积元的质量为,dm = 2xdx,2、质心运动定理,质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。,（三） 动量定理及动量守恒定律,1、动量和冲量动量守恒 2、质点系的动量定理动量守恒定律

53、3、质心 质心运动定律 4、质点的动量矩 5、动量矩定理和动量矩守恒定律 6、火箭飞行原理,（一）、动量和冲量 动量定理,大小：mv 方向：速度的方向 单位：kgm/s 量纲：MLT1,1、动量 （描述质点运动状态，矢量）,大小：,方向：速度变化的方向,单位：Ns 量纲：MLT1,2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）,3、动量定理：（将力的作用过程与效果动量变化联系在一起）,F为恒力时，可以得出IF t F作用时间很短时，可用力的平均值来代替。,质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。这个结论称为动量定理。,（二）、质点系的动量定理 动量守恒定律,1、质点系的动量定理,对所有质点写出上

54、式后两端相加，并考虑到内力总是成对出现的，其矢量和为零，可得,设系统由n个质点构成，我们对于第i个质点的动力学方程可得,以和表示系统的合外力和总动量，上式可写为：,2、动量守恒定律,当质点系所受的合外力为零时，此质点系的总动量就保持不变。,注意： 1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。 3、动量守恒可在某一方向上成立。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 6、动量守恒定律只适用于惯性系。,当（）时(m),例211质量的质点，从O点开始半径的圆周运

55、动，以点为自然坐标的原点，已知的运动方程为 （）。 试求：从 （），到(s)这段时间内作用于质点的合力的冲量。,图225,解：由运动方程求导数可得,时。,此时质点已绕过/4周长，位于A点，该时刻质点速率为,动量大小为,方向为如图点的速度方向。,动量大小为(m/s),而在B点处质点的速率为(m/s),图225,=5444,所以合力的冲量为,冲量的大小为,冲量的方向tan/,其中为和(m1V )的夹角,例2、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。,证明

56、：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：,一维运动可用标量,根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：,柔绳对桌面的冲力FF 即：,而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg,四、碰撞,图228两球对心碰撞 （a）碰撞前；（b）碰撞时（c）碰撞后,特征及规律：在碰撞中由于互作用的时间短，相互作用的冲力相对外力来说又极大，故外力可以忽略不计，因此，这一系统应该遵从动量守恒定律。,碰撞:几个物体在相遇中，相互作用仅持续一个极为短暂时间的物理过程

57、,碰撞前的速度,碰撞后的速度,V10、V20,V1 、V2,应用动量守恒定律（假定碰撞前后各个速度都相同）得,牛顿碰撞定律:碰撞后两球的分离速度(V2V1)，与碰撞前两球的接近速度( V10V20 )成正比，比值由两球的材料性质决定，即,如果e=0，则V2 =V1，叫做完全非弹性碰撞；e 1，叫做完全弹性碰撞；,e叫恢复系数。,由式(2一61)和(262)可得,1、完全弹性碰撞 ,这时，令e = 1，由式(2一63)得,分析两种特例 .设两球质量相等，即m2=ml，代人式(264)，得 V1 = V20， V2 =V10,即质量极大并且静止的物体，经碰撞后，几乎仍静止不动，而质量极小的物体，在

58、碰撞前后的速度方向相反，大小几乎不变。,(2)设m1m2，V20=0，则从(264)可得,V1 V20， V2 0,由（263)式得碰撞中损失的机械能为,2、完全非弹性碰撞,在完全弹性碰撞中，e=0，由（264式）得,3、碰撞中的能量变化,例213在碰撞实验中，常用如图229所示的仪器。A为一小球，B为蹄状物，质量分别为ml和m2 。开始时，将A球从张角处让其落下，然后与静止的B物相碰撞，嵌入B中一起运动，求两物到达最高处的张角。,图229碰撞演示仪,解首先我们来考虑一个问题，小球在开始位置时的机械能是否等于两物在最终位置的机能呢?答案是两者并不相等。为了弄清楚这个 问题，并求得本题的解答，我

59、们分析此运动的物理过程，及其服从的规律。,根据机械能守恒定律得到,（1)小球A从开始位置下落h1，而到最低位置，这是小球与蹄状物B碰撞前的过程，小球除受重力外，还受到悬线的拉力，但拉力不做功，因此机械能守恒。取小球在最低位置时的势能为零，小球在开始位置时的动能为零，只有势能，总机械能为 E1m1gh1=m1g(1cos) ,小球在最低位置时，势能为零，只有动能，设小球的速度为v，总机械能为,m1v=(m1+m2)v (2),(2)当小球与蹄状物碰撞时，两物做完全非弹性碰撞，所以机械能守恒定律不能适用这两物碰撞。由于相互作用的时间极短，我们可以认为它们是在该处完成碰撞后，再一起运动的。又由于小球与蹄状物间的冲力是内力